Mathematica教程-4基本微积分

1、 基本微积分基本微积分 微积分里的求导函数、求不定积分、级微积分里的求导函数、求不定积分、级数 展 开 等 都 是 最 典 型 的 符 号 演 算 。数 展 开 等 都 是 最 典 型 的 符 号 演 算 。Mathematica系统提供了一批做这些演算系统提供了一批做这些演算的函数，有些可以直接从工具栏中输入的函数，有些可以直接从工具栏中输入（工具栏由（工具栏由File-Plaettes-Basic Input激激活）。活）。 极限极限求极限的函数是求极限的函数是Limit，格式为：，格式为：Limitexpr,x-x0当x趋向于x0时求expr的极限Limitexpr,x-x0,Direc

2、tion-1当x趋向于x0时求expr的左极限Limitexpr,x-x0,Direction-1当x趋向于x0时求expr的右极限例：求下列极限例：求下列极限0sin5sin3limsinxxxx 1:5 *in 3 */,0InLimit SinxSxSinxx12Outlim arctanxxlim arctanxx 6:,InLimitArcTan xxInfinity62PiOut 7:,InLimitArcTan xxInfinity 72PiOut10lim 6xx10lim 6xx 2:61 /,0,1InLimitxxDirection2OutInfinity3:61 /,0

3、,1InLimitxxDirection30OutMathematica可以求出任意函数表达式的微商，格可以求出任意函数表达式的微商，格式列表如下：（有些运算可从工具栏中直接输入式列表如下：（有些运算可从工具栏中直接输入 ） 微商微商求导运算求导运算 D函数，自变量函数，自变量或者或者fx 二阶导数二阶导数 D函数，函数，自变量，自变量，2或者或者fx 高阶导数高阶导数 D函数，函数，自变量，求导阶数自变量，求导阶数例：求下列函数的一阶导数例：求下列函数的一阶导数3cosyxx1:3 * ,InDxCos xx2313 Outx Cos xx Sin xln lnyx2: ,InDLog Lo

4、g xx12 OutxLog x例：求下列函数的二阶导数例：求下列函数的二阶导数8yx3:8,2InDxx6356Outx21arctanyxx4:12 *,2InDxArcTanxx2242 1xOutArcTan xx.假设a是常数可以对sinax求导 .求二元函数f(x,y)=x2*y+y2对x,y 的一阶和二阶偏导数Mathematica可以求函数式未知的函数微分 对链式导法则同样可用要得到函数在某一点的导数值,可以把这点代入导数 全微分Dtf求全微分dfDtf,xDtf,x1,x2,Dtf,x,Constants-c1,c2,.求全微分其中c1,c2.是常数求x2+y2的偏微分和全微

5、分 看出第一种情况y与x没有关系，第二种情况y是x的函数 In1:=Dtx2+x y3+y z,Constants-zOut1= 求多项式x2+xy3+yz的全微分并假定z是常数 2 x Dt x, Constantszy3Dt x, Constantsz3 x y2Dt y, Constantszz Dt y, Constantsz求隐函数的导数 求不定积分的函数是求不定积分的函数是Integrate。格式为：。格式为： Integratefx,x（x为积分变量）为积分变量） 或用工具栏，输入不定积分或用工具栏，输入不定积分 积分积分 dxxf)(定积分也是用定积分也是用Integrate做

6、，命令为：做，命令为： Integratefx,x,a,b或用工具栏，输入定积分或用工具栏，输入定积分badxxf)( 并不是所有的不定积分都能求出来。例如若求 Mathematica就无能为力。但对于一些手工计算相当复杂的不定积分MatheMatica还是能轻易求得， 例如求 积分示例积分变量的形式也可以是一函数 在被积函数中出现的除积分变量外的函数，当作常数处理 广义积分 对广义积分，如果无法判定敛散性，就给出一个提示 如果广义积分敛散性与某个符号的取值有关，它也能给出在不同情况下的积分结果结果的意义是当|p|1时，积分值为1/1-p,否则不收敛。 Integrate中可加两个参数Assu

7、mptions 和 GenerateConditions。在上例中，只要用Assumptions-Rep1就可以得到收敛情况的解数值积分 它的命令格式为 Nintegratef,x,a,b 在a,b上求f数值积分 Nintegratef,x,a,x1,x2,b 以x1,x2.为分割求a,b上的数值积分 Nintegratef,x,a,b,MaxRecursion-n 求数值积分时指定迭代次数n. 如果积分函数存在不连续点，或存在奇点，则可对积分进行分段求解。例如函数 在-1，1上，显然x=0点是一个无穷间断点。因此若要求其数值积分，必须在其中插入点0对无穷积分，也可求数值积分 重积分 计算重积

8、分： 微分方程解微分方程解 Dsolveeqn,yx,x 求解微分方程 yx Dsolveeqn,y,x 求解微分方程函数 yDsolveeqn1,eqn2,y1,y2,.,x 求解微分方程组 解yx仅适合其本身，并不适合于yx的其它形式，如yx，y0等，也就是说yx不是函数。例如我们如果有如下操作，yx,y0并没有发生变化 解的纯函数形式解的纯函数形式这里y适合y的所有情况 求微分方程组求微分方程组当然微分方程组也有纯函数形式 带初始条件的微分方程的解 对于简单的微分方程的解比较简单，对一些微分方程它的解就复杂的多。特别是对一些微分方程组或高阶微分方程，不一定能得具体的解，其解中可能含有一些

9、特殊函数。并且很多特殊函数的提出就是为了解这些方程的对于非线性微分方程，仅有一些特殊的情况可用标准数学函数得到解。Dsolve能够处理所有在标准数学手册有解的非线性微分方程 在Mathematica中用函数DSolve得到微分方程的准确解，用函数NDSolve得到微分方程的数值解，当然在此处要给出求解区间（x,xmin,xmax）。 NDSolve也是既能计算单个的微分方程，也能计算联立微分方程组。它能对大多数的常微分方程和部分偏微分方程求解 微分方程的数值解微分方程的数值解 NDSolveeqn1,eqn2,y,x,xmin,xmax：求函数y的数值解，x属于xmin,xmaxNDSolve

10、eqnl,eqn2,，y1,y2,x,xmin,xmax 求多个函数yi的数值解 NDSolve以InterpolatingFunction 函数生成函数yi的解，InterpolatingFunction函数提供在独立变量x的xmin到xmax范围内的近似值。NDSolve用迭代法求解，它以某一个x值开始，尽可能覆盖从xmin到xmax的全区间。为使迭代开始，NDSolve指定yi及其导数为初始条件。初始条件给定某定点x处的yix及尽可能的导数yix，一般情况下，初始条件可在任意x处，NDSolve将以此为起点自动覆盖xmin到xmax的全区域。 下面对初始条件y0=0和y1=0分别求出x从

11、0到1的范围内yx=yx的解。再看下面的微分方程的数值解 使用Mathematica页可以很容易的得到解的图形。 这儿给出如何观察微商的逆函数的近似值图形。我们使用命令Evaluate代替InterpolatingFunction，这样能够节省时间。 多重积分与数值积分多重积分与数值积分 用用Integrate还可以做多重积分，如二重还可以做多重积分，如二重积分的格式为：积分的格式为： Integratefx,y,y,c,d,x,a,b如：如：Integratex2+y2,x,0,a,y,0,x在在Mathematica里求数值积分的函数是里求数值积分的函数是NIntegrate，举个例子：，

12、举个例子： NIntegrateSinSinx,x,0,Pi 幂级数（泰勒公式）展开幂级数（泰勒公式）展开 一个函数描述了在某个区域内值的对应关系，一个函数描述了在某个区域内值的对应关系，有时考察一个函数在某一点附近的性质时，可以用有时考察一个函数在某一点附近的性质时，可以用一个有限次的多项式作为这个函数的近似，这就是一个有限次的多项式作为这个函数的近似，这就是幂级数展开（幂级数展开（Taylor展开）的意义。展开）的意义。Mathematica可以非常方便地求出任一个复杂函数表达式的任意可以非常方便地求出任一个复杂函数表达式的任意阶幂级数展开。运算格式：阶幂级数展开。运算格式：Seriesf

13、x,x,x0,n：表示表示f(x)在在x=x0做做Taylor展开至展开至 阶阶(带余项）。带余项）。 若要去余项，用函数若要去余项，用函数NormalNormal实现实现，如 s=SeriesSinx,x,0,10 ，f1=Normals nxx)(0 求函数极小值的格式为：求函数极小值的格式为：FindMinimumf,x,x0：以：以x=x0作为初始值，作为初始值，求函数求函数f的最小值的最小值 FindMinimumf,x,x0,y,y0,：求多变量：求多变量函数的最小值函数的最小值 求最大值，可以先求出求最大值，可以先求出-f的最小值，从而可得的最小值，从而可得到到f的最大值。的最大

14、值。 求函数的极小值求函数的极小值用用Sumf,i,a,b,di可求数列的和，可求数列的和，自变量自变量i以以di递增，递增，di=1时可略时可略 。 Sumf,i,a,b,j,c,d：表示：表示 求和求和baidcjf函数的拟合（函数的拟合（1） 做数据处理时希望用一个函数去反映做数据处理时希望用一个函数去反映客观的数据，这叫函数拟合。做拟合是客观的数据，这叫函数拟合。做拟合是要发现数据中的某种规律性，找出这种要发现数据中的某种规律性，找出这种规律性的表达式，或者从实测数据得到规律性的表达式，或者从实测数据得到有关数学模型的参数，然后就可以用表有关数学模型的参数，然后就可以用表示式或模型预测

15、可能的结果。示式或模型预测可能的结果。Mathematica中，最基本的拟合操作是中，最基本的拟合操作是Fit ，即利用最小二乘（平方）法，将数，即利用最小二乘（平方）法，将数据与要拟合的函数做分析运算，以求出据与要拟合的函数做分析运算，以求出最接近或最能表示数据趋势的函数。最接近或最能表示数据趋势的函数。 函数的拟合（函数的拟合（2）Fit的用法：的用法：1） Fitdata,1,x,x:表示变量为表示变量为x，进行线性拟合，进行线性拟合2）Fitdata,1,x,x2,x:二次多项式拟合二次多项式拟合3）Fitdata,Tablexj,j,0,n,x:n阶多项式拟合阶多项式拟合4）Fitdata,funs,vars:将将data用用funs做曲线拟合做曲线拟合5）数据data=x1,y1,.,x