正余弦函数的图像和性质导学案

1、学习必备欢迎下载正弦函数、余弦函数的图象和性质学习目标1能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象2了解周期函数及最小正周期的概念3熟记正、余弦函数的单调区间,并利用单调性解题学习重点、难点1能熟练运用“五点法”作图2会求一些简单三角函数的周期3掌握正、余弦函数的有关性质并会运用学习过程任务一、课前准备（预习教材P30 P40，找出疑惑之处）任务二、新课导学一、正（余）弦函数的定义实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（或余弦） 值，这样，任意给定一个实数x ，有唯一确定的值sin x（或 cos x）与之对应 ,由这个对应

2、法则所确定的函数y sin x ( 或 ycosx ) 叫做正弦函数（或余弦函数）其定义域是 R ，及 y sin x ( xR) 叫做正弦函数，y cosx (x R) 叫做余弦函数二、正（余）弦函数的图像注： 1我们可以利用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象2为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制 来度量，使自变量与函数值都为实数 探索新知： 正弦函数的图像 函数 y=sinx的图象第一步： 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线第二步： 在相应坐标系内，在x 轴表示 12 个角（实数表示） ，把单位圆中12 个角的正弦线进行右移第三步： 通过刚才

3、描点（2253366271164356x0,sinx0） ,把一系列点用光滑曲线连结起来y1O257435112-16323663236x323学习必备欢迎下载问题 1：观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？问题 2：如何作 ysin x(xR) 的图象？ （自己动手完成） 余弦函数y=cosx 的图象探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图像变换得到余弦函数的图象吗？cosx sin(x)sin(x)22根据诱导公式 cos xsin( x) , 可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移个单位长22度即得余弦函数y=cosx 的图象 .问题 ：为

4、什么选第二个诱导公式而不选第一个？余弦函数 ycos x ，x0, 2 的五个关键点是：. 正弦曲线与余弦曲线：正弦函数 ysin x 的图象和余弦函数ycosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线y y=sinx1-6-5-4-3-2-o23456x-1yy=cosx1-6-5-4-3-2-23456 x-1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：学习必备欢迎下载例 1 画出下列函数的简图（1） y1sin x, x0,2 （ 2） ycos x, x0,2练 1画出下列函数的简图：（1） ysin x（2） y2sin x, x0,2三、正（余）弦函数的性质1定义域：正 ( 余 ) 弦

5、函数的定义域都是2值域：（1）正弦函数的值域是1,1 当且仅当x2, (kZ ) 时，取得最大值；k2 当且仅当 x3， (kZ ) 时，取得最小值2k2（2）余弦函数的值域是 1,1 当且仅当 2k( k Z ) 时，取得最大值； 当且仅当 x2k， (kZ ) 时，取得最小值学习必备欢迎下载例 2求下列函数的定义域、值域（1） y4cos x （ 2） ylgsin x （ 3）ycos(2),x , x3练 2：（1）求函数y2sin 2 xcosx1 的定义域（2）求函数y2sin(2 x), x, 的值域36 6例 3求下列函数的最值，并指出分别什么时候取到最值.（1） ysin 2

6、 x1（2） ysin 2 x2sin x课后作业（一）1函数 ysin x 的定义域3学习必备欢迎下载2 f ( x) 的定义域为 0,1) ， f (cos x) 的定义域3. 求函数的定义域: （ 1） y12cos x（ 2） ysin x cos x1cos x4求下列函数的值域（1） y 3sin( 1 x), x , （ 2） y3sin x124sin x25求下列函数的最值，并指出分别什么时候取到最值.（1） y2sin x（2） ycos x1 x R x , 134（3） ysin()3x366若 y a b cos3 x 的最大值为3 ，最小值为1，求 y2a sin

7、x b 的最值 .22学习必备欢迎下载3周期性：周期函数定义：对于函数f ( x) ，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有：f ( xT)f ( x) 那么函数f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期 . （观察图象）正弦函数f (x)sin x 性质如下：（1）正弦函数的图象是有规律不断重复出现的.（2）规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k, kZ 重复出现） .（3）这个规律由诱导公式sin(2 kx)sin x 可以说明 .当 x 增加 2k（ kZ ）时，总有f (x2k)sin( x2k)sin xf ( x) （ 4） 2,4等

8、叫做函数ysin x 的周期 .有关周期函数的说明：（ 1）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期 .我们通常所说的三角函数的周期是指三角函数的 最小正周期 .（ 2）并不是所有周期函数都存在最小正周期.（ 3）周期函数xM ，则必有 xTM , 且若 T0 则定义域无上界；T0 则定义域无下界 .（4）“每一个值”只要有一个反例，则f (x) 就不为周期函数（如f ( x0T )f (x0 ) ） .（ 5）周期函数的周期不止一个，若T 是周期，则kT (TZ ) 一定也是这个函数的周期.问题：（1）对于函数ysin x ， xR 有 sin(2)sin，能

9、否说2是它的周期？6363（2）正弦函数 ysin x ， xR是不是周期函数，如果是，周期是多少？（3）若函数f (x) 的周期为 T ，则 kT ， kZ* 也是 f (x) 的周期吗？为什么？同理当 x 增加 2k（ kZ ）时，总有f (x2k )cos( x2k)cos xf ( x) ycos x 周期为 2k（ kZ ），最小正周期为2.例 4. 求下列函数的周期.（1） y3cos x （2） ysin 2x （ 3） y2sin( 1 x)26结论：函数 y sin( x) 的周期是 T2学习必备欢迎下载练 3. 求下列函数的周期.（1） ysin( 1 x) （ 2） ys

10、in( 2x)44注： 有关三角函数的周期性：（ 1） y Asin( x) kT2（ 2) 若函数 yf ( x) 满足 f (xa)f (x) ，其中 a0 ，则 f (x) 的周期为 2a （ 3）若函数（ 4）若函数yf ( x) 满足yf ( x) 满足f ( xa)10 ，则 f (x) 的周期为 2a ，其中 af (x)f ( xa)f ( x a) ，其中 a0 ，则 f ( x) 的周期为 2a 例 5已知函数 f ( x) 是奇函数， 6 是 f ( x) 的一个周期，而且 f ( 1)1, 求 f (5) .例 6已知偶函数 yf ( x) 满足条件 f ( x 1)f

11、 ( x 1) , 且当 x 1,0 时， f ( x) 3x 4,9求 f (log 51 ) 的值 .3学习必备欢迎下载课后作业（二）1设 f ( x) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数，f ( x) 在(0,3)内单调递减，且yf (x) 的图像关于直线 x3 对称，则下面正确的结论是B. f (3.5)（）A. f (1.5)f (3.5)f (6.5)f (1.5)f (6.5)C . f (6.5)f (3.5)f (1.5)D. f (3.5)f (6.5)f (1.5)2函数 y sinx()的最小正周期是2A BC 2D 423在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数

12、，且f ( x)f (2x) . 若 f (x) 在区间 1,2 上是减函数，则 f ( x) ( )A. 在区间 2, 1 上是增函数，在区间 3, 4 上是减函数 B. 在区间 2, 1 上是增函数，在区间 3, 4 上是减函数C.在区间 2,1 上是减函数，在区间3, 4 上是增函数D.在区间 2,1 上是减函数，在区间3, 4 上是增函数4若函数f ( x) 满足 f (x1)f ( x) ，则函数yf (x) 的一个周期是 _5函数 fx 对于任意实数 x 满足条件 fx1，若 f 15 ，2f x则 f f5_ 6判断下列函数是否为周期函数；若存在最小正周期，请求出.（ 1） ys

13、in 2x（ 2） y sin( x5)（ 3）y sin x（4） y sin x24单调性：（ 1）正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从增大到；在每一个闭区间上都是减函数，其值从减小到.即;.（2）余弦函数在每一个闭区间上都是减函数，其值从减小到；在每一个闭区间上都是增函数，其值从增大到.即;.学习必备欢迎下载例 6确定下列函数的单调区间（1） y 1 cos 2x（ 2） y sin( 1 x) ， x 2 ,2 23练 4. 确定下列函数的单调区间（1） y sin 3x（ 2） y sin( 1 x) ， x 2 ,2 23例 7利用三角函数的性质比较下列各组数的大小（1） s

14、in() 与 sin()（ 2） cos( 23) 与 cos( 17 )181054练 5. 利用三角函数的性质比较下列各组数的大小（1） cos(7) 与 cos(7)（ 2） cos217 与 cos( 1220 )（ 3） sin1,sin 2,sin 386例 8解不等式 sin x10, 2 ，若 xR呢？， x2学习必备欢迎下载31练 6. 解不等式（ 1） sin x（ 2） cos x22课后作业（三）1. 函数 ysin2x 的单调递减区间是（）3A 2k,2k5, kZ1212C k5 , k11, kZ1212B 4k5 ,4k11, k Z33D k, k5Z, k1

15、2122. 下列不等式成立的是（）A sin18sin10B sin 3sin 2C cos33cos17D cos 7cos1654553.若函数 ysin x 1在区间,上是增函数，则a 的取值范围是（）a2A ,B ,2C,0D ,22224.函数 ycosx 的一个单调增区间是（）A ,44B, 3C ,3D3,244225 .、均为锐角 , 若 sin1 , tan2 , cos3 , 则 、 、 的大小顺序34是（)A.B.C.D.学习必备欢迎下载6. 比较大小（ 1） sin 250sin 260（ 2） cos15cos14897.设sin x 5t 1t的范围是.，则8.在A

16、BC 中， sin Asin Bsin C , 则角 A 、 B 、 C 的大小关系是.9.（ 1）求函数 f ( x)2 sin(2x) 在区间 0, 上的单增区间 .3（ 2）求函数 f ( x)2 sin(2x) 的单调增区间 .310. 解下列方程或不等式；（ 1） sin x1；（ 2） sin 2 x1（ 3） sin x12225奇偶性：（1）正弦曲线关于对称 , 及定义域关于原点对称且f (x)f ( x) 所以函数ysin x, xR 为函数；（ 2）余弦曲线关于对称, 及定义域关于原点对称且f (x)f (x)，所以函数ycos x, xR 为函数思考： 请用诱导公式推导正

17、（余）弦函数的奇偶性：学习必备欢迎下载例 8求下列函数的奇偶性（1） f ( x)2 sin(2 x5) （ 2） f ( x)2sin x 2 （ 3） f ( x) lg 1sin x21sin x练 7. 判断下列函数的奇偶性（1） ycos x2（ 2） ysin x cos x例 9若函数f ( x)sin( x) 是 R 上的偶函数，则=练 8. f ( x)5sin(2 x) 的图象关于原点轴对称，则=6、对称性：（1） ysin x 的对称轴为 xk， kZ ；对称中心为 (k,0) ， kZ 2（2） ycosx 的对称轴为 xk， k Z ；对称中心为 (k,0) ， kZ

18、 1 x 的图象的一条对称轴的方程是（2例 10函数 ysin）2A x 0B x2C xD x 21 cos(3x练9.函数f (x) 的对称轴是22学习必备欢迎下载例 11设函数f (x) sin(2 x ) ( 0), y f (x) 的一条对称轴是直线 x ， 8求的值例 12函数f ( x)4sin(2 x) 的对称中心是6练 10. 函数f (x)2cos( 1 x) 的对称中心是28任务三、巩固训练一、选择题1函数 y1 cos x 的图象（）A 关于 x 轴对称 B 关于 y 轴对称C关于原点对称D关于直线 x= 对称22函数 ysin1 x3 的最小正周期是（）2A B C

19、2D 423. 已知 x(0,2),函数 ysin xcos x的定义域为 ()A. 0, B. ,3 C.,D.3,2 22224 不等式 cos x0, x0,2 的解集为（）A 0,B 0,C , 3 D( ,3 )22225函数 y sin（ 2x 5）图象的一条对称轴方程是()2A xB xC xD524 x84学习必备欢迎下载6. 函数 ysin 2x 的图象3A 关于点对称B 关于直线，03对称D关于直线C关于点，04（）x 对称4x 对称37 函数 y2 sin(2x), (x0, ) 为增函数的区间是()6A. 0,B.7C.5D.5312,123668. 已知函数( ) s

20、in()() ，下面结论错误的（）fxxxR2A 函数f ( x) 的最小正周期为2B函数f ( x) 在区间C 函数f ( x) 的图像关于直线x0 对称D函数f ( x) 是奇函数0,上是增函数29. 函数 ysin x 的一个单调增区间是（）A，B3C，D3，210. 设点 P是函数 f (x)sinx 的图象 C 的一个对称中心， 若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值，则 f (x) 的最小正周期是4A 2BCD42二、填空题11.f ( x)cos( x) 最小正周期为，其中0 ，则.6512.已知函数 f (x) ax5bx3c sin x7 （ a 、 b 、 c 为常

21、数），且 f (3) 8，则f ( 3).13函数 ysin(2 x) 的周期是，对称轴是，对称中心是，4单调递增区间是.14.比较 cos 4, cos 4, sin 7的大小.56学习必备欢迎下载15. 下列命题中正确命题的序号是（1） ycosx 的图象向左平移，得 y sin x 的图象 .2（2） ysin x 的图象向上平移2 个单位，得 ysin( x 2) 的图象 .（3） ycosx 的图象向左平移个单位，可得y cos(x)的图象.（4） ysin( x) 的图象由 ysin x 的图象向左平移个单位得到 .33三、解答题16. 用五点法画出函数 y 1 cos x(0 x

22、 2 ) 的简图17. 求下列函数的定义域（1）sinx1（ ）（ 2）ysin xcos x3 log 12sin(2 x)2y3224学习必备欢迎下载18求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时的x 的取值集合 .（1） y3sin 2x x R x , （ 2） y5cos(1 x) 1344219. 求下列函数的值域：（1）y2cos 2x3（ 2）y2cos 2 x cos x 1 （ 3）y 3cos(3x), x ,242620. 求下列函数的最小正周期 .（1） y sin 1 x（2） y 2sin( 1 x6) （ 3） y 2sin( 1 x3) cos(1

23、 x)23226学习必备欢迎下载21. 判断下列函数的奇偶性 .（1） y2 sin 2x（ 2） ysin x1 （ 3） y1cos xcos x122. 已知定义在 R 上的奇函数f ( x) 在区间 (0,) 上单调递增，且1ABC 的内f ( ) 0 ，2角 A 满足 f (cos A)0 ，求角 A 的取值范围 .学习必备欢迎下载1.4.3 正切函数的图象与性质学习目标：1.熟练运用正切函数的图象与性质解题.2.能借助正切函数的图象探求其性质.学习重点： 用单位圆中的正切线作正切函数图象、性质的研究.学习过程：任务一、课前准备（预习教材P42 P45，找出疑惑之处）任务二、新课导学

24、复习回顾：1. 正切函数的定义域：，周期：.2. 作正切线 .设置情境： 前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质.知识探究1. 利用正切线绘制ytan x 在 (,) 内图象 .22（将单位圆左移到y 轴的左侧，正切线的大小和方向不变，不影响其应用）学习必备欢迎下载2. 观察正切函数在定义域内的图象，填写正切函数性质 ：（1）定义域：.（2）值域：.（3）周期性：.（4）奇偶性：.（5）单调性：.（6）对称性：.任务三、例题分析例 1. 求函数 y tan(x) 的定义域.4练 1. 求下列函数的定义域 .（1

25、） y 5tan(3x)1（ 2） ytan(2x)4例 2. 求函数 y 3tan( x)x5的值域 .6612练 2.求函数 ytan(3x), x0, 的值域 .32学习必备欢迎下载例 3. 比较大小： tan138 与 tan143练 3. 比较大小： tan( 11) 与 tan( 13 )45例 4. 求函数 y3tan(x) 的单调区间 .24练 4. 求函数 y 3tan( x) 的单调区间 .24例 5. 函数 y3 tan(2x) 的周期为.4学习必备欢迎下载练 5. 函数 y 3tan( x) 的周期为.24结论： yA tan(x) 的周期为.1) 的对称中心.例 6.

26、 求函数 y 2tan( x23例 7. 根据正切函数图象，写出满足下列条件的tan x0 tan x0x 的范围：练 6. 根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围：tan x0 tan x3任务四、巩固训练一、选择题1函数 y tan(x) 的定义域是（）43 A x | x R 且 xB x | xR 且 x443 , k z C x | x R 且 x k, k z D x | xR 且 x k442函数 y=tan (2x+ )的周期是()6A B 2CD423已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则 a、 b、 c 的大小关系是()A a<b<cB c<b<aC b<c<aD b<a<c学习必备欢迎下载4在下列函数中,同时满足 (1) 在 (0,)上递增； (2) 以 2为周期； (3) 是奇函数的是()2A y=|tanx|B y=cosx1D y= tanxCy=tan x25函数 y=lgtan x 的定义域是()2A x|k<x<k+, kZB x|4k<x<4k+, kZ42C x|2k<x<2