椭圆重点知识点复习

1、名师总结优秀知识点圆锥曲线知识网络椭圆定义标准方程几何性质应用圆锥曲线双曲定义标准方程几何性质应用抛物定义标准方程几何性质应用相切直线与圆锥曲线位置关系相交圆锥曲线的弦相离第1讲椭圆知识梳理1. 椭圆定义：（ 1）第一定义：平面内与两个定点F1、 F2 的距离之和为常数 2a(2a | F2 F2 |) 的动点 P 的轨迹叫椭圆 ,其中两个定点F1、 F2 叫椭圆的焦点 .当 PF1PF 22aF1F 2时 ,P 的轨迹为椭圆 ;当 PF1PF 22aF1F2时,P 的轨迹不存在 ;当 PF1PF 22aF1F2时 ,P 的轨迹为 以 F1、 F2为端点的线段（ 2）椭圆的第二定义:平面内到定

2、点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上 )的距离之比是常数 e ( 0 e 1 )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程x 2y21(a b 0)y 2x21(a b 0)a 2b2a 2b2名师总结优秀知识点参数关系a2b2c2性焦点(c,0), (c,0)(0, c), (0, c)质焦距2c范围| x | a,| y | b| y | a,| x | b顶点( a,0), ( a,0), (0,b), (0,b)(0, a), (0,a), (b,0), (b,0)对称性关于 x 轴、

3、 y 轴和原点对称离心率ec(0,1)a准线a2a2xcyc3.点 P( x0 , y0 )x 2y 21(ab0)与椭圆 a2b 2的位置关系 :x 2y21x2y 21x 2y21当 a 2b 2时,点 P 在椭圆外 ; 当 ab 2b22时 ,点 P 在椭圆内 ; 当 a 2时,点 P 在椭圆上 ;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0 ;直线与椭圆相切0 ;直线与椭圆相离0重难点突破重点 :掌握椭圆的定义标准方程，会用定义法和待定系数法、坐标转移法、求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用难点 :椭圆的几何元素与参数a,b,c 的转换重难点 :运用数形结合，围绕“焦点三

4、角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数a,b, c的关系1.要有用定义的意识x2y2问题 1 已知 F1、F2 为椭圆251A、B 两点若 F2 A F2B12 ，9的两个焦点， 过 F1的直线交椭圆于则 AB =_ 。 解析 ABF2 的周长为 4a20 ，AB =82.求标准方程要注意焦点的定位x2y21问题 2椭圆 412 ，则 mm的离心率为4 m13 解析 当焦点在 x 轴上时，m22；名师总结优秀知识点当焦点在y 轴上时，16m综上3 或 3m 41m16m23 ，热点考点题型探析考点 1椭圆定义及标准方程题型 1:椭圆定义的运用例1(湖北部分重点中学 2009

5、届高三联考 )椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半径不计），从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是A 4aB 2(a c)C2(a+c)D以上答案均有可能y 解析 按小球的运行路径分三种情况 :P(1) ACA ,此时小球经过的路程为2(a c);CD(2) ABDBA , 此时小球经过的路程为Ox2(a+c);AB(3) APBQA 此时小球经过的路程为4a,故选 DQ【名师指引】考虑小

6、球的运行路径要全面题型 2 求椭圆的标准方程 例 2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42 4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数a, b, c 的式子“描述”出来x2y 2x2y21(a b0) 解析 设椭圆的方程为 a2b21a 2或 b2，bca c4(2 1)则，a 2b2c2x2y2x2y 2解之得： a42 ，b=c 4.则所求的椭圆的方程为321611或 1632.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c 的数量关系警示易漏焦点在y 轴上的情况考点 2 椭圆的几何性质题型 1:求

7、椭圆的离心率（或范围）例 3 在ABC中，A 300,|AB | 2,S ABC3若以 A，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率 e名师总结优秀知识点【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率1|AB| AC | sin A3S ABC解析 2，|AC| 23，|BC|AB|2|AC|22 | AB | | AC | cosA 2|AB|231e|BC|23 22|AC |【名师指引】 （ 1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（ 2）只要列出 a、b、 c的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（ 3）“焦点三角形”应给予

8、足够关注题型 2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）x2y21,求 x2y2 例 4 已知实数 x, y 满足 42x 的最大值与最小值【解题思路】把 x2y2x 看作 x 的函数x2y21 y221 x2解析由 42得2,21x202x22x2y2x1 x2x21 ( x1) 23, x 2,22221时 , x2y 232 时 , x2y2当 xx 取得最小值 2,当 xx 取得最大值 6【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错考点 3 椭圆的最值问题题型 : 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值x2y 2例 5 椭圆 1619 0 的距离的最小值为 _9上的点到直线

9、 l: x y【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 解析 在椭圆上任取一点 P,设 P( 4cos ,3sin). 那么点 P 到直线 l 的距离为：| 4cos 3sin 12 |2) 9 |1212| 5sin(222.【名师指引】也可以直接设点P(x, y) ，用 x 表示 y 后，把动点到直线的距离表示为x 的函数，关键是要具有“函数思想”考点 4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题名师总结优秀知识点 例 6 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,一个长轴端点为0 ,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 l 与 y 轴交于点 P（ 0， m），与

10、椭圆 C 交于相异两点A 、B，且 AP3PB （ 1）求椭圆方程；（ 2）求 m 的取值范围【解题思路】 通过 AP3PB ，沟通 A 、B 两点的坐标关系， 再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式y2x2 解析 （1）由题意可知椭圆C 为焦点在 y 轴上的椭圆，可设C : a2b21 (a b 0)a 1 , b c2由条件知 a 1 且 b c ，又有 a22b2 c2 ，解得c2y 2x21e1故椭圆 C 的离心率为a2，其标准方程为：2（ 2）设 l 与椭圆 C 交点为A （ x1， y1）， B（ x2， y2）y kx m得（ k2 2） x2 2kmx （ m2 1） 02x2 y2 1（ 2km ） 2 4（ k2 2）（ m2 1） 4（ k2 2m2 2） >0 （* ） 2km， x1x2 m2 1x1 x2 k2 2k2 2AP3PBx1 x2 2x2 x13x2 x1x2 3x22km） 2 4m2 1 0消去 x2，得 3（ x1x2） 24x1x2 0， 3（k22k2 2整理得 4k2m2 2m2 k2 201时，上式不成立； m21时，