椭圆专题复习

1、学习必备欢迎下载椭圆专题复习一、椭圆的定义：平面内到两个定点F 1、F 2 的距离的和等于常数(大于 F1F 2)的点的轨迹叫做_这两定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫_集合 P M|MF 1 MF 22a ，F 1F 2 2c，其中 a>0，c>0，且 a， c 为常数：(1)若 _ ，则集合 P 为椭圆；(2)若 _ ，则集合 P 为线段；(3)若 _ ，则集合 P 为空集二、椭圆的标准方程、参数方程和一般方程：x2y 2xa cos为参数）1、焦点在 x 轴：1( ab0)（参数方程，其中b2 ybsina2y2x2xb cos（参数方程，其中为参数）2、焦点在y轴：1(ab

2、0)b2 yasina2一般方程可设为： mx2ny 21(n, m 0) （通常已知椭圆过两点时求椭圆方程，可设为一般方程）三、椭圆的几何性质（以x2y21(a b0) 为例）a2b2a x a ， b1、范围：yb2、对称性： 两条对称轴 x0， y0；一个对称中心(0,0)3、顶点及焦点坐标： 椭圆与坐标轴的交点叫做双曲线的顶点，即四个顶点 ( a,0) ，(a,0) ，(0,b) ，(0,b) ；两个焦点 F1(c,0) ， F2 (c,0)4、长短轴及焦距 ：长轴长为2a ，短轴长为 2b ，焦距 F1 F22c、 a, b, c 的关系及离心率：c2a2b2 ；离心率 ec (0

3、e1) ， e 越小椭圆越圆， e越大椭圆越扁5a2b26、通径： 过焦点并垂直于长轴的弦，弦长为a例：1、分别求满足下列条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的3 倍，经过 A(3,0)(2) 椭圆经过两点P1(6， 1)， P2(3，2)2、求出椭圆的离心率为焦点的椭圆 x22 1，则此椭圆的离若 P是以 F、F2y2 0， tan PF1F 212a b 1(a>b>0)上的一点，且 PF1 ·PF22心率为 _设以 F 1、 F2 为焦点的椭圆x2y2|PF1|2 | PF2 |,求离心率的范围a22 1(a>b>0) 上存在一点 P，使b3、求适合

4、下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆上点P 到两个焦点的距离分别为5、 3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；学习必备欢迎下载四、共焦点椭圆系方程x2y2x2y 2与b21(a b0) 共焦点的椭圆方程可设为b2a 2a2例题： 求经过点 (2， 1)，且与椭圆12x2 3y2 36 有共同焦点的椭圆方程五、点与椭圆的位置关系（ 1）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内x02y021a 2b2（ 2）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上x02y021a2b2（ 3）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外x02y021a 2b21(a b0) ，再代点求参数.六、直线与椭圆的位置

5、关系（ 1）位置关系： 相交 相切 相离（ 2）判断方法： 联立直线与椭圆方程，通过判别式判断若0直线与椭圆没有交点相离若0直线与椭圆有一个交点相切若0直线与椭圆有两个交点相交例题： 已知直线 l : y 2 x m ，椭圆 C : x2y 21, 试问当 m 取何值时，直线l 与椭圆 C42相交相切相离七、中点弦问题：与圆锥曲线的弦的中点有关的问题处理椭圆中的中点弦问题主要有三个途径：1、方程组法：联立直线与椭圆方程，通过韦达定理写出中点坐标进行求解（注意判别式要大于0）2、点差法：对直线与椭圆的两焦点设而不求，分别代入椭圆方程，两式相减既得弦的中点坐标和斜率的关系1l与椭圆 x2y21交于

6、A、B两点，A、B中点坐标为2,1，求直线l的方程例： 、已知直线1612学习必备欢迎下载22、已知椭圆xy21 （1）求斜率为2 的平行弦的中点的轨迹方程（2）过点2,1 的直线 l 与椭圆相交，求2被 l 截得的弦中点的轨迹方程八、焦点三角形：（椭圆上的一点与两焦点构成的三角形）（ 1）焦点三角形的面积：PF1 F2 中结合定义PF1PF22a 与余弦定理 cos F1PF 2 ，将有关线段PF1、 PF2 、 F1F2和角结合起来，设F1PF2，则 S PF1F2x 2y 21(a>b>0) 的两个焦点， P 是椭圆上一点，且PF1PF2 ,若 PF1 F2例： 1、 .已知

7、 F1,F2 是椭圆 C:2b 2的面积是 16，则 ba_2、已知点 P 是椭圆 x 2y 21 上的一点， F1、 F2为焦点，1PF20 ，求点 P 到 x 轴的距离 .4PF（ 2）焦点三角形的周长：利用椭圆的定义MF1MF2 2a （ M为椭圆上的一点）例：已知 F1、 F2为椭圆 x2y21的两个焦点，过F1 的直线交椭圆于A、B两点.若 F2AF2B 12，则259AB.（ 3）有关 PF1PF2 的问题例题：设椭圆 x2y 21的两焦点分别为F1 和 F2 ，P 为椭圆上一点， 求 PF1PF2 的最大值， 并求此时 P 点94的坐标 .学习必备欢迎下载九、弦长问题（ 1）若直

8、线 ykxm 与椭圆相交于两点A( x1 , y1 ) 、B(x2 , y2 ) ， AB1k2 x1x2112 y1 y2k推广： AB1k 2 x1x21k 2( x1x2 )24x1x2 ，再联立直线与椭圆方程，通过韦达定理进行求解，最后可得AB1 k 2（ a 为联立所得的一元二次方程的二次项系数，为判别式）a例题： 已知斜率为2 的直线经过椭圆x2y2A 、B 两点，求 AB 长51的右焦点 F ，与椭圆交于4十、三角形面积问题若直线 ykxm 与椭圆相交于两点A(x1, y1 ) 、 B(x2 , y2 ) ，直线外有一点 P(x0 , y0 ) ，连接 PA, PB ，则S PA

9、B 的求解方法是求出弦长AB1k 2 x1 x2 求出点 P( x0 , y0 ) 到直线的距离kx0y0m ，那么1k 211 k2x1kx0y0mS PABx21 k22例题： 已知直线 y2 x1 与椭圆 x2y21 相交于两点 (,y1)、 B( x2 , y2 ) ，椭圆的右焦点为F2 ，求43A x1S F2AB十一、椭圆的最值问题x2y2例题： 1、设 F 1， F2 分别是椭圆2516 1 的左，右焦点， P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为 (6,4)，则 PM PF 1 的最小值为 _最大值为2、若椭圆x2y21内有一点 P 1,1 , F 为右焦点，椭圆上有一点 M ， M

10、P MF 的最大值为，43MP2 MF 最小值为 _学习必备欢迎下载综合练习1、已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为 1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l ： y kx m 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点 (A ， B 不是左右顶点 )，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标2 、 设 A x1, x2 , B x2 , y2y2x21 a b 0 上 的两点， m11x2, y2，且满 足是椭圆22x, y, nabbabam n 0 ，椭圆的离心率e3 ，短轴长为2，

11、 O 为坐标原点2（1）求椭圆的方程（2）若存在斜率为k 的直线 AB 过椭圆的焦点F 0,c （ c 为半焦距），求直线AB 的斜率 k 的值（3）试问：AOB 的面积是否为定值？若是，请给出证明；若不是，请说明理由3、（ 2012 重庆高考21）已知椭圆的中点为原点O，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为F1 , F2 ，线段 OF1 ,OF2 的中点分别为 B1 ,B2 ，且 AB1 B2 是面积为 4 的直角三角形（ 1）求该椭圆的离心率及标准方程（ 2）过 B1 作直线交椭圆于点P,Q， PB2QB2 ，求PB2Q 的面积学习必备欢迎下载224、已知直线 l ：y x 6，圆 O： x2 y25，椭圆 E：y2x2 1( a b 0) 的离心率 e3，直线 l 被圆 O截ab3得的弦长与椭圆的短轴长相等（ 1）求椭圆 E 的方程（ 2）在椭圆 E 上是否存在三个点E、F、