奥数：5-2-1数的整数-题库

1、5-2 数的整除教学目标本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5整除；一个数的末两位能被4

2、或 25 整除，这个数就能被4或 25整除；一个数的末三位能被8或 125 整除，这个数就能被8或 125 整除；2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除；一个数各位数数字和能被9 整除，这个数就能被9 整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11 整除，那么这个数能被11 整除 .4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、 11 或 13 整除，那么这个数能被7、11 或 13 整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立. ）二、整除性质性质 1如果数 a 和数 b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除即如果c

3、a，c b，那么 c (a ± b) 性质 2如果数 a 能被数 b 整除， b 又能被数c 整除，那么a 也能被 c 整除即如果b a，c b，那么 c a用同样的方法，我们还可以得出：性质 3如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么a 也能被 b 或 c 整除即如果bc a，那么 b a， c a性质 4如果数 a 能被数 b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数 c 互质，那么a 一定能被 b与 c 的乘积整除即如果 ba， c a，且 (b ，c)=1 ，那么 bc a例如：如果 3 12， 4 12，且 (3 ， 4)=1 ，那么 (3 ×4) 12性质

4、5如果数 a 能被数 b 整除，那么am也能被 bm整除如果b a，那么 bm am（ m为非 0 整数）；性质 6如果数 a 能被数 b 整除，且数c 能被数 d 整除，那么ac 也能被 bd 整除如果b a ，且 d c ，那么 bd ac；例题精讲模块一、常见数的整除判定特征【例 1 】 已知道六位数 20 279 是 13 的倍数，求中的数字是几？【解析】本题为基础题型，利用13 的整除判定特征即可知道方格中填1。【巩固】六位数 20 08 能被 99 整除，是多少？【解析】方法一： 200008 被 99 除商 2020 余 28，所以00 28 能被 99 整除，商 72 时， 9

5、972 7128 ，末两位是28，所以为 71；方法二：99 9 11 ， 20 08 能被 99 整除，所以各位数字之和为9 的倍数，所以方框中数字的和只能为8 或 17；又根据数被11 整除的性质，方框中两数字的差为6 或 5，可得是 71.【 巩固】六位数 20 08 能被 49 整除，中的数是多少？【 解析】详解类似上题，从略。填入 05【例 2 】173是个四位数字。数学老师说：“我在这个中先后填人3 个数字，所得到的3 个四位数，依次可被9、 11、 6 整除。”问：数学老师先后填入的3 个数字的和是多少？【 解析】用 1730 试除，1730÷ 9=192 2，1730

6、÷ 1l=157 3，1730÷ 6=288 2所以依次添上 (9-2=)7 、 (11-3=)8 、(6-2=)4 后得到的 1737、 1738、1734 依次能被 9、 11、 6 整除所以，这三种情况下填入口内的数字的和为 7+8+4=19【 巩固】某个七位数 1993能够同时被 2，3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【解析】本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便，若使得7 位数能够同时被2， 3，4， 5，6， 7， 8， 9 整除，只要让七位数是2，3， 4， 5， 6， 7， 8， 9

7、 最小公倍数的倍数即可。【 2，3，4，5，6，7，8，9】=2520. 用 1993000 试除， 1993000÷ 2520=790 2200 ，余 2200 可以看成不足 2520-2200=320 ，所以在末三位的方格内填入320 即可【巩固】如果六位数1992能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少？【解析】因为 105375 ，所以这个六位数同时满足能被3、 7、5 整除的数的特征即可方法一：利用整除特征末位只能为0或 5 如果末位填入0，那么数字和为 1 9 9 2 0 21，要求数字和是3 的倍数，所以可以为0， 3， 6， 9 ，验证 2001991， 2301

8、99 31 ， 26019961， 290 199 91 ，有 91 是 7 的倍数，即199290 是 7 的倍数，所以题中数字的末两位为90 如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、 7、 5 整除的特征所以，题中数的末两位只能是90方法二：采用试除法用 199200 试除， 199200105189715 ，余 15可以看成不足，1051590 所以补上 90，即在末两位的方格内填入90 即可【例 3 】 在六位数11 11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17 和 19 整除，那么方框中的两位数是多少 ?【解析】采 用试除法 . 设六位数为 11ab11,11ab1

9、11110000ab0011 110011ab00 如果一个数能同时被 17 和 19 整除，那么一定能被323 整除 110011323340191 ，余 191也可以看成不足323191132 所以当 ab00132323n 时，即 ab00 是 100 的倍数时，六位数才是323 的倍数所以 有 323n的末位只能是1028 ， 所 以 n 只 能 是 6 ， 16 ， 26 ，验 证 有 n 16 时 ，1 3 232 31 653 05， 3 得到的115311 满足题意，所以原题的方框中填入【巩固】已知四十一位数55 5 99 9（其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，

10、那么中间方格内的数字是多少？【解析】我们知道 abcabc 这样的六位数一定能整除7、 11、13 原 41位数中从高位数起共有20 个 5，从低位数起共有20 个 9，那么我们可以分别从低位和高位选出555555，和 999999，从算式的结构上将就是进行加法的分拆，即：555555× 10 00(35个 0)+555555× 10 00(29个 0)+ +5599+999999× 10 00(12 个 0)+ +999999. 这个算式的和就是原来的41 位数，我们可以发现每一组含有 555555 或 999999 因数的部分都已经是7 的倍数，唯独剩余55

11、99待定，那么只要令 55 99 是 7 的倍数即可，即只要 44 是 7 的倍数即可，应为6【例 4 】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4 32是 9 的倍数 . 请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；一共有多少种满足条件的填法？【解析】一个数是9 的倍数，那么它的数字和就应该是9 的倍数，即4 3 2是9 的倍数，而4 3 2 9, 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数依次填入 3、6，因为4 3 32 6 18 是 9 的倍数，所以 43326是 9 的倍数；经过分析容易得到两个方框内的数的和是 9的倍数，如果和是9, 那么可以是（ 9,0）；（8,1 ）；（ 7,

12、2 ）；（6,3 ）；（ 5,4 ）；（ 4,5 ）；（3,6 ）；（ 2,7 ）；（1,8 ）；（ 0,9 ），共 10 种情况，还有（0,0 ）和（ 9,9），所以一共有12 种不同的填法【例 5 】 (2019 “数学解题能力展示”初赛) 已知九位数2007122 既是 9的倍数，又是11 的倍数；那么，这个九位数是多少？【解析】设 原数2007 a12b2 ， 9 | 2007a 12b2a b 4 或 者 a b13，11|2007 a12b22 0 a2 2(0 7 1 b )0或者(07 1 b ) (2 2 a 0 2)11a b 2 或者b a 9ab4a3ab13a2根据两

13、数和差同奇偶，得：ab2b或者a9b不成立 .所1b11以， 2007a12b2200731212 .【例 6 】 一位后勤人员买了72 本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字 . 帐本是这样的： 72本笔记本，共 67.9 元 ( 为被烧掉的数字 ) ，请把处数字补上，并求笔记本的单价 .【解析】把 67.9 元作为整数679 分 . 既然是 72 本笔记本的总线数，那就一定能被72 整除，又因为72 89，(8，9)1. 所以 8 | 679，9| 679.8| 679，根据能被8 整除的数的特征， 8 |79 ，通过计算个位的2. 又 9 | 6792

14、 ，根据能被9 整除的数的特征，9 | ( 6792 ) ，显然前面的应是3. 所以这笔帐笔记本的单价是：367.92725.11 (元).【例 7 】由 1，3， 4， 5， 7，8 这六个数字所组成的六位数中，能被11 整除的最大的数是多少？【解析】根据 11 的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为11 的倍数， 我们不妨设奇数位上的数和为a，偶数位上的数和为b，那么有 a+b=1+3+4+5+7+8=28, 同时有 a-b=0或 a-b=11 或 a-b=22 等情况， 根据奇偶性分析自然数a 与 b 的和为偶数， 那么差也必须为偶数，但是 a-b 不可能为22

15、，所以 a-b=0 ，解得 a=b=14，则容易排列出最大数875413.模块二、数的整除性质应用【例 8 】各位数码是0、 1 或 2，且能被225 整除的最小自然数是多少？【解析】被合数整除把225 分解，分别考虑能被25 和 9 整除特征。 225925 ，所以要求分别能被25 和9 整除。要能被25 整除，所以最后两位就是00。要能被9 整除，所以所有数字的和是9 的倍数，为了使得位数尽可能少，只能是4 个 2 和 1 个 1，这样得到1222200。【例 9 】张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组. 已知老师和学生共种树312 棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过1

16、0 棵 . 问：一共有多少学生？每人种了几棵树？【解析】因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过10 所以通过枚举法来解( 注意人数是减去1后是 3 的倍数 )：1312， 3121311不是 3 的倍数； 2156，1561155 不是 3 的倍数； 3104，1041103不是 3 的倍数； 478， 78177 不是 3 的倍数； 652，52151是 3的倍数； 839，39138不是 3516.【 巩固】某班同学在班主任老师带领下去种树， 学生恰好平均分成三组， 如果老师与学生每人种树一样多，共种了 1073 棵，那么平均每人种了棵树？【解析】因为总棵数是每人种的

17、棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把1073 数相乘，一个数为人数一个数为每人种的棵数，10732937 ，注意到人数是减去1 是 3 倍数，所以人数是37 均每人种了 29棵。【例 10 】在 865 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、 4、 5 整除，且使这个数值尽可能的小。【解析】方法一：设补上数字后的六位数是865abc ，因为这个六位数能分别被3、4、5 整除，所以它应满足以下三个条件：第一：数字和(865abc) 是 3 的倍数；第二：末两位数字组成的两位数bc 是 4 的倍数；第三：末位数字c 是 0 或 5。由以上条件，4|bc ，且 c 只能取 0 或 5，又

18、 能被 4 整除的数的个位数不可能是5， c 只能取 0，因而 b 只能取 0，2，4，6，8 中之一。又3|865ab0 ，且（ 8+6+5）除以 3 余 1， ab 除以 3 余 2。为满足题意“数值尽可能小”，只需取 a0 ， b2 。要求的六位数是865020。方法二：利用试除法，由于要求最小数，用865000 进行试除分别被3、 4、 5 整除，就是被60 整除， 865000601441640 ，所以 86500020865020 能被 60 整除要求的六位数是865020。【巩固】在 523 后面写出三个数字，使所得的六位数被【解析】 7、 8、 9 的最小公倍数是504，所得六

19、位数应被位数是 524000344523656 ，或 5236565047、 8、9 整除那么这三个数字的和是多少?504 整除 5240005041039344 ，所以所得六523152 因此三个数字的和是17 或 8【巩固】要使 15abc6 能被 36 整除，而且所得的商最小，那么【解析】分解为互质的几个数的乘积，3649 分别考虑所以9. 要使商最小，a,b 应尽可能小，先取a0 ，又 15a, b, c 分别是多少？c6 能被 4 整除 , 从而6abc12bc 只可能是 c ，所以1，3，5，7，3bc 是 9的倍数所以b1 ， c5 时，取得最小值.【例 11 】从 0、1、2、

20、3、 4、 5、 6、7、8、 9 这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被 3、5、 7、 13 整除，这个数最大是多少？【 解析】本题采用试除法。因为 3， 5， 7， 13 的最小公倍数为 1365，在 100000 之内最大的 1365 的倍数为 99645 (100000 ÷ 1365=73 355， 100000-355=99645) ，但是不符合数字各不相同的条件，于是继续减1365 依次寻找第二大，第三大的数，看是否符合即可。有 99645-1365=98280 ， 98280-1365=96915 96915-1365=95550 95550-1365

21、=94185 所以，满足题意的 5 位数最大为 94185【 巩固】请求出最大的七位数，使得它能被3、5、7、11、13 整除，且各位数字互不相同，这个七位数是多少？【解析】解法一：因为7× 11× 13 1001 ，999× 1001 999999 不是七位数，这个七位数是1001× abcdabcd000 abcd ，如果 c 不是 9，那么 b 就会重复，所以c 9，因为是5 的倍数，所以d 5，要使最大，先假设 a8 时， b 取 8， 5， 2 都不符合要求，当a 7 时， b 取 9，6， 3，0 中 3 符合要求，所以最大的是7402395

22、 分析题意知，这个七位数是7×11× 13 1001 的倍数，根据1001 的特点，解法二 :假设这个七位数是abcdefg ，满足 abcd efg n00n，很容易得出c 0，f 9，b 和 e 相差 1，如果 g 0，那么 a d，所以 g 5。假设 a 8，那么 d 3，b 和 e 就是 2， 1 或者 7， 6，经检验都不符合要求。 假设 a 7，那么 d 2，b 和 e 就是 4，3，经检验刚好可以。 这个七位数是 7402395.【例 12】修改 31743 的某一个数字，可以得到823 的倍数。问修改后的这个数是几？【解析】本题采用试除法。 823 是质数，

23、 所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷ 823=38 469，于是 31743 除以 823可以看成余 469 也可以看成不足 (823-469=)354 ，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大 354 或 354+823n也是满足题意的改动有n=1 时， 354+823： 1177， n=2 时，354+823×2=2000 ，所以当千位增加2，即改为 3 时，有修改后的五位数33743 为 823 的倍数【例 13】某个自然数既能写成9 个连续自然数的和，还同时可以写成10 个连续自然数的和，也能写成11 个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？【

24、 解析】本题所体现的是一个常用小结论，即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数。任意偶数个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数，并且除以这个偶数的一半后所得的商为一个奇数。证明方法很简单，以连续9 个奇数为例子：我们可以令连续9 个奇数为： a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4则他们的和为 9a，即为 9 的倍数。对于连续10 个自然数，可以为a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4， a+5则它们的和为10a+5=5（ 2a+1），即是 5 的倍数且除以5 后商是奇数。所以本题中要求的数是5， 9， 11 的最小公倍数的倍数即

25、495 的倍数，最小值即495.【巩固】 a 是一个三位数 . 它的百位数字是4， a9 能被 7 整除， a 7 能被 9 整除，问 a 是多少？【解析】 a 9 能被 7 整除，说明 a97a2 能被 7 整除； a7 能被 9 整除，说明 a7 9a 2 能被9 整除；7963，则 63261符合上述两个条件.( 因63261 ，则 a 可以写成这样的形式：a 63?61 ). 又 a 是一个百位数字是4 的三位数，估算知，a63 661 439 .【巩固】有些数既能表示成 3 个连续自然数的和，又能表示成4 个连续自然数的和； 还能表示成 5 个连续自然数的和请你找出700 至 100

26、0 之间，所有满足上述要求的数，并简述理由.【解析】 3 个连续自然数的和，一定能够被3整除； 4 个连续自然数的和，一定能够被2 整除，且除以 2所得的商是奇数，也就是说它不能被4整除，除以 4 所得余数为2； 5个连续自然数的和，一定能够被 5 整除 3、 2、 5 的最小公倍数是30，所以满足上述三个条件的最小的数是30 3、4、 5的最小公倍数是60，所以60 的整数倍加上 30 就可以满足条件70060 1140 ，所以第一个符合题意的数是750601230 ，最大的一个数是990601630 ，共计 16121 5个数，分别为 750、 810、 870、 930、 960【例 1

27、4 】用数字 6， 7， 8 各两个，组成一个六位数，使它能被168 整除。这个六位数是多少？【解析】因为 168=8× 3× 7，所以组成的六位数可以被8、3、 7 整除能够被 8 整除的数的特征是末三位组成的数一定是8 的倍数，末两位组成的数一定是4 的倍数，末位为偶数在题中条件下，验证只有688、768 是 8 的倍数，所以末三位只能是688 或 768，而又要求是7 的倍数，由例8 知 abcabc 形式的数一定是7、 11、 13 的倍数，所以768768 一定是 7的倍数，688 的不管怎么填都得不到7 的倍数至于能否被3 整除可以不验证，因为整除3 的数的规律

28、是数字和为3 的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值。所以 768768 能被 168 整除，且验证没有其他满足条件的六位数【例 15 】将数字 4，5，6，7， 8， 9 各使用一次，组成一个被667 整除的6 位数，那么，这个6 位数除以667 的结果是多少？【 解析】本题考察对数字 667 的特殊认识，即 667× 3=2001。本题要求用 4， 5，6， 7，8， 9 组成一个 667 的倍数，其实发现 4，5， 6，7， 8， 9 组合出的数一定是 3 的倍数，那么只要考虑组成一个 2001 的倍数即可， 而 2001 的六位数倍数具有明显的特征，即后三位是前

29、三位的一半，那么我们可以发现前三位一定是 900 多的数字，后三位是 400 多，很容易得到 956478。那么 956478÷ 667=1434。【例 16 】一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如， 3785942160 就是一个十全数现已知一个十全数能被1，2， 3， 18 整除，并且它的前四位数是4876 ，那么这个十全数是多少？【解析】这个十全数能被10 整除，个位数字必为0；能被 4 整除，十位数字必为偶数， 末两位只能是20设这个十全数为4876abcd 20 由于它能被11 整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之和的差能被11 整除，

30、即 86bd0(47ac2)bd1( ac) 被 11 整除，可能是bd1ac11、 bd1ac 、 bd111ac 由于 a 、 b 、 c 、 d 四个数分别为1、3、5、 9 中的一个，只能是bd1ac11，即 bdac10 所以 b 、 d 是 9 和 5； a 、 c是 3 和 1，这个十全数只能是 4876391520 ，4876351920 ，4876193520， 4876153920 中的一个由于它能被7、 13、 17 整除，经检验，只有4876391520 符合条件【例 17 】把若干个自然数 1、 2、 3、连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出

31、现的自然数最小应该是多少？最大是多少？【 解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2 和 5 的个数决定的， 有一对 2 和 5 乘积末尾就有一个零 由于相邻两个自然数中必定有一个是2 的倍数，而相邻 5 个数中才有一个 5 的倍数，所以我们只要观察因数5 的个数就可以了 551 ，1052 ，1553 ，2054 ，2555 ，3056 ，发现只有25、50、75、100、这样的数中才会出现多个因数5，乘到55 时共出现11213个因数 5，所以至少应当写到55，最多可以写到59【巩固】从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【解析】首先， 50、60、 70、

32、80、 90、 100 中共有 7 个 0其次， 55、 65、 85、 95 和任意偶数相乘都可以产生一个0，而 75 乘以偶数可以产生2 个 0，50 中的因数 5 乘以偶数又可以产生1 个 0，所以一共有742114个0【巩固】 975935972，要使这个连乘积的最后4 个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？【解析】积的最后4 个数字都是0，说明乘数里至少有4 个因数2 和 4 个因数5 9755539 ，9355187 ， 97222243 ，共有 3 个 5， 2 个 2，所以方框内至少是22520 【巩固】 11 个连续两位数的乘积能被343 整除，且乘积的末4 位都是 0，

33、那么这 11 个数的平均数是多少？3须是 49 的倍数，那就只能是49 或 98又因为乘积的末4 位都是 0，所以这连续的11 个自然数至少应该含有4 个因数 5连续的 11 个自然数中至多只能有3 个是 5 的倍数， 至多只能有1 个是25 的倍数，所以其中有一个必须是25 的倍数，那么就只能是25、 50 或 75所以这 11 个数中应同时有 49 和 50，且除 50 外还有两个是5 的倍数，只能是40， 41， 42， 43，44， 45， 46， 47，48， 49， 50，它们的平均数即为它们的中间项45【巩固】把若干个自然数1、 2、 3、连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53

34、位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？【解析】 1 到 10 的乘积里会出现25 和 10 两次末尾添零的情况，估算从 200 开始， 是 408149 个还要扩大至220 时再增加4 个 0，所以最小的数应该是220，而最大应该是2240，【例 18 】从左向右编号为1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行从左向右1 至 11 报数，报数为11 的同学原地不动， 其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1 至 11 报数， 报数为 11 的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1 至 1l 报数，报到11 的同学留下，其余同学出列那么最后留下的同学中

35、，从左边数第一个人的最初编号是_【解析】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11 的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初23第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331【例 19 】在 1、2、 3、 4 2019 这 2019个数中有多少个自然数a 能使 2019+a 能被 2019-a整除。【解析】本题考察代数知识的综合技巧，是一道难度较大的题目。要使得2019+a 能被 2019-a整除，我们可以将条件等价的转化为只要让2008a 是一个整数即可。下面是一个比较难的技巧，我们知道2007a若 a可以使得2008a是 一 个 整 数 ， 那 么 a也同样可以使得20

36、07a2008a2008a2007 a4015是一个整数，这样只要2019-a 是 4015的约数即可，2007a12007 a2007a将 4015 分解可知其共有8 个因数，其中4015 是最大的一个，但是显然没有可以让2019-a 等于4015 的 a 的值，其余的7 个均可以有对应的a 的值，所以满足条件的a 的取值共有7 个。【例 20 】以多位数142857 为例，说明被11 整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【解析】 1428571100000410000210008100 5 10711 ( 100001 1) 4( 19999)2( 100

37、11)8 (1 99)5( 111)7 1( 1 100001 4 99992 10018 99511)(418275)因为根据整除性质1 和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被11 整除，再根据整除性质1，要判断 142857 能否被11 整除，只需判断418275( 487)(1 2 5) 能否被 11整除，因此结论得到说明 .【巩固】以多位数为例，说明被7、11、 13 整除的规律【解析】1000142(10000000011)857(9999991)314(10011).27527514210000000011428579999998573141001314275(1421000000

38、0018579999993141001)(857142275314)因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被7、 11、 13 整除，再根据整除性质 1，要判断能否被 7、11、13 整除，只需判断857142275314 能否被 7、11、13 整除，因此结论得到说明.【例 21 】已知两个三位数abc 与 def 的和 abcdef 能被 37 整除， 试说明： 六位数 abcdef 也能被 37 整除【解析】 abcdefabc1000defabc999( abcdef ) ，因为 999 能被 37 整除，所以 abc999 能被 37整除，而 ( abcdef ) 也

39、能被 37 整除，所以其和也能被37 整除，即 abcdef 能被 37 整除【巩固】如果 abcde 能被 6 整除，那么2(a【解析】 623bcd )e 也能被6 整除 2| abcde 2|e 6|3e 3| abcde 3|a+b+c+d+e 6|2(a+b+c+d+e) 6|2(a+b+c+d+e)-3e 6|2 （ a+b+c+d） -e【巩固】若 4b2cd32 ，试问 abcd 能否被 8 整除【解析】由能被 8 整除的特征知，只要后三位数能被bcd(4b2cd )96b8c8(12bc) 能被?请说明理由8 整除即可 .bcd8 整除，而 4b2c100b10cd ，有d3

40、2 也能被 8 整除，所以abcd能被8 整除.【例 22 】两个四位数【解析】考虑到 72数字之和为数字之和AA275 和 275B 相乘，要使它们的乘积能被72 整除，求A 和 B .89 ，而 A275 是奇数， 所以 275B 必为 8 的倍数， 因此可得 B2 ；四位数 2752 各位275216 不是 3 的倍数也不是9 的倍数，因此A275 必须是 9 的倍数，其各位275A14能被 9整除，所以A4.【巩固】若四位数 9a8a 能被 15 整除，则a代表的数字是多少？【解析】因为 15 是 3 和 5 的倍数，所以9a8a 既能被 3 整除，也能被是 0 或 5，能被3 整除的

41、数的各位数字的和是3 的倍数当的倍数；当a5 时， 9a8a17 ，是 3 的倍数所以，5 整除能被5 整除的数的个位数字a0 时， 9a8a17 ，不是a 代表的数字是53【例 23 】为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7 个数字组成，它们不是1、2 就是 3在密码中1 的数目比 2 多， 2 的数目比3 多，而且密码能被3 和 16 所整除试问密码是多少？【解析】密码由 7 位数字组成，如果有两个3 的话，那么至少是2349 位数，与题意不符；只有一个3 的话，那么至少有两个2. 如果有三个2，那么 1 至少有四个，总共至少有1348 个数字，与题意不符，所以2 只有两个， 1 有四个，

42、如此，各数位数字和为44311 ，不是 3 的倍数，所以密码中没有3，只有 1、 2，由 1、2 组成的四位数中只有2112 能被 16 整除（从个位向高数位推得），所以密码的后四位是2112，所以前三位数字和是3 的倍数， 只有 111 和 222 满足条件，其中 2222112 的 2 多于 1，应予排除，所以这个密码是1112112.【巩固】为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7 个数字组成，它们不是2 就是 3在密码中比 3 多，而且密码能被3 和 4 所整除试求出这个密码【解析】密码中的 2 比 3 要多，所以2 可能有 4、 5、6 或 7 个当 2 有 4 个时，密码的数字和为2

43、 的数目17；当 2有 5 个时，数字和为 16；当 2 有 6 个时，数字和为15；当 2 有 7 个时，数字和为14由于一个数能被3 整除时，它的数字和也能被3 整除，所以密码中 2 应当有6 个，这样 3 就只能有 1 个另外，一个数能被4 整除，那么它的末两位数也应当能被4 整除，所以末两位数必定是32所以，密码是 2222232【例 24 】一个 19 位数 7777044444 能被 13 整除，求 内的数字9个9个【解析】13|7777044444 ， 13| 77 770444 ， 13|7777770000000+77704449个9个9 13|777777 ， 13|777

44、7770000000 ， 13|7770444 ， 13| 7770444 44413432，13|77702， 设7770 =77707770135979， 013(92) 6【巩固】应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数66 6?555可被 7整50个 650个5除？【解析】由于 111111 1111001 可被 7 整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉48 个数码，并不改变其对 7 的整除性，于是还剩下“66？55 ”从中减去63035，并除以100，即得“ 3？2”可被 7整除 . 此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322 和 392 可被 7 整除所以？处应填 2 或9.【例 25 】多位数 200920092009736 ，能被 11 整除， n 最小值为多少？n个 2009【解析】奇数位数字之和为 6 72n ， 偶 数 位 数 字 之 和 为 3 9n ， 这 个 多 位 数 整 除 11 ， 即( 3 9n ) ( 6 7 n 2