水文学原理课件(第十章)

1、本章主要内容本章主要内容引引 言言 (Introduction)1线性扩散波演算法线性扩散波演算法(Linear diffusion wave routing method)2线性特征河长演算法线性特征河长演算法(Linear characteristic length routing method)3线性运动波演算法线性运动波演算法(Linear kinematic wave routing method)4Part 1 Introduction1、定义、定义(Definition)洪水演算洪水演算：根据河段上断面出现的洪水过程来推算其下断面洪水过：根据河段上断面出现的洪水过程来推算其下断面

2、洪水过程的方法称洪水演算。程的方法称洪水演算。 2、分类、分类(Classification)具有物理基础的洪水演算法具有物理基础的洪水演算法主要用于河道汇流主要用于河道汇流基于基于“黑箱子黑箱子”分析的洪水演算法分析的洪水演算法主要用于流域汇流主要用于流域汇流Part 1 Introduction3、具有物理基础的洪水演算法概述、具有物理基础的洪水演算法概述(Physically-based flood routing method)00()1()fQAMass ConservationxtvvvyiiMomentum Conservationgtgxx质量守恒动量守恒水力学水力学(),()

3、dWIOMass ConservationdtIOWfIOMomentum Conservationtt水文学水文学 水力学方法的关键是如何求解方程式。水力学方法的关键是如何求解方程式。 水文学方法的关键是如何确定槽蓄方程。水文学方法的关键是如何确定槽蓄方程。Part 2 Linear diffusion wave routing method 定解问题的构成定解问题的构成 (Composition of solution problems)1入流过程的处理入流过程的处理(Processing of inflow hydrograph)2基本解基本解(Basic solution)3出流过程的

4、计算出流过程的计算(Derivation of outflow hydrograph)4参数的确定方法参数的确定方法(Determination of parameters)5Part 2 Linear diffusion wave routing method 2-1 定解问题的构成定解问题的构成(Composition of solution problems)洪洪 水水 波波 扩散波（扩散波（Diffusion wave）初始条件初始条件 稳定流（稳定流（Steady flow）上边界过程上边界过程 上断面洪水过程（上断面洪水过程（inflow hydrograph at upper s

5、ection)下边界条件下边界条件 半无限长，自由下边界（半无限长，自由下边界（semiinfinite long, free lower boundary）Part 2 Linear diffusion wave routing method 2-2 Processing of inflow hydrographa) 单位入流过程单位入流过程(Unit Inflow hydrograph)：一直维持：一直维持1个单位流量的入流过程个单位流量的入流过程(例如例如 1m3/s) 0010tH tt01taH tata延迟单位入流延迟单位入流 Part 2 Linear diffusion wav

6、e routing method 2-2 Processing of inflow hydrographb)单位矩形入流过程单位矩形入流过程 (Unit Rectangular Pulse Input) 在单位时间在单位时间(t)内维持内维持1个单位流量的入流称之个单位流量的入流称之.延迟单位矩形入流延迟单位矩形入流 00100oatIttata 010a btaItatbtb ( )o aItHtHtaPart 2 Linear diffusion wave routing method 2-2 Processing of inflow hydrographc)单位瞬时脉冲入流单位瞬时脉冲入

7、流(Unit instantaneous Pulse Input)时段时段 很短（很短（ ），强度很大（），强度很大（ ），但入流总量为有限数（等于），但入流总量为有限数（等于1 1个个单位）的入流称之单位）的入流称之. .t0t 001tt dtdH ttdtH tt dt函数： 000tttPart 2 Linear diffusion wave routing method 2-2 Processing of inflow hydrograph(2) 入流过程的数学处理入流过程的数学处理(Processing of Inflow Hydrograph) 012312011223,222I

8、IIIIIIII 01 01I It 12 12I It用柱状图代替光滑的用柱状图代替光滑的I I( (t t) )曲线曲线. . 用减小用减小t t的方法提高近似精度的方法提高近似精度. .第一个矩形：第二个矩形： 以此类推。.)3()2()2() 1()1()()(.)()()()(231201232312120101tHtHItHtHItHtHItItIItIItIItIPart 2 Linear diffusion wave routing method 2-3 Basic solution简单入流的解称为基本解，又称为简单入流的解称为基本解，又称为(河段河段)汇流曲线汇流曲线(flo

9、w concentration curve)。如果河段入流为单位入流函数如果河段入流为单位入流函数H(t)，则下断面出流为则下断面出流为S曲线，又称为曲线，又称为单位单位过程线过程线(Unit Hydrograph)如果某河段上断面入流为单位瞬时脉如果某河段上断面入流为单位瞬时脉冲入流冲入流(t)，则河段下断面出流称为，则河段下断面出流称为瞬瞬时单位线时单位线u(0,t)，简写为，简写为u(t)如果河段上断面入流为单位矩形入流，如果河段上断面入流为单位矩形入流，则下断面出流称为则下断面出流称为时段单位线时段单位线u(t,t)0( )0 ,0 ,tStut d tuttStSttd Stutd

10、t Part 2 Linear diffusion wave routing method 2-3 Basic solution一般情况下一般情况下,先求先求u (0, t )，再求，再求S (t)，最后求，最后求 u (t, t )u(0, t)S(t)u(t, t)Part 2 Linear diffusion wave routing method 2-3 Basic solution22( ,0)0(0, )( )lim( , )0 xQQQCtxxQ xQttQ x t22CQQQCtxx式中 、 为常数是线性常微分方程（满足叠加性）0( , )( , )tS x tu x t dt

11、应用应用Laplace变换，容易求得瞬时单位线的表达式为：变换，容易求得瞬时单位线的表达式为：4)(exp41),(22/3txCttxtxuPart 2 Linear diffusion wave routing method 2-3 Basic solution若：若：22( ,0)0(0, )( )lim( , )0 xQQQCtxxQ xQtH tQ x t1( , )1122222cxxctxctS x terfeerftt(, , )( , )( ,)ut x tS x tS x tt应用应用Laplace 变换，求得变换，求得S(t)曲线的表达式：曲线的表达式： 式中式中 余误差

12、函数余误差函数 (complementary error function)( )erf Part 2 Linear diffusion wave routing method 2-4 Derivation of outflow hydrograph01120123,11,( )( )(1)(1)(2)( )( )(1)(2)(3)ii iiiI tIH tH tIH tH tI tI H tI H tI H tI H tIII 若式中0120( , )( , )( ,)( ,2)( ,)niiQ x tI S x tI S x ttI S x ttI S x ti t 首先把入流过程离散化首

13、先把入流过程离散化(Discretizing inflow hydrograph) 用单位矩形入流表示用单位矩形入流表示Part 2 Linear diffusion wave routing method 2-4 Derivation of outflow hydrograph计算出流量过程的主要步骤：计算出流量过程的主要步骤：1) 确定计算时段确定计算时段t。2) 按按 在上断面入流过程线上从起涨时刻开始摘取在上断面入流过程线上从起涨时刻开始摘取 时刻的入流量时刻的入流量3) 计算时段平均入流量或时段平均入流量的增量。计算时段平均入流量或时段平均入流量的增量。4) 按求定的河段的时段单位线

14、或按求定的河段的时段单位线或S曲线，计算出流过程。曲线，计算出流过程。t0,2,3,ttt 0123,.IIIIPart 2 Linear diffusion wave routing method 2-4 Derivation of outflow hydrograph现以按现以按u(t,t)推流为例，说明计算推流为例，说明计算Q(t)-t过程。过程。Part 2 Linear diffusion wave routing method 2-4 Derivation of outflow hydrographt- 为汇流时间为汇流时间tdtuItQ0), 0()()(离散化离散化(Discr

15、etization)卷积公式卷积公式(Convolution formula)Part 2 Linear diffusion wave routing method 2-5 Determination of parameters(1) 根据参数的物理公式计算根据参数的物理公式计算000001,()22QQdQHCC l ldAi BiQPart 2 Linear diffusion wave routing method 2-5 Determination of parameters CItQ t假定 和汇流曲线由2220.0eCCee的 和 可使 达到最小(2)根据实测流量资料确定（试算法）

16、根据实测流量资料确定（试算法）C和( )Q t( )Q t直到假定的直到假定的使得推算的使得推算的与实测与实测足够接近。足够接近。 只要满足方程组：只要满足方程组：( , ,)cQx t CC和但由于但由于的表达式很复杂，直接解出的表达式很复杂，直接解出较困难。较困难。0220min( , ,)( , )etcteQx t CQx t最优化方法：最优化方法：Part 3 Linear characteristic length routing method描述洪水波运动的基本微分方程式描述洪水波运动的基本微分方程式(Basic differential equations of flood w

17、ave movement)1汇流曲线的确定汇流曲线的确定(Determination of flow concentration curve)2参数确定方法参数确定方法(Determination of parameters)3Part 3 Linear characteristic length routing method3-1 Basic differential equations of flood wave movement在每个子河段内，满足在每个子河段内，满足:每个子河段：每个子河段：Part 3 Linear characteristic length routing meth

18、od3-1 Basic differential equations of flood wave movement1212131231232233()()()nnlllllllnlllllllndOd OIOKKKK KK Kdtdtd Od OK K KK K KKdtdt先不对每个河段写方程，而对整个河段写方程，则由上式可得：先不对每个河段写方程，而对整个河段写方程，则由上式可得：121,nO OO消去所有中间变量消去所有中间变量得到得到: :12121312322(1)/2()()( )nnlllllllnn nnllllndOd OOKKKK KK Kdtdtd OK K KKI td

19、t Part 3 Linear characteristic length routing method3-1 Basic differential equations of flood wave movement12123,()()nnnlllllllnIOdW dtdWdOd OKKKK K KKdtdtdt由可推知：从而从而Part 3 Linear characteristic length routing method3-2 Determination of flow concentration curve232323(1)(1)(2)23!nnllllndOn nd On nnd

20、Od OOnKKKKIdtdtdtdt2222000(1)(0, )( )2!(0,0)0,0,0,0nnelnnntttdun nd ud uutnKKtdtdtdtdud ud uudtdtdt11001(0, )(1)!1( )(0, )1()!(, )( )()llntKlltntKinltutenKKtS tut dteiKut tS tS tt 12lnlllKKKK假设每一特征河长段传播时间相等，则假设每一特征河长段传播时间相等，则则方程变为：则方程变为： t(0, )ut设初始条件为零，求入流为设初始条件为零，求入流为时的出流时的出流, ,此情况如下：此情况如下：用用Lapla

21、ce变换，得：变换，得：Part 3 Linear characteristic length routing method3-3 Determination of parameters000,() ,lQLHldQnlKcliQcdAPart 4 Linear kinematic wave routing method运动波差分方程的建立运动波差分方程的建立(Difference equation of kinematic wave)1数值扩散的概念数值扩散的概念(Numerical diffusion)2汇流系数的计算汇流系数的计算(Calculation of flow concentr

22、ation coefficient)3连续演算问题连续演算问题(successive routing)4讨讨 论论(Discussions)5Part 4 Linear kinematic wave routing method4-1 Difference equation of kinematic wave当运动波为线性运动波（即波速当运动波为线性运动波（即波速C恒定时），运动波既不变形，也不坦化，像恒定时），运动波既不变形，也不坦化，像“刚体运动刚体运动”一一般。般。 即即运动波在实际河流中很少发生，其解析解意义不大，但微分改成差分后带入了误差项，正好运动波在实际河流中很少发生，其解析解意

23、义不大，但微分改成差分后带入了误差项，正好可模拟扩散项，所以其差分解法更有实际意义。可模拟扩散项，所以其差分解法更有实际意义。0QQctx0dQdt, ,运动波运动特征：运动波运动特征：运动波运动波Part 4 Linear kinematic wave routing method4-1 Difference equation of kinematic wave111nnjjQQQtt可表示为1nnjjQQQtt可表示为对对 j 断面：断面：对对 j-1 断面：断面：Part 4 Linear kinematic wave routing method4-1 Difference equat

24、ion of kinematic waveQt采取折中办法加权平均表示采取折中办法加权平均表示 xQQyxQQyxQtQQxtQQxtQnjnjnjnjnjnjnjnj11111111)1 ()1 (方程中的微分：采用差分格式替代上述xQ和和Part 4 Linear kinematic wave routing method4-2 Numerical diffusion 22)21(.)21(),(xQyxtcxxctxR以差商代替微商带来了截断误差，若能将误差考虑进来，则近似程度可以差商代替微商带来了截断误差，若能将误差考虑进来，则近似程度可得到提高。截断误差可由泰勒公式得到提高。截断误差

25、可由泰勒公式(Taylor formula)分析得到。分析得到。则有：则有：0)21(.)21(.)(1 ()()1 ()(1 ()()1 (221111111111111111xQctQxQyxtcxxcxQQyQQyctQQxtQQxRxQQyQQyctQQxtQQxnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjPart 4 Linear kinematic wave routing method4-2 Numerical diffusion若取二阶精度的截断误差，则有：若取二阶精度的截断误差，则有：虽然运动波方程本身不能描述具有衰减的洪水波，但具有二阶精度的运虽然运动波

26、方程本身不能描述具有衰减的洪水波，但具有二阶精度的运动波差分方程在一定条件下可达到这个目的，条件为：动波差分方程在一定条件下可达到这个目的，条件为：)21(.)21(yxtcxxc2211111111)(1 ()()(1 ()(xQxQctQxQQyQQyctQQxQQxnjnjnjnjnjnjnjnjPart 4 Linear kinematic wave routing method4-2 Numerical diffusion022xQxQctQ0)(1 ()()(1 ()(111111111xQQyQQytQQxQQxcnjnjnjnjnjnjnjnj扩散波方程：扩散波方程：22111

27、11111)(1 ()()(1 ()(xQxQctQxQQyQQyctQQxQQxnjnjnjnjnjnjnjnjPart 4 Linear kinematic wave routing method4-2 Numerical diffusion0)(1 ()()(1 ()(111111111xQQyQQytQQxQQxcnjnjnjnjnjnjnjnj)21(,21xxcy0. 2)()()(1 ()(111111111xQQQQtQQxQQxcnjnjnjnjnjnjnjnjnjQ若已知上断面出流，求下断面出流若已知上断面出流，求下断面出流：1101112nnnnjjjjQC QC QC

28、Q(Cunge method)15 . 0/).1 (5 . 0/).1 (5 . 0/).1 (/.5 . 05 . 0/).1 (/.5 . 0210210CCCtcxxtcxxCtcxxcxxtCtcxxcxxtCPart 4 Linear kinematic wave routing method4-3 Calculation of flow concentration coefficient 1000nnn1()0nanana018( )( )(1)(8)I nInInIn1)入流过程离散化入流过程离散化(see ppt)(连续连续Qt曲线称为过程，离散化的曲线称为过程，离散化的Qt

29、称为时间序列称为时间序列) 延迟单位序列：延迟单位序列：单位序列所形成的下断面的出流称为汇流系数单位序列所形成的下断面的出流称为汇流系数(flow concentration coefficient)单位序列：单位序列：只在某时刻有一个单位强度只在某时刻有一个单位强度(1m(1m3 3/s)/s)的入流称单位序列，用的入流称单位序列，用( (n n) )表示。表示。Part 4 Linear kinematic wave routing method4-3 Calculation of flow concentration coefficient010101112121101001112012

30、101221210111201201220120101000()jjjjjjjjjjjjQC QCQC QCCCQC QCQC QCCCCCCCQC QCQC QCCCCCCC CCC120121010111211()(0)(0)nnjnjjjjQCCC CnQC QC QC QC n012,.C C C首先确定首先确定然后求然后求1njQ当当n=0时，时，=1P:汇流系数汇流系数)0)()()0()0(21012111nCCCCnPnCPntxxc ,.,Part 4 Linear kinematic wave routing method4-3 Calculation of flow concentration coefficientTimeI(n)P1(n)P.IQ(n)I(1)I(2)I(3)18 3I0P1(0)I0 P1(0)I0 P1(0) 6I1P1(1)I0 P1(1)I1 P1(0)I0 P1(1)+ I1 P1(0) 9I2P1(2)I0 P1(2)I1 P1(1)I2 P1(0)I0 P1(2)+ I1 P1(1)+ I2 P1(0) 12P1(3)I0 P1(3)I1 P1(2)I2 P1(1)I0 P1(3)+ I1 P1(2)+ I2 P1(1)Part 4 Linear kinematic wave