正反比例函数和一次函数二次函数知识点汇总

1、学习必备欢迎下载正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果y特别地，当一次函数数。2、一次函数的图像kxb （ k， b 是常数，ykxb 中的 b 为k0），那么 y 叫做 x 的一次函数。0 时， ykx （ k 为常数， k0）。这时，y 叫做x 的正比例函所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数ykxb 的图像是经过点（0， b）的直线；正比例函数ykx 的图像是经过原点（0， 0）的直线一次函数（ 1）一次函数的性质：y=kx b(k 、 b 为常数，k 0）当k 0 时， y 的值随x 的值增大而增大；当 k 0 时， y的

2、值随x 值的增大而减小直线y=kx b(k 、 b 为常数，k 0）时在坐标平面内的位置与k 在的关系学习必备欢迎下载直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限正比例函数4、正比例函数的性质一般地，正比例函数ykx 有下列性质：（ 1）当 k>0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（ 2）当 k<0 时，图像经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小。反比例函数(1)反比例函数如果 ykx( k 是常数， k 0)，那么

3、 y 叫做 x 的反比例函数(2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线(3)反比例函数的性质当 k 0 时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y 随 x 的增大而减小当 k 0 时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y 随 x 的增大而增大反比例函数图象关于直线y± x 对称，关于原点对称(4)k 的两种求法若点 (x0， y0) 在双曲线 yk上，则 k x0y0k 的几何意义：x若双曲线 yk 上任一点 A(x， y)， AB x 轴于 B，则 S AOB1 OBAB1 | x | | y |x221| k | .2(5)正比例函数和反比例

4、函数的交点问题k2(k20) ，则若正比例函数y k1x(k10)，反比例函数 yx当 k1k2 0 时，两函数图象无交点；当 k1k2 0 时，两函数图象有两个交点，坐标分别为(k2 ,k1k2 ), (k2 ,k1k2 ). 由此可知，正反k1k1比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称学习必备欢迎下载反比例函yk (k 0)数xk 的符号k>0k<0yy图像OOxxx 的取值范围是x0，x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是y0；y 的取值范围是 y0；性质当 k>0 时，函数图像的两个分支分别当 k<0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象

5、限内， y在第二、四象限。在每个象限内， y随 x 的增大而减小。随 x 的增大而增大。一元二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果y ax 2bx c( a,b,c 是常数， a0) ，那么 y 叫做 x 的一元二次函数 .2.二次函数 yax 2 的性质(1) 抛物线 y20）的顶点是原点，对称轴是 y 轴.ax （a(2) 函数 yax2 的图像与 a 的符号关系：当 a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当 a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数yax2bx c 的图像是对称轴平行于( 包括重合 ) y 轴的抛物线 .224.二次函数 yax2bxc 用配方法可化成： y a

6、 xk 的形式，其中 hb， k4 acb .hax22 a4 a5.抛物线 ybxc 的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当 a0 时，开口向下； a 越小，抛物线的开口越大， a 越大，抛物线的开口越小。 对称轴为平行于y 轴 ( 或重合 ) 的直线，记作 xh . 特别地， y 轴记作直线 x0. 定点是抛物线的最值点 最大值 ( a 0 时) 或最小值 ( a0 时) ，坐标为 ( h ,k ) 。6. 求抛物线的顶点、对称轴的方法24ac b2b4acb2b(1)公式法：y ax2bbx c a x4a，顶点是（，），对称轴是直线 x

7、.2a2a4a2a(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y a xh 2 k的形式，得到顶点为 ( h , k ) ，对称轴是 xh .(3) 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失7. 抛物线yax 2bxc 中，a,b, c 的作用(1) a 决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a 完全一样.(2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb, 故：2a学习必备欢迎

8、下载 b0 时，对称轴为 y 轴； b0 时, 对称轴在 y 轴左侧； b0 时,对称轴在 y 轴右侧 .(3) c 的大小决定抛物线 y ax 2aabxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0时， y c ，抛物线yax 2bx c 与 y 轴有且只有一个交点 (0 ， c ) ： c0 ，抛物线经过原点 ; c0 , 与 y 轴交于正半轴；c 0, 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件互换时仍成立. 如抛物线的对称轴在8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： y ax 2 ； yax 2k ； y a x h2； y a x图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴y 轴右侧

9、，则 b0 .a2ax 2bx c .hk ； y顶点坐标yax 2yax 2ky a x h y a x h2当 a0时开口向上2k当 a0时开口向下x 0( y 轴 )x 0( y 轴 )x hx h(0,0)(0,k )( h ,0)( h , k )2yax 2bxcxb2ab4acb(，)2a4a9. 用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式 ：(2 )顶点式：yax2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常选择一般式.ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式 ：已知图像与x 轴的交点坐标x1 、 x2 ，通常选用交点式：ya xx

10、1xx2 .10. 直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1)y 轴与抛物线 yax 2bx c 得交点为 (0 , c)(2)与 y 轴平行的直线xh 与抛物线 y ax 2bxc 有且只有一个交点 ( h , ah 2bh c ).(3) 抛物线与 x 轴的交点二次函数yax 2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1 、 x2 ，是对应一元二次方程ax 2bxc0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点 ( 顶点在 x 轴上 )0 抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与x 轴相

11、离 .(4) 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同 (3) 一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是ax 2bxc k 的两个实数根. 而根的存在情况仍如(3) 一样由根的判别式判定。(5) 一次函数 y kxn k0的图像 l 与二次函数 yax 2bxc a0 的图像 G 的交点，由方程组y kxn的解的数目来确定：y ax2bx c方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点 ;方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点 .(6) 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物

12、线y ax2bxc 与 x 轴两交点为 A x1，0，B x2，0 ，由于 x1、 x2 是方程 ax 2bxc0 的两个根，故由韦达定理知：x1 x2b,x1 x2caa学习必备欢迎下载2b2ABx1 x2x1x22x1 x224x1 x2b4c4acaaaa11 二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程 0ax2bxc 就是二次函数 yax2bxc 当函数 y 的值为 0 时的情况(2)二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数yax 2bxc 的图象与 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y0 时自变量 x 的值，即一

13、元二次方程ax2bxc0 的根(3)当二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴有两个交点时， 则一元二次方程yax 2bx c 有两个不相 等 的 实 数 根 ； 当 二 次 函 数 y ax 2bxc 的 图 象 与 x 轴 有 一 个 交 点 时 ， 则 一 元 二 次 方 程ax 2bx c0 有两个相等的实数根；当二次函数yax 2bxc 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程 ax2bxc0 没有实数根12二次函数的基本形式a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质y 轴x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增a0向上0 ，0大而减小； x 0 时，

14、 y 有最小值 0 y 轴x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增a0向下0 ，0大而增大； x 0 时， y 有最大值 0 1)二次函数基本形式：yax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。(2) yax2c 的性质：上加下减。开a的符号口顶 点对 称方坐标轴性质向a0向0，cy 轴x0 时， y 随 x 的增大而增大； x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时，上y 有最小值 c a0向0，cy 轴x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 随 x 的增大而增大； x0 时，下y 有最大值 c 2(3) ya xh的性质：结论：左

15、加右减。学习必备欢迎下载开对口顶 点a称性质方坐标轴向向h ，0X=xh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 有a0上h最小值 0向h ，0X=xh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时， y 有a0下h最大值 0(4) y2axhk 的性质：开对a的口顶 点称性质符号方坐标轴向向h ，kX=xh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 有最小a0上h值 k 向h ，kX=xh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时，

16、 y 有最大a0下h值 k 4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： y ax2 ； yax 2k ； ya x h 2 ； y a xh 2k ； y ax2bx c函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2x0（ y 轴）（ 0,0）yax 2kx0（ y 轴）(0,k )当 a0 时ya xh2开口向上xh( h ,0)y a x h2k当 a 0xh( h , k )时yax2bxc开口向下xbb4acb 22a(，2a4a ).学习必备欢迎下载5.二次函数图像与性质：二次函数函数y ax2 bx c(a, b,c是常数， a 0)a>0a<0yy图像（ 1）抛物线开口向上，并向（ 1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；上无限延伸；bb4ac b 2b（ 2）对称轴是 x= 2a ，顶点坐标是（2a， 4a）；（ 2）对称轴是 x=2a ，顶bb（ 3）在对称轴的左侧，即当x<