电路的频率响应

1、第七章 电路的频率响应7-1 学习要求(1) 理解和掌握网络函数的定义、频率特性、谐振、特性阻抗、品质因数、通频带和选择性等 有关概念；(2) 熟练掌握串联和并联电路的谐振条件、工作特点和分析计算方法；(3) 了解耦合谐振电路的组成和特点；(4) 掌握滤波器原理及其应用。7-2 主要内容1、网络函数及其分类网络函数 H ( j ) 为响应相量 R(j )与激励相量 E( j ) 之比，即 网络函数又称传递函数，可分为两类，一类为驱动点函数，一类为转移函数(或传输函数) 。驱 动点函数其响应和激励在同一个端口，而转移函数的响应和激励在不同的端口，表 7-1 给出传递函数 (或网络函数)分类名称和

2、定义式表 7-1 传递函数(或网络函数)分类网络分类名H( j )的定义式驱 动 点 函 数驱动点阻抗函数驱动点导纳函数转 移 函 数转移阻抗函数转移导纳函数电压比函数电流比函数2、网络函数的零点和极点网络函数 H( j )的零点是使 H( j ) H(s) 0的s j 的值，网络函数 H( j )的极点是使H( j ) H(s)的s值。3、电路的频率响应(频率特性)根据线性电路的齐次性，对于只有一个输入的电路，在特定的频率下，输出与输入之间成比例关 系，即式中 H (j )即为电路的转递函数或网络函数，可以表示为式中 H( j ) 称为增益函数， ( ) 称为相位函数。则输出幅值 = H(j

3、 ) 输入幅值 , 输出相位 = ( ) 输入相位可见，增益函数 H(j ) 和相位函数 ( ) 反映了电路如何改变输出的幅值和相角，且它们与输入的频率有关，二者描述了电路的频率响应，即频率特性包括了幅频特性和相频特性。频率特性可以通过解析法和图解法求得。定义求法解析法图解法在 s 平面上用作图的方法求解 H( j ) 和 ( )4、 RLC 串联电路的频率特性RLC 串联电路具有典型性，在工程中得到广泛应用。 RLC 串联电路的激励是串联电路的总的电压，而响应可以是任意元件上的电压。但不同的响应电压对应的网络函数具有不同的频率特性。若响应是电容上的电压，则具有低通特性，这是由于频率较低时，容

4、抗较大的缘故； 若响应是电感上的电压，则具有高通特性，这是由于频率较高时，感抗较大的缘故； 若响应是电阻上的电压，则具有带通特性，这是因为频率在谐振附近时，容抗和感抗相互抵消， 因而电阻上产生较大的电压。为了更好准确地反映频率特性的特点并便于绘制通用频率特性曲线， 通常将各频率特性表达成谐 振角频率和品质因数的函数，它们与电路参数的关系分别为LCQ R1 CL、 RLC 谐振电路 含有电感和电容的一端口电路，如果在一定条件下，端口电压和端口电流同相位，则称此一端口 电路发生了谐振。因此，谐振条件是一端口的输入阻抗为实数。典型的谐振电路的 RLC 串联电路，其谐振条件为 可以通过改变 、 L 和

5、 C 来满足谐振条件。RLC 串联电路谐振的主要特点为：( 1)阻抗模达到最小值： Z Z min R ，因而电路中电流达到最大， I U ；R( 2)电感电压和电容电压有效值相等，相位相反，相量之和为零，它们的有效值为总电压有效 值的 Q 倍。RLC 并联电路谐振特点和 RLC 串联电路谐振特点存在对偶关系，即( 1)导纳模达到最小值： Y Y min G ，因而电路中电压达到最大， U I ； minG( 2)电感电流和电容电流有效值相等，相位相反，相量之和为零，它们的有效值为总电流有效 值的 Q 倍。串联谐振电路和并联谐振电路的特性如表 7-2 所示表 7-2 串联谐振电路和并联谐振电路

6、的特性谐振形式串联谐振并联谐振别名电压谐振电流谐振谐振条件谐振频率特性阻抗品质因数谐振时电路相量图谐振时的阻抗或导纳Z Z min R ，为最小Y Y min G ，为最小谐振时的电压或电流U&I&0 U ， U 一定， I 取最大值 0RI&U&0 I ， I 一定， U 取最大值 0G储能元件的电压或电流U&L jQU&, U&CjQU&I&LjQI&, I&C jQI&电磁总能量通用曲线表达式通频带6、波特图波特图是网络函数的半对数幅频特性图和相频特性图。波特图幅度为dB ，相位为度，波特图的

7、直线近似是用 H ( j ) 的极点和零点所决定的转折频率画出来的。7、滤波器滤波器是通过某个频带和阻止其他频带的电路。无源滤波器由电阻、电容和电感等器件构成。有 源滤波器由电阻、电容和有源器件等构成，一般有源器件是运算放大器。四种常用的滤波器分别为低通、高通、带通和带阻滤波器。低通滤波器只通过频率低于截止频率C 的信号，高通滤波器只通过频率高于截止频率C 的信号，带通滤波器只通过规定频率范围1 2 内的信号，带阻滤波器只通过规定频率范围 12 外的信号。7-3 习题解答7-1 求题图 7-1 所示电路的网络函数 H( j ) U&2( j ) 。U&1( j )题图 7-1解

8、： H( j ) UU&&12(jj )R1 jLR j L j 1C j L 1 jC21(j )2LC2 11(j )2jRCLC21sLC2 1 1ssRC LC7-2 求题图 7-2 所示电路的驱动点阻抗U&&1 、转移电流比I&1I&&C 和转移阻抗 U&&2 。I&1I&1U2+解：令 I2 1 00 A ，则其他电压电流可求得最后求得7-3U&求题图 7-3 所示电路的转移电压比 UU&12和驱动点导纳2题图解：用网孔法求解。设顺时针网孔电流为 I m17-3左）和 Im2 （

9、右），则解得I m1I1,U2 I m2 1可得7-4求题图 7-4 所示电路的转移电压比 UU&12 ，当 R1C1 R2C2 时，此电路网络函数有何特性？R1U1j C1j C2U2解：设 Z1R1题图7-4R1 / 11 j C1 R1 j R1C1Z2R2 / 1R2j C2R2 j R2C2由分压公式得当当 R1C1R2C2 时，得 H( j ) U&R1R2R2，此网络函数模及辐角均与频率无关。7-5 题图 7-5 （a）所示电路。（1）求 H （s） U2（s）；（2）求电路的幅频特性 U1（s）H（j ） 与相频特性 （ ） ；（3）画出幅频特性 H（ j ）

10、曲线，说明是何种滤波器，求滤波器的截止频率题图 7-5解：（1）用节点法求解。 联立求解得（ 2）令 s j 代入上式得 故得幅频特性 相频特性3） H（j ） 的曲线如题图 7-5 （b）所示，可见为三阶低通滤波器。令可解得截止频率为 c 1rad /sc7-6 求题图 7-6 所示电路的网络函数，说明它具有高通特性还是低通特性。解： RC 并联的等效阻抗为 幅频特性为+U2当0 时， H（j ） 1；当时， H（j ） 0 。所以它具有低通特性。7-7 求题图 7-7 （ a）、（ b）所示电路的转移电压比UU&&212解：对于题图 7-7（a）所示电路，根据电路可题列图出

11、节7-点7 方程为 联立求解得该转移电压比的特性与RLC 串联电路中U&CU&S相似，属于低通函数。调节k 就可以改变函数的频率特性。对于题图 7-7（ b）所示电路，可利用上述同样的方法求解，得该转移电压比的特性与U&RLC 串联电路中 &L 相似，属于高通函数。调节 k 就可以改变函数的频率特性。7-8 求题图 7-8(a)所示电路网络函数 H(s) U2(s) ，定性画出幅频特性和相频特性示意图。 Us(s)题图 7-8 解：根据图示选取的网孔电流列出回路方程为 联立解得 H (s) U2(s) 2 1U1(s) s2 3s 1 令 s j 代入上式得 则

12、幅频特性和相频特性分别为 定性的幅频特性和相频特性的波形分别如题图7-8(b)、( c)所示。7-9 求题图 7-9 所示电路电压转移函数 H (s) U 0(s) ，设运算放大器是理想的。 Uin (s)题图 7-9Un1(s) 和Un2(s) ，可列出方程，解：应用节点法求解。选取图所示的参考节点，并设节点电压为 并注意到理想运放特点，得解得该电路的电压转移为7-10 求题图 7-10(a)、( b) 所示电路的谐振频率及各频段的电抗性质。011L1C11L2C2时发生并联谐振，整个电路阻抗为当 Z 0 ，即 (C1 C2)1L11L20 时，L1 L2(C1 C2)L2L2发生串联谐振。

13、对于题图 7-10（b）所示电路，可设端口电压与电流相量为U,I0，由 KCL 得由 KVL 可得U j LI 1 IC j(3 LjC)IC因为输入端阻抗为Z UI3LC311所以，当 3 L 0 ，即 时发生谐振。C 3LC7-11 题图 7-11 所示电路，已知，104rad /s时电流 i的有效值为最大，量值是 1A，此时UL 10V 。（1）求 R、L 、 C及品质因数 Q；（ 2）求电压 uC 。iR+uLuC+题图 7-11 解：（ 1）根据题意，电路发生谐振时，有 题图联立求得R 0.1 , L 1mH, C 10 F品质因数U L 10QUL0.1 100故有2）因为 UC1

14、 00j C 104 10 10 6900 10 900VuC 10 2 cos(104 t 900)V7-12 题图 7-12 所示电路中， IS 20mA， L 100 F ，R 10 。求电路谐振时的通频带 BW和 RL 为何值时获得最大功率，并求最大功率。RL解： RL 串联与 C 并联部分发生并联谐振时，有题图 7-12式中， Z( j 0) R j 0L ，谐振时，有则Y( j 0)此时，0CCRL0LZ(j 0)G,QR1LLCRZ( j 0) 2 CL170 0. 5 170r a d /s0 LC，即 RL CLR时获得最大功率 Pmax ，且有R150 0.5 1077BW

15、 0 2.5 107 rad / sQ157-13 题图 7-13 所示电路中，要使a、 b 两端电压输出为零，则为多少C1C2uS题图 7-13解： ab两端电压为零，说明 R上无电流流过， C2与C1 ,L1串联支路发生并联谐振。从 1、2 两点看进去的等效阻抗为欲使 Z ，则有C1 C2 2L1C 1C2 0解得并联谐振角频率为C1 C2L1C2 ；2) R1 R2L1C2解：根据并联谐振电路导纳为L1C1C27-14 求题图 7-14 所示电路在下列两种条件下电路谐振的谐振频率0：(1) R1 R2式中 Z1( j 0 ) R1 j 0 L1,Z2( j 0) R210C2上式中虚部为

16、零可解得2）当 R1 R2L1 时，谐振频率0 为不确定，在任意频率下都谐振。7-15 题图 7-15（a）所示电路中， uS 10sin104 tV .若改变 R值，电流 i 不变，求电容 C 的值。（a） （b）解：题图 7-15（ a）所示电路可等效变换为题题图图 7-175- 15（b）所示， LC 电路发生并联谐振时，流经电阻 R 的电流即为电流源电流，此时无论怎么改变 R 的值，电流 i 不变，所以37-16 题图 7-16 所示电路中， 已知103 rad / s，为负载 RL 10 与等效电阻为 RS 100 的电源实现共轭匹配， 在负载与电源之间接入一个由 LC 构成的 形二

17、端口电路， 试确定 L、C 的大小。RL当 ZL RS 时，电路实现共轭匹配，于是 得到由上式得解得 由于 X1 为电感，上述解取正值，代入数据得又由 X1L 得到电感值为 将 X1 代入 X1X2 RLRS ，解得1又由 X 2 得到电容值为2C7-17 RLC 串联电路，已知电源电压 US 1mV， f 1.59MHz ，调整电容 C 使电路达到谐振， 此时测得电路电流 I0 0.1mA，电容上电压 UC 50mV 。求电路元件参数 R，L，C 及电路品质因 数Q 和通频带 f 。解：电路发生电压谐振，故7-18 RLC 串联电路中，已知端电压 u 10 2 sin(2500t 150)V

18、 ，当电容 C 8 F 时，电路 吸收的平均功率 P达到最大值 Pmax 100W 。求电感 L和电阻 R的值，以及电路的 Q值。解：由题意： C 8 F 时电路发生谐振，电流 I 最大，吸收功率 Pmax 100W 达最大，据此可求 出7-19 试求题图 7-17 所示电路的谐振角频率表达式。i(t)L2+uS(t)i2(t)C10.01FL11HC20.05F解：题图 7-17 所示电路的输入导纳为 当其虚部为零时，端口电流、电压同相，达到谐振，由此则可导出谐振角频率的表达式。令 由此解出谐振角频率7-20 题图 7-18所示电路，已知 i1(t) 0 ， uS (t )与i(t )同相位， uS(t) 3 2cos tV 。1)求 L2 的值和 i2(t) 的有效值；( 2)求电压源 uS(t) 发出的功率 P。2i1(t)题图 7-18解：因为 i1(t) 0，故 C1和 L1发生了并联谐振，故得又知 uS(t)与 i (t)同相位，故 C2和 L2发生了串联谐振，故得又得 i(t) u1S(t2) 13 3 2cos t 2cos tA故电