对数平均不等式在极值点偏移中应用

1、对数平 均不等 式的典型应用极值点偏移问题的母题对数、指数平均不等式与高考中的一类热点，即极值点的偏移（类对称或淮对称）问题具有深该的内在联系，利用对数与指数平均不等式可建立极值点的偏移母题如下母题结构：（！）（对数模型）设P （x”yJ、Q （X2,y2）是函数f （x）二mlnx+ax'+bx+c （mHO）图像上的任意两点，则当m>0时”（伴）5;当mvO时，/ （伴）畑（11）（指数模型）设 P（x" yi）、Q（X2, yj 是函数 f（x）=mex+ax2+bx+c（mAO）图像上的任意两点?则当m>0时，f （今）<也;当mvO时，厂（宁）気I

2、（X丿一 minx+ax十dx+c =>j（X丿一yruu 迈+a(xi+x2) +b;又由勺+忑），由对数平均不等m -+a(xi+x： ) +b 二 心厂 r ()=m(-X X?2XI X2式.a 十ba-b = Inxj -lnx2)-2 na-lnb x/ -X2n当m0时，f (宁)也;当nKO时，/(呼)扁；XI*X2(II)由 f (x)二 meA4-axA+bx+c 二 /(x)Z2 me,+2ax+b 二 r (土 Hl)二me +a (xi+xj +b; 乂由1£疋二r w巴二m八一"+Xl-X2 XI- X2心+刈+”八宁）讹罟七），由指数平均

3、不等式:v>e亍n =>eh n当m>3时，厂（宁）vU;当mvO时，厂（冲）& 一 1.1. 对数模型子题类型I：（2011年辽宁高考试题）已知函数f （x）二lnx/+ （2-a） x（1）讨论巩幻的单调性;2(H)设 a>0,证明：当 Ovx丄时,f(l+x)>f(lx);a aa(HI)若函数y=f(x)的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x。，证 明：厂(xo)<O.解析：(I )f(x)的定义域为(0,+)，由f (x)=lnx - ax+(2 - a) x=> f (x) =- i (axT);当 a WO 时,广(

4、x) >0n f (x)在(0, +°°) x 上递增；当a>0时,f (x)在(0,丄)占递增，在(丄/ +8)递减；(II) 令 g(x)=f(丄 +x)-f(丄-x)二 ln(l+ax) - ln(l-ax)-2ax,则 a a(x)二宀+宀-2a二吝>Ong(x)在0,丄)上递增 ng(X)>g(O)二 Onf£丄 +x)济(丄-X)；(III) 设 A(x ,O),Bg,O),则 k«=0,由/ (伴)<血二 On/(xo)vO.点评：若连续函数f(x)在区间g,xj内有唯一的极值点X。，且f(xJ=f(X2),研

5、究 宁与X。的大小或判断f (宁)的符号，统称为极值点的偏移问题;母题结论具有 解决极值点偏移问题的根本性.2. 指数模型子题类型H : (2010年天津高考试题)已知函数f(x)=xe-s(xeR).(I )求函数f(x)的单调区间和极值；(II)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象矢于直线x二1对称，证明：当x>l 时 f (x) >g(x);»(ASo4.-p八(III)如果 XiHx?,且 f(Xx)二f(x：),证明：Xi+X2>2解析 J ： (I)由 f(x) xeJr(x)- ef(lX)e3 列表如下,由 表知 f(x)在(-oo,

6、1)内是增函数，在(1,+s)内是减函数，函数f(x)在x=l处取得极大值f但(II)由函数y二g(x)的图象与函数y二f(x)的图象尖于直线x二1对称og(x)二f (2-x)二(2-x)护;当 x>l 时，令 F (x)二 f (x) -g (x)二 x+(x-2) en,则尸(x)二(x-1) (eA-DeAO n 函数 F(x)在1, +)是 增函数=>F(x) >F(l)=O=>f(x)>g(x);(HI)设 P (xi, yo), Q (X2, yo)，由 xiHxz,且 f(xj 才(xj,则 Xi, x： >0;令g (x) =lnf (x)

7、 =lnx-x,则 g'()也二 On2XI+X2On Xx+x2>2 点评：指数与对数函数模型不仅具有相似的结论，实质上，由函数y二g与y二 lnx的对称性知，母题中，指数与对数函数模型的结论是等价的；把指数函数问题 转化为对数函数问题是解决指数函数问题的常用方法3. 切线背景子题类型皿：(2005年湖南高考试题)已知函数f (x)二lnx, g(x)Jax2+bx, aHO.(I )若b二2,且h(x)二f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(II)设函数f(x)的图象G与函数g(x)图象C：交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的 垂线分別交G, G于点M、N,证

8、明:G在点M处的切线与C：在点N处的切线不平 行.解析:(I)当b二2时，h(x)二f (x)-g(x) =lnx-l ax: -2x => /f (x)二丄.ax-2 Z2丄(ax_+2xT) (x>0);所以,h(x)2xx存在单调递减区间o炉(X) WO在(0, +。)内有解集区间o T (x) =ax*+2x-lA0在(0, + ° °) 内有解集区间o a>0,或avO,且4+4a>0oa的取值范围是(T, 0) U (0, +oo)；P (xi, yi), Q (xz, yj, A (xi, 0), B (x： , 0), h (x)二

9、f (x) -g (x)二 lnx 一 1 ax2+bx => 力(x)二/(x) /(x) nh1 ("十也)二一 2/_0 (4)%B=0n/ (宁)</ (匕)nC】在点M处的切线斜率222 二厂(宁)g在点N处的切线斜率二0 (冲)nG在点M处的切线与C：在点N处的 切 线不平行.点评：对数、指数平均不等式及其引伸的母题结论具有广泛的应用，尤其在解决 双切线问题中，具有十分有力的深刻应用；掌握对数、指数平均不等式及其引伸的 母题结论的证明是十分必要的4. 子题系列：1. (2016年安徽蚌埠二模试题)设函数f (x)=x2+3x+3-aes(a为非零常数).(I)

10、 求g(x) = Z!22的单调区间；e(II) 若存在b,ceR,且bHc,使f(b)二f(c),试判断ar (学)的符号.2. (2014年江苏南通二模试题)设函数f(x)=es-ax+a(a£R),M图像与x轴交于A(xx, 0), Bg, 0)两点，且 XiHx2.求a的取值范围；(II)证明丁(陌)<0(f(X)为函数f(x)的导函数).3. (2013年湖南高考试题)己知函数f(x)二1 + A*求f(x)的单调区间；(II)证明:当 f(Xl)=f(x2) (xiHxJ 时,Xl+X2vO.4. (2014年广东韶矢二模试题)已知函数f(x)=ln(x+l)-ax

11、,其中，aER且aHO.a(I) 讨论巩£的单调性；(II) 若不等式f (x) <ax恒成立，求实数a的取值范围；(III) 若方程f(X)=O存在两个异号实根xi , X2,求证：Xl+X2>05. (2011年湖南高考试题)设函数f (x)二x丄-alnx(aWR), (I )讨论f(x)的单调性；(II)若f (x)有两个极值点X!和X2,记过点A (xi? f (xi), B (X2, f (X2),的直线的斜率 为 k,问：是否存在*使得k二2a若存在，求出a的值;若不存在,请说明理由.6. (2015年广东广州二模试题)已知函数f(x)=alnx-±

12、;zl,g(x)=es(其中e为自然对A+1 数的底数).(I )若函数f(X)在区间(0, 1)内是增函数,求实数a的取值范围；(II)当b0时，函数g(x)的图象C上有两点P(b, £), Q(b,八)，过点P, Q作图象C的 切线分别记为li, 1：,设11与12的交点为M(xo,yo),证明:Xo>O.5. 子题详解：1 解：(I)由 g (x) = 一 = (x: +3x+3) ex-a => 0 (x) =-x (x+1) e,s => g(x)lS( - 00, 1)和 e(0,+8)上递减，在(-1,0) 土递增；(II)令 P(b,f(b),Q(c

13、,f(c),贝 IJ履二 0© 当a>0,即 a<0时订(学)kp尸On a/,(学)0;当a0,即a>0时，厂(字)履二Ona.厂(学)>0综上，&广(字)0. 222.解：(I )由/(X)二ea;当aWO时>/(x)>Oof(x)ft( 汽+切上单调递增二f (x)至多有一个零点，不合题意;当">0时,f (x)在(汽Ina)上单调递减，在(Ina,+oo)上单调递增，由 f(x)有两个零点 o fain (x)二f (Ina) =2a-alna<0 o a>e2=> lna>2:又 f (1)

14、 =e>0, f (a1 Ina) =eo1 lns-lna+a>a na+l- (a-1) +a=a-Ilna+2>0» f (x)有两个零点Xi, X2,且1<X!<x2.故a的取值范围是(e； +°°)；(I)由厂(宁)vkpQ二O,且/(x)二在(oo,+oo)上单调递增；又由lvxKxg 辰斗 * (辰“广佇)<0.3解：(I)由f(x)二二e J / (x)二竺二轻enf(x)在(汽。)上单调递增，在1 +f(1 +xA)(0,+8)上单调递减;(II)不妨设 XxVX2,由(I)知 Xiv0,X2>0；由f

15、(xi)二 f (xz)=> i一e 舟二>0n 0<x： <1, In (1-Xi) -In(l+xf) +xi=ln(l-i+x)+工2x=)-ln(Rxf)+X2O (xi+X2)吨“严严卫二 i;Xf-A；ln(l + xf )-ln( +卅) Af-x?十二,Lh宀七卜心)Zn (Xi+xjxf + x;+ 2 (1 一比)(1 . Y 2)22(打+. 丫 2)：KO2(勺 +X2)=>(X1+X2) CJL +*v()“/ 口nxx<0, 0<X2<l 二Xx+xX2二>02-(X)+X2)+ 一 <In (Xi+xj+

16、2(舟十.Y 2)斤+巨+xf + x;+ 2(Xl+X2)2+!l<o ;.vf2 (Xi +二 + ! >0 n xi+X2vO.vf + 疋 +2 2-(x) +X2)4解：(I )由f(x)的定义域为(丄，+8),广(x)二吕;当av0时，厂(x)>O=>f(x)aar+l在(丄 +8)上单调递增;当a>0时，在区间(丄0) ±, r (x) >0,在区间(0,+8) a a上，f (x) <0n f (X)在(丄，0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减；a(II)由 f (x) vaxo 2axln (x+丄)>0,令 x

17、二 e丄得：2a(e-_L)-l>0= 2ea-3>0n a>0;令 a g(x) =2ax-ln(x+l),贝'(x)二a芒(x+ | )o g(x)在(丄±)上单调递减，在(亠，+ 8)上单调递增fl.v+12aa la 2a n 弘 Hx)二 g;睦)二 J-ln(2a);由 師也(x) >0=> a>> a的取值范韦1是(冷5 +°°)；<xi<0<X2,由(III)由(I)知 a>0但.+ f (xi)二f (xj 二 On ln(xi+ . L)- axi 二 ln(x: + 丄

18、)一ax：二On xi+ L二 e 灯，x： + 丄二 e U巴二x:xi=eaaaa叭飞吧 => =二丄；又Xi+X2+三二e网+e吒，根据指数平均不等式，有吒一与a a、c eaXi 严* ? . ? x ?二e "+e% >2 -二二二Xi+X2+ 二二n Xi+x： >0.5 解：(I) f (x)的定义域为(0, +。), r (X) = -L (x2-ax+l);当 aW2 时，/ (x)0 n f(x)在(0,+oo)上单调递增；当a>2时，由t(X)二On X产逹HI, X2二吨HI n f(x)在(0, Xx)秋心,+)上单调递增，在(xi,X：)上单调递减；(II)由(I )知,av2,且 Xix2=l；由 2 座竺二 1+丄；若存在 a使得 k=2a, XI-x2 XIX2 XI -x2 贝 g lnx】 lnx2 二卩 lnXL ln.Y2 二X-.qX卜 q辰；但由加细基本不等式知；町竺禹石故不存在a,使得k二2割xl6.解：(I )由函数f(x)在区间(0,1)内是增函数o当xe(0,l)时(x)二一亠MX(X+ 1)0o 当 XG(0, 1)时,aM；x+1+2xoai.故实数a的