matlab编程_微积分处理

1、微积分的基础知识微积分的基础知识MatlabMatlab中的实现中的实现崔基哲崔基哲信息管理与信息系系统信息管理与信息系系统数学建模种常用的微积分知识在数学建模种常用的微积分知识在Matlab中的实现中的实现1. 极限运算极限运算2. 求导运算求导运算3. 积分运算积分运算4. 函数的函数的TaylorTaylor展开展开5. 数值积分数值积分6. 线性方程和非线性方程的求解线性方程和非线性方程的求解7. 求和及求极值方法求和及求极值方法命令功能limit(f,x,a)计算limit(f,x,inf)计算limit(f,x,a,right)计算单侧极限limit(f,x,a,left)计算单侧

2、极限 limxafx limxf a limxaf x limxaf x注意：在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Matlab的默认状态是求右极限。例1.求极限 与极限 10lim 14xxx01limxxex解： syms x; y1=(1+4*x)(1/x);y2=(exp(x)-1)/x;a=limit(y1,x,0)b=limit(y2,x,0)a=exp(4)b=1例2.求极限10lim2xxx解：syms x;y=sqrt(x)-2(-1/x);limit(y,x,0,right)ans=0；1一元函数求导命令形式1：diff（f）功能：求函数功能：求函数f f的一阶倒数，其

3、中的一阶倒数，其中f f为符号函数。为符号函数。命令形式2：diff（f,n）功能：求函数功能：求函数f f的的n n阶倒数，其中阶倒数，其中f f为符号函数。为符号函数。例3.求函数 的二阶倒数例4.设 ，求3351xx2321yxx1|xy解：syms x;f=3*x3+5*x+1;diff(f,2)ans=18*x解：syms x;y=3*x2-2*x+1B=diff(y),x=1;eval(B)B=6*x-2ans=42.多元函数的偏导数命令形式1：diff（f,xi）功能：求多元函数功能：求多元函数f f对变量对变量x xi i的一阶偏导。的一阶偏导。命令形式2：diff（f,xi,

4、n）功能：功能：求多元函数求多元函数f对变量对变量xi的的n阶偏导。阶偏导。例5.求 关于x的偏导。2sin2zxy解：syms x y;z=x2*sin(2*y);B=diff(z,x)B=2*x*sin(2*y)3.全微分、参数方程求导及隐函数求导(1)若函数 在某点 的两个偏导数存在且连续，则函数在该点的全微分为,zf x y00,xy0000,xydzfxydxfxydy（2）对参数方程 所确定的函数 ，Matlab中求函数全微分的命令为：,diff z xdiff z y xx tyy t根据公式 ， 连续两次利用 命令就可以求出结果。( )yf x/dydy dtdxdx dt(

5、)diff f(3)隐函数求导方程 所确定的隐函数 ，其导数为( )yy x( , )0F x y xyFdydxF 方程 确定的隐函数 ，其导数为 ( , , )0F x y z ( , )zz x yxzFzxF yzFzyF 在Matlab中按照上述公式，分别求出函数的偏导数再相除就可以得到隐函数的导数。1一元函数的不定积分命令形式1：int（f）功能：求函数功能：求函数f f对默认变量的不定积分，用于函数中只有一对默认变量的不定积分，用于函数中只有一个变量的情况。个变量的情况。命令形式2：int（f,v）功能：功能：求符号函数求符号函数f对变量对变量v的不定积分。的不定积分。例6计算。

6、221sincosdxxxsyms x;y=1/(sin(x)2*cos(x)2);int(y)pretty(int(y)%把int(y)化简为常用的数%学形式%的表达式例7求syms x z;B=int(x/(1+z2),z)21xdzz2一元函数的定积分命令形式1：int（f,x,a,b）功能：用微积分公式计算定积分功能：用微积分公式计算定积分( )baf x dx例8求 .2(1/ )121(1)xxxedxxsyms x;t=1+x-1/x;y=exp(x+1/x);f=t*y;int(f,x,0.5,2)3多重积分运算命令功能int(int(f,x),y)计算不定积分Int(int(

7、f,y,c,d),x,a,b)计算定积分( , )dxf x y dy ( , )bdacdxf x y dy注意：对于三重积分的运算和二重积分的运算形式上一致。例9.计算 .syms x y;A=int(int(x2+y2+1,y,x,x+1),x,0,1)112201xxdxxydy命令形式1：taylor(f)功能功能: :将函数将函数f f展开成默认变量的展开成默认变量的6 6阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式. .命令形式1：taylor(f,n)功能：功能：将函数将函数f展开成默认变量的展开成默认变量的n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式.命令形式1：taylor(f,n,v,a)功能：将函数

8、功能：将函数f(v)在在v=a处展开成处展开成n阶阶Taylor公式公式.返回返回例10.将函数 展开为x的6阶麦克劳林公式 2tanln 1f xxarcxxsyms x;f=x*atan(x)-log(sqrt(1+x2);taylor(f)例11将函数 展开为关于（x-2）的最高次为4的幂级数。 21fxxsyms x;f=1/x2;taylor(f,4,x,2);pretty(taylor(f,4,x,2)1用数值方法计算二重积分命令形式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)功能：计算二重积分功能：计算二重积分 ，其中，其中 xminxmin，xmaxxma

9、x，yminymin，ymaxymax表示积分限。表示积分限。 maxmaxminmin( , )xyxydxf x y dy2用数值方法计算三重积分命令形式：triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)注意：fun可以是字符串，内联函数或M函数文件名。例14计算 ，其中D是y=1，x=4，x=0，y=0所围成的区域。Dxydxdy解：dblquad(x*y,0,4,0,1)例15计算 11200dyxy dxff=inline(x.2+y,x,y);dblquad(ff,0,1,0,1)1求多项式方程的根N次多项式的一般形式：理论上，n次多项式方

10、程有n个根，且对于n4的多项式方程，其根一般不能用解析式表示。因此，在MATLAB中，对于次数n4的多项式方程，不一定能求出所有根的准确形式，但可以求出所有根的近似形式。20120nnaa xa xa x命令形式1：root（p）功能：求多项式功能：求多项式p p的所有根，注意这里的的所有根，注意这里的p p只能是多项式方程。只能是多项式方程。命令形式2：solve（s）功能：对一个方程功能：对一个方程s s的默认变量求解，这里的方程的默认变量求解，这里的方程s s可以是多项可以是多项式方程，也可以是一般的任意方程。式方程，也可以是一般的任意方程。命令形式3：solve（s,v）功能：对一个方

11、程指定的变量功能：对一个方程指定的变量v v求解。求解。命令形式4：solve（s1,s2, ,sn,v1,v2, ,vn）功能：对功能：对n n个方程的制定变量个方程的制定变量v1,v2, ,vn求解。命令形式5：x1,x2, ,xn=solve （s1,s2, ,sn,v1,v2, ,vn）功能：将功能：将n n个方程的指定变量个方程的指定变量v1,v2, ,vn求解的结果赋给x1,x2, ,xn例17求方程 的所有根。3249100 xxxp=1 -4 9 -10r=roots(p)s1=sym(x3-4*x2+9*x-10);solve(s1)例18求方程 的所有根，其中a，b为常数

12、240 xaxbs1=sym(x2-a*x-4*b=0);solve(s1,x)例20，求方程 的根。1115xyxyx,y=solve(x+y=1,x-11*y=5,x,y)例27.求函数 的极小值点。例28.求函数 在点(0,5,4)附近的极小值。222( , )100()(1)f x yyxx4( , , )sincosf x y zxyzfunction f=myfun(p)x=p(1);y=p(2);f=100*(y-x2)2+(1-x)2;x0=-1.2,1x=fminunc(myfun,x0)function f=myfun(p)x=p(1);y=p(2);z=p(3);f=x4

13、+sin(y)-cos(z);x0=0,5,4xmin,fval=fminsearch(myfun,x0)2.（1）1.已知 ，求 。lnsin3xexyxylimnnnn（2）11lim sincosxxx数学建模种常用的线性代数知识在数学建模种常用的线性代数知识在Matlab中的实现中的实现1. 向量和矩阵的基本运算向量和矩阵的基本运算2. 矩阵的变换与分解矩阵的变换与分解3. 特征值和特征向量的求解方法特征值和特征向量的求解方法4. 线性方程组的直接求解法线性方程组的直接求解法5. 线性方程组的迭代求解法线性方程组的迭代求解法数组运算数组运算指令指令说明说明指令指令说明说明A.非共轭转置

14、，相非共轭转置，相当于当于(conj(A)A+B与与A-B对应元素之间加减对应元素之间加减k.*A或或A.*kk乘乘A的每个元素的每个元素k+A与与k-Ak加减加减A的每个元素的每个元素A.*B两数组对应元素两数组对应元素相乘相乘A.kA的每个元素进行的每个元素进行k次方运算次方运算k.A以以k为底，分别以为底，分别以A的元素为指数求的元素为指数求幂值幂值k./A和和A.kK分别被分别被A的元素除的元素除左除左除A./BA的元素被的元素被B的对的对应的元素除应的元素除右除右除B.A与左式相同与左式相同数组运算数组运算指令指令说明说明指令指令说明说明A共轭转置共轭转置A+B与与A-B对应元素之间加减对应元素之间加减k*A或或A*kk乘乘A的每个元素的每个元素k+A与与k-Ak加减加减A的每个元素的每个元素A*B按线性代数的矩按线性代数的矩阵乘法阵乘法AkK个矩阵个矩阵A相乘相乘kA矩阵的幂矩阵的幂左除左除A/BAX=B的解的解右除右除BAXA=B的解的解inv 求矩阵的逆矩阵