椭圆与双曲线的必背的经典结论

1、学习必备欢迎下载椭圆与双曲线的必背的经典结论椭圆1. 点 P 处的切线 PT平分 PF1F2 在点 P 处的外角 .2. PT 平分 PF1F2 在点 P处的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3.以焦点半径PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .4.若 P0 ( x0, y0 ) 在椭圆x2y2x0 xy0 y1.a2b21上，则过 P0 的椭圆的切线方程是b2a25.若 P0 ( x0, y0 ) 在椭圆x2y21外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点a2b2弦 P P 的直线方程是x0 xy0 y1.12a2

2、b2椭圆 x2y26.1 (a b 0) 的左右焦点分别为F1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上任意一点a2b2F1 PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SFPFb2tan .1227.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P 、 Q两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于 M、 N两点，则 MF NF.8.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、 A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q交于点 M， A P 和 A Q交于点 N，则 MFNF.219.AB 是 椭 圆 x2y21 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ， M(x0 , y0

3、 ) 为 AB 的 中 点 ， 则a2b2kOMk AB10. 若 P0 ( x0 , y0 )x0 xy0 y22abb2，即 KABb2 x0。a2a 2 y0x2y 21 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是在 椭 圆b2a2x02y02a2b2 .11. 若P0 ( x0x2y21内，则过Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是, y0 ) 在 椭 圆2b2ax2y2x0 xy0 ya22a2b2 .b双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的 内角 .2. PT平分 PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影

4、 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .学习必备欢迎下载3.以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 . （内切： P 在右支；外切：P 在左支）4.x2y21（ a 0,b 0）上，则过 P0 的双曲线的切线方程若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线b2是 x0 xy0 y1a2.a2b2x2y25.1（ a 0,b 0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线b2a2x0 xy0 y1.线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是双曲线 x2y2a2b26.1（ a 0,b o）的左右焦点分别为F1，F 2，点

5、P 为双曲线上任意a2b2一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为 S F1 PF2 b2co t .27.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A P和 A Q交于点M， A P 和 A Q交于点 N，则 MF NF.12218.AB 是双曲线 x2y21 （ a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦，a2b2b2 x0b2 x0 。的中点，则 K OMK AB，即 KABa 2 y0a2 y09.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（ a 0,b 0）内，则被Poa2b2方程是x0 x y0 y x02y02a2b2a2b2 .

6、10.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（ a 0,b 0）内，则过Po22x2y2ab程是x0 xy0 ya2b2a2b2 .椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）椭圆M( x0 , y0 ) 为 AB所平分的中点弦的的弦中点的轨迹方1.椭圆 x2y21（ a b o）的两个顶点为 A1 (a,0) , A2 (a,0)，与 y 轴平行的直a2b2x2y2线交椭圆于 PP 时 AP 与 AP 交点的轨迹方程是1.1、21 12 2a2b2过椭圆 x2y22.1 (a 0, b 0) 上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直a2b2b2 x0线交椭圆

7、于 B,C 两点，则直线 BC有定向且 kBC（常数） .a2 y03.若 P 为椭圆 x2y21 （ a b 0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2 是焦点 ,a2b2学习必备欢迎下载PF1 F2,PF2 F1actancot .，则ca224. P 为椭圆 x2y2112为二焦点， A 为椭圆内一定点，a2b2（ a b0）上任一点 ,F ,F则 2a | AF2 |PA|PF1|2a | AF1 | , 当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立.5.椭圆 (xx0 ) 2( yy0 ) 21 与直线AxByC 0 有公共点的充要条件是a2b2A2 a2B2b2( Ax0By0

8、C)2.6.已知椭圆 x2y21（ a b 0），O为坐标原点， P、Q为椭圆上两动点， 且 OP OQ .a2b24a2b2（1）11112222a22 ;（ 2）|OP| +|OQ|的最大值为a2b2 ;（ 3）S OPQ|OP |OQ |ba2 b2的最小值是a2b2 .7.已知椭圆 x2y2a2b2线与 x 轴相交于点8.设 P 点是椭圆 x2a21（ a b 0） ,A、B、是椭圆上的两点， 线段 AB 的垂直平分P( x0a2b2a2b2,0), 则x0.aay21（ a b0）上异于长轴端点的任一点,F 1、 F2 为其焦点b2记 F1PF2，则 (1) | PF1 | PF2

9、|2b2.(2) S PF Fb2 tan .1cos1229. 已知椭圆 x2y21（ a b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 Fa2b2的直线与椭圆相交于A、 B 两点 , 点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线AC 经过线段 EF 的中点 .10.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.11.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 .学习必备欢迎下载12. 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比.13. 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内

10、、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）双曲线1.x2y21（ a0,b 0）的两个顶点为 A1( a,0) , A2 (a,0)，与 y 轴双曲线b2a2x22平行的直线交双曲线于P P 时 AP 与 AP 交点的轨迹方程是y1.1、 2112 2a2b2x2y22.1（ a 0,b o）上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互过双曲线b2a2b2x0补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC有定向且 kBC（常数） .a2 y03.P 为双曲线 x2y21 （a 0,b0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点， A 为双曲线a2b2内一定点，则

11、|AF2|2a | PA | PF1 | , 当且仅当 A, F2 , P 三点共线且P 和A, F2 在 y 轴同侧时，等号成立 .4.双曲线 x2y21（ a 0,b 0）与直线 Ax By C0 有公共点的充要条a2b2件是 A2 a2B2b2C 2 .5.已知双曲线x2y21（ ba 0），O为坐标原点， P、Q为双曲线上两动点，b2a2且OP OQ.（1）1111224a2b22222;（ 2）|OP|+|OQ|的最小值为22 ;（3）S OPQ|OP |OQ|abbaa2 b2的最小值是b2a2 .6.已知双曲线 x2y21（ a 0,b 0） ,A 、B 是双曲线上的两点，线段A

12、B 的a2b2x 轴相交于点P( x0 ,0) ,则 x0a2b2a2b2垂直平分线与或 x0a.设 P 点是双曲线 x2y2a7.1（ a 0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F 1、 F2a2b2为其焦点记F1PF2，则(1)| PF1 | PF2 |2b2.(2)1 cos学习必备欢迎下载S PF1 F2b2 cot.28.设 A、B 是双曲线 x2y 21（a 0,b 0）的长轴两端点， P 是双曲线上的PABa2b2一点，,PBA, BPA， c、 e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1)|PA |2ab2 |cos| .| a2c2co s2|(2) tantan12.(3)S PAB2a2 b2e2a2 cot .b9.已知双曲线 x2y21（a 0,b0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过双曲a2b2线右焦点 F 的直