MATLAB矩阵分析及多项式运算

1、(1)单位矩阵单位矩阵单位矩阵的主对角线元素为单位矩阵的主对角线元素为1，其他元素为，其他元素为0，语法格式为：，语法格式为： A=eye(n); %返回一个返回一个nn大小的单位矩阵；大小的单位矩阵； A=eye(m,n); %返回一个返回一个mn大小的单位矩阵；大小的单位矩阵； A=eye(size(B); %返回一个大小与返回一个大小与B一样的单位矩阵。一样的单位矩阵。 例：例： A=eye(4,3) A= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0（2）零矩阵）零矩阵零矩阵的所有元素为零矩阵的所有元素为0，其语法格式为：，其语法格式为： A=zeros(n);%返回一个返回一个n

2、n大小的零矩阵；大小的零矩阵； A=zeros(m,n);%返回一个返回一个m n大小的零矩阵；大小的零矩阵； A=zeros(size(B);%返回一个大小与矩阵返回一个大小与矩阵B相同的零矩阵。相同的零矩阵。 例：例：A=zeros(3,4) A= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A=zeros(3)A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0（3）“1”矩阵矩阵 “1”矩阵的所有元素为矩阵的所有元素为1，其语法格式为：，其语法格式为： A=ones(n);%返回一个返回一个n n大小的大小的1矩阵；矩阵； A=ones(m,n);%返回一个返回一个m n大小的大小的1矩阵；

3、矩阵； A=ones(size(B);%返回一个与矩阵返回一个与矩阵B大小相同的大小相同的1矩阵。矩阵。 例：例：A=ones(3) A= 1 1 1 1 1 1 1 1 1（4）随机矩阵）随机矩阵随机矩阵的元素是随机产生的。有两种函数：随机矩阵的元素是随机产生的。有两种函数：rand函数和函数和randn函数。它们的用法相同。函数。它们的用法相同。 rand函数：产生的矩阵元素服从（函数：产生的矩阵元素服从（0，1）之间的均匀）之间的均匀分布；分布； randn函数：产生的矩阵元素服从均值为函数：产生的矩阵元素服从均值为0，方差为，方差为1的的正态分布。正态分布。语法格式为：语法格式为： A

4、=rand(n); %返回一个返回一个n n大小的随机矩阵；大小的随机矩阵； A=rand(m,n);%返回一个返回一个m n大小的随机矩阵；大小的随机矩阵； A=rand(size(B); %返回一个与矩阵返回一个与矩阵B大小相同的随机大小相同的随机矩阵。矩阵。例：例： A=rand(3,4) A= 0.9501 0.4860 0.4565 0.4447 0.2311 0.8913 0.0185 0.6154 0.6068 0.7621 0.8214 0.7919 (6) 魔方矩阵对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共n2个整数组成。 魔方矩阵的每行、每列及两条对角线上的元素和都相等，

5、magic(n)：其功能是生成一个n阶魔方阵。将101125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。 B=100+magic(5)B = 117 124 101 108 115 123 105 107 114 116 104 106 113 120 122 110 112 119 121 103 111 118 125 102 109 sum(B(1,:)ans = 565 sum(B(2,:)ans = 565 sum(B(:,4)ans = 565 B(1,1)+B(2,2)+B(3,3)+B(4,4)+B(5,5)ans = 565 (7) 范得蒙矩阵矩阵

6、元素最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。 函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。范得蒙矩阵 p=1 2 3 4 5p = 1 2 3 4 5 A=vander(p)A = 1 1 1 1 1 16 8 4 2 1 81 27 9 3 1 256 64 16 4 1 625 125 25 5 1（8） Hilbert(希尔伯特矩阵)与逆与逆Hilbert矩阵矩阵Hilbert矩阵的元素为：矩阵的元素为：1211111131211211,11nnnnnHnjihji,阶矩阵表示为：MATLAB中提供的中提供的Hilbert矩阵的函数

7、矩阵的函数调用方法调用方法有：有：H=hilb(n)；%产生一个产生一个n阶阶Hilbert 矩阵；矩阵；B=invhilb(n)；%产生一个产生一个n阶逆阶逆Hilbert矩阵矩阵,n小于小于5时时求其精确逆矩阵，大于求其精确逆矩阵，大于5时求其近似逆矩阵。时求其近似逆矩阵。例: 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。命令如下： format rat %以有理形式输出 H=hilb(4)H = 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 H=invhilb(4)H = 16 -120 240 -140 -120 1200

8、 -2700 1680 240 -2700 6480 -4200 -140 1680 -4200 2800（9）Toeplitz(矩阵矩阵是由一行和一列来定义的矩阵，是由一行和一列来定义的矩阵， 其语法格式为：其语法格式为：T=toeplitz(r)；%生成一个由向量生成一个由向量r构成的对称构成的对称toeplitz矩阵，矩阵，其第一行由其第一行由r定义。定义。 T=toeplitz(c,r)；%生成一个非对称的生成一个非对称的Toeplitz矩阵，矩阵，c作为其第一列，作为其第一列，r作为第一行，作为第一行，如果如果c和和r的第一个元素不同，则用列中元素。的第一个元素不同，则用列中元素。

9、r =1,2,3,4 r = 1 2 3 4 T=toeplitz(r) T= 1 2 3 4 2 1 2 3 3 2 1 2 4 3 2 1c=5,6,7,8c= 5 6 7 8T=toeplitz(c,r)T= 5 2 3 4 6 5 2 3 7 6 5 2 8 7 6 5例：例： (10) 伴随矩阵MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。 例如，求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵，可使用命令：p=1,0,-7,6;compan(p) ans = 0 7 -6 1 0 0 0 1 0 (11) 帕斯卡矩阵二次项(x+

10、y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。 函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。例：求(x+y)5的展开式。在MATLAB命令窗口，输入命令： pascal(6)ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展开式的系数。 (x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5

11、x y4 + 1 y523矩阵分析矩阵分析 diag(A)ans = 17 5 13 21 19 diag(A,3)ans = 0 16 diag(1:3,-1)ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 例：例： v= 1,2,3,4 A= 1 0 0 0 v= 0 2 0 0 1 2 3 4 0 0 3 0 A=diag(v) 0 0 0 4 A= 1 0 0 0 v=diag(A) 0 2 0 0 v= 0 0 3 0 1 0 0 0 4 2 3 4 122111221Aa=1 2 3;3 4 5;m,n=size(a)m = 2n = 3length(a

12、)ans = 3max(size(a)ans = 3rank(a)ans = 2a=1 2 3;4 5 6a = 1 4 2 5 3 6a=1 2 3;4 5 6.a = 1 4 2 5 3 6b=1+2i 2-7ib = 1.0000 - 2.0000i 2.0000 + 7.0000ib=1+2i 2-7i.b = 1.0000 + 2.0000i 2.0000 - 7.0000i,1iji mjba 1,ijni jca %将矩阵的行上下翻转 flipud(A)ans = 4 9 2 3 5 7 8 1 6%将矩阵A逆时针旋转90度 rot90(A)ans = 6 7 2 1 5 9 8

13、 3 4矩阵的逆矩阵的逆方阵的行列式方阵的行列式矩阵的秩与迹矩阵的秩与迹矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量51例例: 用求特征值的方法解方程。用求特征值的方法解方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0p=3,-7,0,5,2,-18;A=compan(p); %A的伴随矩阵的伴随矩阵x1=eig(A) %求求A的特征值的特征值x2=roots(p) %直接求多项式直接求多项式p的零点的零点 max(A) ans = 78 63 563 min(A) ans = 1 -56 -235 max(max(A)%求整个矩阵的最大元素ans = 563 min(min(A)%求整个矩阵的最

14、小元素ans = -235niixxn12)(111niixxn12)(12niixnx11 a=7,4,9,8,10,7,8,7,8,7;7,6,10,5,9,8,10,9,5,6; mean(a)ans = 7.5000 7.5000 std(a)ans = 1.5811 1.957922)()()(yyxxyyxxriiii X=1.1,1.2,1.0,0.9,1.2,1.1,0.9,0.6,1.0,0.9,1.1,0.9,1.1,1,0.7; Y=14,13,15,15,13,14,16,17,14,16,15,16,14,15,17; R=corrcoef(X,Y)R = 1.0000 -0.9265 -0.9265 1.0000A = 1 -8 5 4 12 6 13 7 -13 sort(A,2,descend)ans = 5 1 -