Matlab矩阵运算

1、Matlab基础向量与矩阵运算向量与矩阵运算q 向量与矩阵的生成向量与矩阵的生成向量与矩阵运算向量与矩阵运算u 向量的生成向量的生成 直接输入直接输入: a=1,2,3,4 冒号冒号运运算符算符a=1:4 = = a=1, 2, 3, 4b=0:pi/3:pi = b=0, 1.0472, 2.0944, 3.1416c=6:-2:0 = c = 6, 4, 2, 0例例： 从矩阵中抽取行或列从矩阵中抽取行或列 MATLAB是矩阵化程序设计语言，处理矩阵和向量运算特别方便。向量与矩阵运算向量与矩阵运算u 矩阵的生成矩阵的生成 直接输入直接输入 A=1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8,

2、 9 由函数生成由函数生成 通过编写通过编写m文件生成文件生成 x=1,2,3;y=2,3,4; A=x,y, B=x;y 由数据文件生成由数据文件生成已有数据文件已有数据文件 mydata.dat，存放一个，存放一个5*3的数组，的数组，可用命令：可用命令： load mydata.dat 得到矩阵得到矩阵 mydata如矩阵是用户自定义的大矩阵，经常要用到，就如矩阵是用户自定义的大矩阵，经常要用到，就应编写一个应编写一个m文件保存。文件保存。常见矩阵生成函数常见矩阵生成函数zeros(m,n)生成一个生成一个 m 行行 n 列的零矩阵，列的零矩阵，m=n 时可简写为时可简写为 zeros(

3、n)ones(m,n)生成一个生成一个 m 行行 n 列的元素全为列的元素全为 1 的矩阵的矩阵, m=n 时可写为时可写为 ones(n)eye(m,n)生成一个主对角线全为生成一个主对角线全为 1 的的 m 行行 n 列矩阵列矩阵, m=n 时可简写为时可简写为 eye(n)，即为即为 n 维单位矩阵维单位矩阵diag(X)若若 X 是矩阵，则是矩阵，则 diag(X) 为为 X 的主对角线向量的主对角线向量若若 X 是向量，是向量，diag(X) 产生以产生以 X 为主对角线的对角矩阵为主对角线的对角矩阵tril(A)提取一个矩阵的下三角部分提取一个矩阵的下三角部分triu(A)提取一个

4、矩阵的上三角部分提取一个矩阵的上三角部分rand(m,n)产生产生 01 间均匀分布的随机矩阵间均匀分布的随机矩阵 m=n 时简写为时简写为 rand(n)randn(m,n)产生均值为产生均值为0，方差为，方差为1的标准正态分布随机矩阵的标准正态分布随机矩阵m=n 时简写为时简写为 randn(n)矩阵操作矩阵操作q 提取矩阵的部分元素：提取矩阵的部分元素： 冒号运算符冒号运算符u A(:) A的所有元素的所有元素u A(:,:) 二维矩阵二维矩阵A的所有元素的所有元素u A(:,k) A的第的第 k 列，列， A(k,:) A的第的第 k 行行 u A(k:m) A的第的第 k 到第到第

5、m 个元素个元素u A(:,k:m) A的第的第 k 到第到第 m 列组成的子矩阵列组成的子矩阵A(:) 与与 A(:,:) 的区别的区别 ?如何获得由如何获得由 A 的第一、三行和第一、二列组成的子矩阵？的第一、三行和第一、二列组成的子矩阵？自己动手矩阵操作矩阵操作q 矩阵的旋转矩阵的旋转u fliplr(A) 左右旋转左右旋转u flipud(A) 上下旋转上下旋转u rot90(A) 逆时针旋转逆时针旋转 90 度；度； u rot90(A,k) 逆时针旋转逆时针旋转 k90 度度例例： A=1 2 3;4 5 6 B=fliplr(A) C=flipud(A) D=rot90(A),

6、E=rot90(A,-1)q 矩阵的复制矩阵的复制repmat(原矩阵原矩阵,行复制数行复制数,列复制数列复制数) 将矩阵元素复制将矩阵元素复制矩阵操作矩阵操作q 矩阵的转置与共轭转置矩阵的转置与共轭转置u 共轭转置共轭转置u . 转置，矩阵元素不取共轭转置，矩阵元素不取共轭例例： A=1 2;2i 3i B=A C=A.点与单引号之间点与单引号之间不能有空格不能有空格！q 矩阵的行列删除矩阵的行列删除利用空矩阵利用空矩阵“ ”可从矩阵中删除指定的行或列可从矩阵中删除指定的行或列例例： A=1 2 3; 4 5 6 A(:,2)=矩阵操作矩阵操作q 改变矩阵的形状：改变矩阵的形状：reshap

7、ereshape(A,m,n): 将矩阵元素按将矩阵元素按 列方向列方向 进行重组进行重组重组后得到的新矩阵的元素个数重组后得到的新矩阵的元素个数必须与原矩阵元素个数相等必须与原矩阵元素个数相等！ 矩阵操作矩阵操作q 查看矩阵的大小：查看矩阵的大小：sizeu size(A) 列出矩阵列出矩阵 A 的的行数和列数行数和列数u size(A,1) 返回矩阵返回矩阵 A 的的行数行数u size(A,2) 返回矩阵返回矩阵 A 的的列列数数例例： A=1 2 3; 4 5 6 size(A) size(A,1) size(A,2)u length(x) 返回返回向量向量 x 的的长度长度u len

8、gth(A) 等价于等价于 max(size(A)矩阵基本运算矩阵基本运算q 矩阵的加减矩阵的加减：对应分量进行运算对应分量进行运算要求参与加减运算的矩阵具有要求参与加减运算的矩阵具有 相同的维数相同的维数例例： A=1 2 3; 4 5 6; B=3 2 1; 6 5 4 C=A+B; D=A-B;q 矩阵的普通乘法矩阵的普通乘法要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的的原则原则例例： A=1 2 3; 4 5 6; B=2 1; 3 4; C=A*B矩阵基本运算矩阵基本运算q 矩阵的矩阵的除法除法：/ & 右除和左除右除和左除 若 A 可逆

9、方阵，则AB A 的逆左乘的逆左乘 B = inv(A)*BB/A A 的逆右乘的逆右乘 B B*inv(A)X=B/A X*A=B 通常，矩阵除法可以理解为当当 A 和和 B 行数相等行数相等时可进行时可进行左除左除当当 A 和和 B 列数相等列数相等时可进行时可进行右除右除q 当A为方阵，其结果与 inv(A)*B 基本一致；X=AB A*X=Bq当A不为方阵，除法将分三种情况自动检测：若为超定方程组（既无解）除法将给出最小二乘意义上的近似解，即使向量AX-B 的长度最小；若为不定方程组（即无穷多解），除法将给出一个具有最多零元素的特解（不是通解）；若为唯一解，除法将给出这个解。例例：11

10、(4212324213324(2xyxyxyzxyzxyxyxy（）定解方程组）（ ）（不定方程组）（ ）超定方程组）解解： A=1 1;1 -1;B=1;4;x=ABx = 2.5000 -1.5000求得唯一解。 A=1 2 1;3 -2 1;B=1;4;x=ABx = 1.2500 -0.1250 0仅求得一个特解。 A=1 2;3 -2;1 -1;B=1;4;2;x=ABx = 1.2838 -0.1757求得一最小二乘近似解。解方程组解解： A=1 2;2 4;B=1;2;x=ABWarning: Matrix is singular to working precision.(Ty

11、pe warning off MATLAB:singularMatrix to suppress this warning.) x = Inf Inf %可见，不能直接求解。 A=1 2;2 4;0 0;B=1;2;0;x=AB %增加0 x+0y=0，使A不为方阵Warning: Rank deficient, rank = 1 tol = 2.9790e-015. x = 0 0.5000仍可求一特解。214242xyxy（ ）（奇异方程组）例例：求线性方程组的通解12341234123411221xxxxxxxxxxxx法一法一. 用rref化为行最简形以后求解。 clear % 清除各

12、种变量 a=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1;b=1;1;-1; rank(a),rank(a,b)ans = 2 2秩相等且小于，说明有无穷多解 rref(a,b)ans = 1 -1 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 0% 通解为：x1=x2，x3=x4+1(x2, x4自由)解解：在有无穷多解的情况可用三种方法求得通解。法二法二. 先用除法求出一个特解，再用null求得齐次组的基础解系。 clear;a=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1;b=1;1;-1; x0=ab;x=null(a)Warning: Rank def

13、icient, rank = 2 tol = 2.1756e-015.x = -0.7071 0 -0.7071 0 -0.0000 0.7071 -0.0000 0.7071通解为k1*x(:,1)+k2*x(:,2)+x02232113221051327132xx 法三法三：使用solve求解。例：解方程% 求解符号行列式方程clear;syms x % 定义x为符号变量A=3,2,1,1;3,2,2-x2,1;5,1,3,2;7-x2,1,3,2 % 给系数矩阵赋值 D=det(A) % 计算含符号变量矩阵A的行列式Df=factor(D) % 对行列式D进行因式分解 % 从因式分解的结

14、果，可以看出方程的解X=solve(D) % 求方程“D0”的解当当 k 取何值时方程组有非零解？当有非零解时求出其基础解系。取何值时方程组有非零解？当有非零解时求出其基础解系。1234123412341234(12 )33303(2)33033(2)30333(11)0k xxxxxk xxxxxk xxxxxk x 例例：已知齐次线性方程组clear;syms k % 定义符号变量kA=1-2*k,3,3,3;3,2-k,3,3;3,3,2-k,3;3,3,3,11-k;D=det(A); % 算出系数矩阵的行列式Dkk=solve(D); % 解方程“D0”，得到解kk，即k值for i

15、=1:4 AA=subs(A,k,kk(i); % 分别把k值代入系数矩阵A中 fprintf(当k=); disp(kk(i); % 显示k的取值 fprintf(基础解系为：n); disp(null(AA) % 计算齐次线性方程组“Ax=0”的基础解系endzeros 生成0矩阵 eig 特征值、特征向量ones 生成1矩阵 diag 对角矩阵eye 生成单位矩阵 trace 方阵的迹linspace 生成等距行向量 rank 矩阵的秩rand 生成随机矩阵 rref 行最简形det 方阵的行列式 orth 正交规范 inv 方阵的逆 null 求基础解系norm 范数 jordan J

16、ordan 分解cond 方阵的条件数 Ap A 的 p 次幂MATLAB矩阵运算常用命令矩阵运算常用命令例例：矩阵的特征值和特征向量：矩阵的特征值和特征向量 eig(A) 返回方阵A的特征值构成的列向量 V,D=eig(A) 返回方阵A的特征值和特征向量。其中D为特征值构成的对角阵，每个特征值对应的V的为属于该特征值的一个特征向量，每个特征向量都是单位向量，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交化 A=1 2 3;2 3 4;2 4 5;V,D=eig(A),t=eig(A)V = -0.3957 -0.2167 + 0.5832i -0.2167 - 0.5832i -0.5765 0

17、.6313 0.6313 -0.7149 -0.3914 - 0.2471i -0.3914 + 0.2471i D = 9.3329 0 0 0 -0.1665 + 0.2818i 0 0 0 -0.1665 - 0.2818i t = 9.3329 -0.1665 + 0.2818i -0.1665 - 0.2818iMATLAB系统默认变量系统默认变量i 或 j : 虚单元 正确：5+7j 错误：5j7pi : 圆周率ans : 计算机结果的缺省变量名eps ： 机器的零阈值 2.2204e-016 Inf 或 inf : 正无穷大 NaN 或 nan : 不定值（即无效数据）变量的命名

18、变量的命名规则：规则：1）变量名、函数名区分字母的大、小写。2）变量名由字母、数字和下划线构成，第一个字母必须是英文字母。3）有字符个数限制。 合法合法的数值形式举例：的数值形式举例： 3 -99 0.001 .19 -5.1+6.8i 7.8-6j （虚数） 9.4e6 1.3e-3 -4.5E33 （科学表示法）MATLAB中常见数学函数中常见数学函数sin、cos、tan、cot、sec、csc、asin、acos、atan、acot、asec、acsc、exp、log、log2、log10、sqrtabs、conj、real、imag、signfix、floor、ceil、round、mod、remmax、min、sum、mean、sort、fftnorm、rank、det、inv、eig、lu、qr、svd log 是自然对数，即以是自然对数，即以 e 为底数为底数 mod(x,y) 结果与结果与 y 同号，同号，rem(x,y) 则与则与 x 同号同号 max