对数平均数及不等式链及几何解释及应用

1、AP, BQ交于E,F，根据左图可知,(J 口 7S 业 bx口 価空对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是:m + ba _ ba _ b设a,b 0,a = b,则ab，其中被称之为对数平均数2 In a 1 n bIn a - ln b童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地 探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解1对数平均数的不等关系的几何解释1反比例函数 f X x 0的图象，如图所示， AP II BC IITU II KV，MN

2、 II CD II x轴,x作f x在点K -,I 2 a + b .丿处的切线分别与A a,0 ,P a丄,B b,0 ,Q b,丄,TI b丿因为S曲边梯形abqp > S梯形ABFE = S矩形ABNM ，所以b 1 dx= ln b- ln a >Q x2a+ b(b- a),又窃边梯形AUTP =ln a，ab 1dx= lnx1? b-=a2. ab2 S弟形 ABCD，1 “1(ln b-2'lna)= ?曲边梯形ABQP，根据右图可知，S曲边梯形AUTP < S弟形AUTPJab另外,氐形ABQX < S曲边梯形ABQP < S梯形ABQP

3、 < S矩形ABYP，可得:b(b-1骣a)< In b- In a <2桫a+1 眇 a)<(b- a),a综上,结合重要不等式可知:b(b-a)<(<lnb- a+ bIn a <b- a.ab <1 . 1+ b眇 a)< -(b- a)，即 b>3 b- a >2 In b- In aab >2>11+ -aba(b> a> 0).可以用来证明含自然对数的不等式问题对数2不等式链的应用 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中

4、一个达到不等式证明的目的.2.1b>d>a(a>0)的应用(2014年陕西)设函数f(x)=ln(1 x), g(x) = xf(x)，其中f (x)是f(x)的导函数.(1)(2)(略)(3)解析设n N .，比较g 1 g J | g n与n-fn的大小，并加以证明.x(3)因为 g x ,1 +x12nM 11"所以g 1 g2山gn s 2川百w 3川百，而n-f n二n-In n，1 ,因此，比较g 1 ，g2 |g n与n-fn的大小，即只需比较1 1与In n，1的大小即可.2 3 n 1b a1根据 b>a>0时，b>i，即b(b-

5、 a)<lnb- lna,1令 a= n,b= n + 1,则 < ln(n + 1)- In n, n+ 1111所以 In 2 - I n1 = I n2 ,In 3 - I n2 , l|l,ln(n 1)-I nn ,23将以上各不等式左右两边相加得：-1 In n T ,23 n +1故 g1g2 | g n n-fn.评注本题是高考试题的压轴题， 难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论,用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这 里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握

6、.当b> a> 0时，In b- In ab- a > a，即 In b- In a< -(b- a),令 a = n,b = n + 1,a11则 ln(n + 1)- lnn< ,可得：ln(n + 1)< 1+n2例2（ 2012年天津）已知函数 f Xi； = x-I n Xa a 0的最小值为o.n 2(1) ( 2)(略)(3)证明：In 2n 12 n N * .i 二 2i -1解析 （3）易求a = 1，待证不等式等价于2In 2n 1 .2n-1b- a根据b> a> 0时，b>，即In b- Ina-(b- a)<

7、; bIn b- In a,2n-1，b=2n+1,则2n+1<In(2n+1)- ln(2n- 1),2-< In 3322In1, < In 5- In 3,< In 7- In 5,L ,572(n+1)-1<In(2n+1)- In(2n-1),将以上各不等式左右两边分别相加得:+<2n -1 2n 1In 2n 1 , In 2n 12 -22i -12n 1:2.得证.2.2a + b > 一一(b> a> 0)的应用2 In b- In a例3设数列 的通项an二=，其前n项的和为Sn ,证明：Sn ： In n 1 .n n

8、 11解析根据b>a> 0时,a2 + b2>2b- a，即 In b- In a> f(b- ?, Inb- Inaa2 + b2令 b= n+ 1,a =n,则 ln (n+ 1)- In n >.n2+ (n+ 1)22_.2n2 + 2n+ 12.3解析2> an，易证 & ：ln n 1 .2n2 + 2n+ 2ba一(b> a> 0)的应用2 Inb- Inaa+ b>111设数列：an?的通项a. =1，证明：an ： In 2n 1 .23na + b b- a根据b> a> 0时，> 一2 Inb

9、- Ina即 In b- Ina> 2(b- a), a+ b令 b = 2n + 1,a = 2n- 1,则 ln(2n+ 1)- ln(2n-、11)> 一，易证 an ： ln 2n 1 . n2.4b- a 2>(b> a> 0)的应用In b- In a 1 丄1+a b5 ( 2010年湖北)已知函数f(x)二ax+ c( a>0)的图象在点(1, f (1)处的切线方程为(1)用a表示出b, c ；( 2)(略)(3)证明:1 / 、> ln (n + 1) + n2(n+ 1)(n? 1).解析(1)b = a- 1,c = 1 -2a

10、 ;(3)当b>a>0时，上亘>Inb- Ina，即 In b- In a< 12桫a+1 眇 a)，1 + n + 1*令 a= n,b= n + 1,则 In (n + 1)- Innv 1桫11骣1 .1骣骣所以 In2- in1<亍+ ± in3-in2<2桫2"2?2in(n +1)- 1 nn*1 桫将以上各不等式左右两边分别相加得:in(n+1)< 2+?+ 1+1+L341亠 -+ n于12(n+ 1)，1即 ln(n + 1)< 1+1+1+L341 12(n+ 1)- 2,故 1+1+1+L+1>3n

11、ln(n+ 1)+n2(n+ 1)X(1 +AX)(2013年新课标I)已知函数 f x = ln 1 X -(1)若x亠0时，f x - 0,求，的最小值;(2)1 1 1设数列曲的通项补1石込川n，证明:a2n - a.in 2 .4n解析2(1 2人)x X x (1)易得 f 0 =0f x 二2(1 X),1 2 几令 f x 二 0,则 x = 0,x 二若 < 0，则当x 0时，f x 0, f x是增函数,f x f 0 = 0,不符合题意；若0岂：1,则当0岂x ：匕H时，x 0, f x是增函数，f x f 0 = 0,不符合题意;2 &1若二，则当x 0时，

12、f x Pf x是减函数，f x"0 7符合题意;1综上，的最小值是$ .-b- a 21 骣(2)当 b > a > 0 时，>，即 in b- in a <Inb- ina 1 丄 12桫+ a b令 a = n,b = n + 1,则ln(n+ 1)- In n <1彝 2舫+ n +所以 In (n + 1)- In n <2ln+1ln(n+ 2)- In (n+ 1)<1 亠t匚n+ 2 -+2?n+1ln(n+ 3)- ln(n+ 2) <2?n+ 2 +In2n- ln(2n- 1)<将以上各不等式左右两边分别相加

13、得:In2n- Innv-骣1 +2?n+2+n+ 12+n+ 223+L2+2n- 1+ Ln+ 2 n+ 3即阮哈亠1+兰,2n- 1 f 4n川 2n 4n评注本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值，二-2时,In 1 x :注上 x_02 + 2x1加以赋值，并进行变形，令x兀InP1 _ 1 12 k k 1,In 1 k -In k ：1 丄2 Ikk+1达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷2.5-一a一> ab(b> a> 0)的应用 In b- In a1(2014福建预赛)已知 f(x)二aln(xV)， 3x-1.(1)(

14、略)求证： £弓g1ln 2n 1对一切正整数n均4"21 4汇 221 4 汉于一145 -1 4成立.解析(2)根据b> a > 0时,b-a> VOB，即 In b- lna< b=a , lnb- Inaab令 b = 2n + 1,a = 2n- 1,则 In (2n + 1)- In (2n- 1)<24n2- 1变形可得：1臌轾(2n+1)- 1 n(2n- 0 < _2 =n+ 1R，则!(ln3- In1)<号 ,- (In5- In3)v44?11434? 221，L，1 轾(2n+1)- In(2n- 1) <n+ 14n2- 1将以上各不等式左右两边相加得：12令 xkN*，得31 2In(1), 2k -12+1 2k-12k-12k -1 8k +82k +1k +11 -r 整理得：8kr-8 2In 红，即 企丄 1 In 2k 1 -In 2k-1，借此作为放缩的途径达到 4k -12k -14k 一14 -_证明的目的你能注意到两种方法的区别吗？2211n(2n T)对一切正整数n均成立.4 1 -14 2 -14 3 -14 n -141评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a的最小值a -2时，-2ln(