椭圆知识点总结及经典习题

1、学习必备精品知识点圆锥曲线与方程- 椭圆知识点一椭圆及其标准方程1椭圆的定义：平面内与两定点F1， F2 距离的和等于常数2aF1 F2 的点的轨迹叫做椭圆，即点集 M=P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a |F 1F2|=2c ；这里两个定点 F1 ，F2 叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（ 2a F1F2时为线段 F1 F2 ， 2aF1 F2 无轨迹）。2标准方程：c2a2b2x2y2焦点在 x 轴上：a2b21（ a b 0）； 焦点 F（± c，0）焦点在 y 轴上：y 2x 21 （ab0）； 焦点 F（0,±c）a2b2注意：在两种标准

2、方程中，总有a b 0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：x2y222m1或者 mx+ny =1n二椭圆的简单几何性质：1.范围（ 1）椭圆 x 2y 21（ a b 0） 横坐标 -a x a , 纵坐标 -b xba 2b 2（ 2）椭圆 y2x21（ab 0） 横坐标 -b xb, 纵坐标 -a x aa2b22.对称性椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3. 顶点（1）椭圆的顶点： A1（ -a ，0）， A2（a，0）， B1 （0，-b ），B2（0，b）（2）线段 A1A2， B1

3、 B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4 离心率学习必备精品知识点（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比2c ，即 c 称为椭圆的离心率，2aa21 ( b ) 2记作 e（ 0e 1）， e2 c 2aae 0 是圆；e 越接近于 0 （e 越小），椭圆就越接近于圆 ; e 越接近于 1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。小结一：基本元素（1）基本量： a、b、c、e、（共四个量），特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5椭圆的的内外部2

4、2x2y2（1）点 P( x0, y0 ) 在椭圆 xy1(ab0) 的内部001 .a2b2a2b2（2）点 P( x0, y0 ) 在椭圆x2y21(ab0) 的外部x02y021.a2b2a2b26. 几何性质（1）点 P 在椭圆上，最大角F1 PF2 maxF1B2 F2 ,（2）最大距离，最小距离7. 直线与椭圆的位置关系（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式；（2）弦长公式：（3）中点弦问题：韦达定理法、点差法学习必备精品知识点例题讲解：一. 椭圆定义：方程 x2 2y2x 2 2y 210化简的结果是2若 ABC 的两个顶点 A4,0 , B 4,0， ABC 的周长为18

5、 ，则顶点 C 的轨迹方程是3. 已知椭圆 x2 y2=1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为3, 则 P 到另一焦点距离为169二利用标准方程确定参数1. 若方程x2+y2=1（1）表示圆，则实数 k 的取值是.5k k3（2）表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是.（3）表示焦点在 y 型上的椭圆，则实数 k 的取值范围是.（4）表示椭圆，则实数 k 的取值范围是.2. 椭 圆 4x225 y2100 的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于,3椭圆 x2y 21的焦距为 2 ，则 m =。4m4椭圆 5x2ky 25 的一个焦点是 (0,2)

6、 ，那么 k。三待定系数法求椭圆标准方程1若椭圆经过点 (4,0)，(0,3) ，则该椭圆的标准方程为。2焦点在坐标轴上，且a213 ， c212 的椭圆的标准方程为焦点在 x 轴上，a : b2 :1，c6椭圆的标准方程为34. 已知三点 P（5，2）、 F1 （ 6， 0）、 F2 （6，0），求以 F1 、 F 2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆 4x2 9 y2 36 共焦点，且过点 (3, 2) 的椭圆方程。学习必备精品知识点四焦点三角形1椭圆 x2y 21的焦点为 F1 、 F2 ， AB 是椭圆过焦点 F1 的弦，则 ABF2的周长是。9252设 F1 ， F

7、2 为椭圆 16x225 y 2400 的焦点， P 为椭圆上的任一点，则PF1F2 的周长是多少？PF1F2 的面积的最大值是多少？3设点 P 是椭圆 x2y21 上的一点， F1, F2 是焦点，若F1PF2 是直角，则F1PF2 的面积2516为。变式：已知椭圆 9x216y2144 ，焦点为 F1、F2， P 是椭圆上一点若1260，F PF求 PF1 F2 的面积五离心率的有关问题1.椭圆 x2y21的离心率为1 ，则 m4m22.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为1200 ，则此椭圆的离心率 e 为3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4. 设椭圆的两

8、个焦点分别为 F1 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1 PF2 为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在ABC中，A300 ,|AB|2,S ABC3若以 ，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆A的离心率 e六、最值问题：1、已知椭圆 x2y21 ， A(1， 0) ，P 为椭圆上任意一点，求|PA| 的最大值最小4值。2. 椭圆 x22两焦点为1、F2，点 P 在椭圆上，则 |PF1| ·|PF2| 的最大值为 _，y 1F4学习必备精品知识点七、弦长、中点弦问题1 、已知椭圆 4x 2y21及直 yxm 线（1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直

9、线被椭圆截得的弦长为2 10 ，求直线的方程52 已知椭圆 x2y21 ，2(1) 求过点（ 1,0 ）且被椭圆截得的弦长为 2 2 的弦所在直线的方程1 1（2）求过点 P，且被 P 平分的弦所在直线的方程；2 2同步测试1 已知 F1(-8，0) ，F2(8 ， 0) ，动点 P 满足 |PF1|+|PF 2 |=16 ，则点 P 的轨迹为 ( )A 圆B椭圆C线段D直线2 、椭圆 x2y2左右焦点为1、 F2，CD为过 F1 的弦，则CDF1的周长为 _161F93 已知方程x 2y2表示椭圆，则 k 的取值范围是 ()1 k 11kA -1<k<1B k>0C k0D

10、 k>1或 k<-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1) 长轴长为 10，短轴长为 6(2) 长轴是短轴的 2 倍，且过点 (2 ，1)(3) 经过点 (5 ，1) ， (3 ，2)学习必备精品知识点5. 椭圆x2y2的左右焦点分别是F、 F ，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点。a2b21(a b 0)121若 F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_6 已知椭圆的方程为 x2y21， P 点是椭圆上的点且F1PF2 60 , 求 PF1F2 的面积437. 若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为 F1，则满足 ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率为8. 椭圆 x

11、 2y 21 上的点 P 到它的左焦点的距离是12，那么点 P 到它的右焦点的距离是100369已知椭圆 x 2y 21( a5)的两个焦点为 F1 、 F2，且 F1 F28 ，弦 AB过点 F1 ，则 ABF2a 225的周长10、椭圆 x 2 y 2=1 与椭圆 x2 y2= (0) 有3223(A) 相等的焦距(B)相同的离心率(C) 相同的准线(D)以上都不对11、椭圆 x2y21与 x2y 21 （0<k<9）的关系为259925(A) 相等的焦距(B)相同的的焦点(C) 相同的准线(D)有相等的长轴、短轴12. 点 P 为椭圆 x 2y 21 上的动点 , F1 ,

12、F2 为椭圆的左、右焦点 , 则 PF1 PF2 的最小值为2516_ , 此时点 P 的坐标为 _.学习必备精品知识点感受高考x2y21分别过椭圆 a2 b21(a>b>0)的左、右焦点 F1、F2作两条互相垂直的直线 l 1、 l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ()A (0,1)B.，2C.2，1D. ，2022022椭圆 x2 y2 1 的焦点为 F1、F2，椭圆上的点 P 满足 F1PF2 60°，则 F1PF2 的面10064积是 ()64391316364A.3B.3C.3D. 33已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端

13、点的距离等于9，则椭圆 E 的离心率等于 ()已知点，22的左焦点、右顶点， 0，4FA分别是椭圆 x2y21(a>b>0)abB(0，b)满足 FB·AB则椭圆的离心率等于 ()A.3 151C.31D.5 12B.222x2y25已知椭圆 4 2 1 的左右焦点分别为F1、F2，过 F2 且倾角为 45°的直线 l 交椭圆于 A、8B 两点，以下结论中： ABF1 的周长为 8；原点到 l 的距离为 1；|AB|3；正确结论的个数为()A3B2C1D06已知圆 (x2)2y2 36 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点， N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是 ( A圆 B椭圆)C双曲线D抛物线7过椭圆x2y2C： a2b21(a>b>0)的一个顶点作圆22 2xyb 的两条切线，切点分别为A，B，若 AOB90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为_学习必备精品知识点x2y222228 若椭圆 a2 b21(a>b>0)与曲线 x ya b无公共点，则椭