正余弦典型例题及详细答案

1、正余弦典型例题及详细答案一、解答题（题型注释）1在锐角ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ，且 2asinB 3 b （ 1）求角A 的大小；（ 2）若 a6 ， bc8 ，求ABC 的面积【答案】（ 1）AS ABC73；（ ）.323【解析】试题分析：（ 1）利用正弦定理ba及 2a sin B3b ，便可求出 sin A ，得sin Bsin A到 A 的大小；bc 的值，最后再用三角形面积公（ 2）利用（ 1）中所求 A 的大小，结合余弦定理求出式求出 S ABC1 bc sin A 值 .2试题解析：（ 1）由2a sin B3b及正弦定理ba3sin

2、 B，得 sin A.sin A2因为 A 为锐角，所以A3.（ ）由余弦定理a 2b 2c 22bc cos A，得 b2c2bc 36 ，2又 b c8，所以 bc28，3所以 S ABC1 bc sin A1283733 .2232考点：正余弦定理的综合应用及面积公式.2在 ABC 中， a, b, c 分别为角 A, B,C 的对边，若 2c bcos B acos A（ 1）求角 A 的大小；（ 2）已知 a 2 5 ，求ABC 面积的最大值 .【答案】（ 1）23.A；（）53【解析】试题分析：（2c bcos B1）利用正弦定理，化简得acos A2sin C cos Asin(

3、 AB) sin C1， A；（ 2）由余弦定理得， 故 c o sA23cos Ab2c2a21，又 a25 ，所以 b2c220bc2bc20，2bc2得 bc20 ，所以ABC 的面积 S1 bc sin A 53 .2试题解析：（ 1） 2cbcos B ， (2cb) cos Aa cos B ，acos A由正弦定理得(2 sin Csin B) cos Asin Acos B ，整理得 2 sin C cosAsin B cos Asin A cosB ， 2sin C cos Asin( AB) sin C ，在ABC 中， sin C0 ， cos A1.， A232 ） 由

4、 余 弦 定 理 得 cb2c2a21a25 ， （oAs2bc2， 又b2c220bc2bc20 bc20 ，当且仅当 bc 时取“ =”， ABC 的面积 S1 bc sin A53 .2即 ABC 面积的最大值为 5 3 .考点：解三角形，正余弦定理，基本不等式3已知ABC 的三个内角A， B， C 成等差数列，它们的对边分别为a， b，c ，且满足a : b2 :3 ， c2 （ 1）求 A,B,C ；（ 2）求 ABC 的面积 S 【答案】（1） A45 ，B60 ，C75 ；（2） S ABC33 .【解析】试题分析：（1）由 AB, C,成等差数列及ABC180可知 B60 ，A

5、C 120。再由正弦定理abasin A2120 ，可sin A变形可知b， sin A，结合0 Asin Bsin B2求得A45,C120A75；由（1）C75结合两角和的正弦公式，可知sinCsin 75sin(3045 )62 ，4再由正弦定理abc可知s A inBs，Cinsinab2ab2，sin45sin 60sin 752362224从而 a2(31)， b6(3 1)，则 S ABC1 acsin B12(3 1)2333 .222试题解析：（ 1） A ， B ， C 成等差数列，AC2B，又 ABC180 ， B60，A C120，2分由正弦定理abcasin Asin

6、 Asin B，可知，sin Cbsin B2sin Asin Asin A2 ，4分3sin 603220A120， A45， C120A75 ，综上，A45 ，B60 ，C75 ；6 分（ 2） sinCsin 75sin(3045 )628分4，由ab2ab2，sin 45sin 60sin 752362224得 a 2(31)，b6( 31) ，10分 SABC1acsin B131) 2333 12分22(22考点： 1. 正弦定理解三角形；2. 三角恒等变形 .4已知 A、B、C为三角形 ABC的三内角，其对应边分别为a，b，c，若有 2acosC=2b+c成立 .（ ）求A的大小

7、；（ ）若 a2 3，bc 4，求三角形的面积.12ABC2，（ 2） S ABC3.【答案】（ 1） A3【解析】试题分析：（1）利用正弦定理边化角的功能，化2a cosC 2b c 为2sin A cosC 2sin B sin C ，结合 sin B sin( AC )sin A cosCcos Asin C 可得关于角 A 的余弦值，从而求出角A；（ 2）由条件 a23 ， bc4 ，结合余弦定理，求得 bc 的值，再结合上题中求得的角A，利用 S ABC1 bc sin A 公式求得面积 .2要注意此小题中常考查bc 与 bc 的关系： (bc) 2b22bcc2.试题解析：（1） 2acos C 2 bc，由正弦定理可知2sin AcosC2sin BsinC，而在三角形中有：sin Bsin( AC )sin A cosCcos Asin C ，由、可1化简得：2cos Asin Csin C0 ，在三角形中sin C0，故得c osA，又20A，所以 A2.3（ 2）由余弦定理 a2b2c22bc