Matlab数值代数

1、数学软件 Matlab 数值代数简介nSome numerical softwaren线性方程组求解模块线性方程组求解模块n特征值求解模块特征值求解模块n矩阵市场：矩阵市场：nJames Demmel数值代数常用网站数值代数常用网站3特殊矩阵特殊矩阵l Matlab 提供了一些函数，用于生成一些常见的特殊矩阵例：A=magic(3)B=ones(4)l 特殊矩阵的生成A=magic(5)a1=diag(A)a2=diag(A,1)a3=diag(A,-2)a=1,2,3,4A1=diag(a)A2=diag(a,1)A3=diag(a,-2)注意 diag 的用法4常见矩阵生成函数常见矩阵生成

2、函数zeros(m,n)zeros(n)生成一个生成一个 m 行行 n 列的零矩阵列的零矩阵m=n 时可简写为时可简写为 zeros(n)ones(m,n)ones(n)生成一个生成一个 m 行行 n 列的元素全为列的元素全为 1 的矩阵的矩阵 m=n 时可简写为时可简写为 ones(n)eye(m,n)eye(n)生成一个主对角线全为生成一个主对角线全为 1 的的 m 行行 n 列矩阵列矩阵m=n 时可简写为时可简写为 eye(n)，即为即为 n 维单位矩阵维单位矩阵diag(X)diag(X,k)若若 X 是矩阵，则是矩阵，则 diag(X) 为为 X 的主对角线向量的主对角线向量若若 X

3、 是向量，是向量，diag(X) 产生以产生以 X 为主对角线的对角矩阵为主对角线的对角矩阵tril(A)提取一个矩阵的下三角部分提取一个矩阵的下三角部分triu(A)提取一个矩阵的上三角部分提取一个矩阵的上三角部分rand(m,n)rand(n)产生产生 01 间均匀分布的随机矩阵间均匀分布的随机矩阵 m=n 时简写为时简写为 rand(n)randn(m,n)randn(n)产生均值为产生均值为0，方差为，方差为1的标准正态分布随机矩阵的标准正态分布随机矩阵m=n 时简写为时简写为 randn(n)其它特殊矩阵生成函数：其它特殊矩阵生成函数：magic、hilb、pascal 等等 toe

4、plitz，hankelnT = toeplitz(r):Hermitian Toeplitz matrix formed from vector r.nT = toeplitz(c,r):Toeplitz matrix T having c as its first column and r as its first row.(注意注意c和和r维数一样，且第一个元素相同（不同的话，以列为主）维数一样，且第一个元素相同（不同的话，以列为主）)类似地：类似地：H = hankel(c)；H = hankel(c,r)n例如：例如：c = 1 2 3 4 5;r = 1.5 2.5 3.5 4.5

5、 5.5;toeplitz(c,r)H = hankel(c)6翻转与旋转翻转与旋转l 矩阵的翻转与旋转例：注意矩阵旋转与转置的区别！fliplr(A)左右翻转左右翻转flipud(A)上下翻转上下翻转rot90(A)rot90(A,k)逆时针旋转逆时针旋转 90 度度逆时针旋转逆时针旋转 k90 度度A = 1 2 3;4 5 6B = fliplr(A)C = flipud(A)D = rot90(A)E = rot90(A,-1)7查看矩阵的大小查看矩阵的大小l 查看矩阵的大小：size、lengthsize(A)返回矩阵返回矩阵 A 的行数和列数的行数和列数size(A,1)返回矩阵返

6、回矩阵 A 的行数的行数size(A,2)返回矩阵返回矩阵 A 的列数的列数length(x)length(X)若若 x 是向量，则返回是向量，则返回 x 的长度的长度若若 X 是矩阵，则返回行数和列数中大的一个是矩阵，则返回行数和列数中大的一个numel(A)返回返回 A 的元素的个数的元素的个数A=1,2,3; 4,5,6size(A)size(A,1)size(A,2)length(A), numel(A)x=1:5; length(x)例：8改变矩阵的形状改变矩阵的形状l 改变矩阵的形状：reshape(A,m,n)将矩阵元素按 列方向 进行重新排列成一个 mn 的新矩阵新矩阵的元素个

7、数必须与原矩阵元素个数相等！A=1,2,3; 4,5,6; 7,8,9; 10,11,12B=reshape(A,4,3)例：C=reshape(A,2,6)C=reshape(A,5,2)9矩阵的超越函数矩阵的超越函数l Matlab 提供的矩阵函数：expm、sqrtm、logm详情参见联机帮助（help expm / sqrtm / logm ）l 更一般的矩阵函数： funmfunm(A, fun)fun 可以是 exp, log，cos，sin，. . eA =1+A+A2/2!+.+An/n!+.l 矩阵函数l 将矩阵作为一个整体参与运算怎样计算 eA ?lu分解分解L,U,P =

8、 lu(A)即即LU=PA L单位下三角矩阵，单位下三角矩阵，U为上三角矩阵，为上三角矩阵，P为置换矩阵为置换矩阵L,U = lu(A)：L is either a unit lower triangular matrix, or else the product of a unit lower triangular matrix with P类似命令类似命令chol分解分解 Cholesky factorizationqr分解分解 Orthogonal-triangular decomposition矩阵矩阵LU分解分解特征值分解特征值分解neig命令命令E = eig(A)V,E = ei

9、g(A): AV=EV where E：diagonal matrixeigs:求大规模矩阵的部分特征值即特征向量求大规模矩阵的部分特征值即特征向量类似命令类似命令svd，svds奇异值分解奇异值分解Sparse Matrices（稀疏矩阵）（稀疏矩阵）nspdiags Sparse matrix formed from diagonalsn例例 n=100; e = ones(n,1); A = spdiags(e -2*e e, -1:1, n, n)nspy Visualize sparsity patternnnnz Number of nonzero matrix elementsn

10、矩阵市场的矩阵的读取矩阵市场的矩阵的读取 A=mmread( *.mtx)pcg 预处理共轭梯度法求解预处理共轭梯度法求解Ax=bSyntax x = pcg(A,b) pcg(A,b,tol) pcg(A,b,tol,maxit) pcg(A,b,tol,maxit,M) pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2) pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) x,flag = pcg(A,b,.) x,flag,relres = pcg(A,b,.) x,flag,relres,iter = pcg(A,b,.) x,flag,relres,iter,resvec = pc

11、g(A,b,.)See Also ：bicg, bicgstab, cgs, cholinc, gmres, lsqr, minres, qmr, symml工具箱安装工具箱安装Tensor Toolbox下载网下载网n安装安装（1）把下载的）把下载的Tensor toolbox放在工具箱文件夹下即放在工具箱文件夹下即C:Program FilesMATLABR2008a toolbox下。下。（2）运行）运行matlab7-file-set path-add folder，在，在matlab的菜单的菜单file下面的下面的set path把它把它（C:Program FilesMATLABR

12、2008atoolboxtensor toolbox）加上；）加上；（3）把路径加进去后在）把路径加进去后在filePreferencesGeneral的的Toolbox Path Caching里点击里点击update Toolbox Path Cache更新更新一下。一下。n数值线性代数是数值分析的子领域。研究范围 矩阵论基础，包括矩阵的三角相似与对角相似，矩阵的奇异值分解，矩阵的广义逆及其应用等。n线性方程组的迭代解法，包括古典迭代方法，基于变分原理的迭代方法，迭代校正加速方法等。n带状线性方程组的直接解法，包括三对角方程组，周期三对角方程组，块三对角方程组，周期块三对角方程组，Hese

13、nherg方程组的求解等。数值代数简介数值代数简介特殊方程组的递推解法，包括Hankel, Toplitz, Vandermond方程组的求解等。矩阵特征值问题的解法，包括幂法，Krylov方法，Lanczos方法等。线性矩阵方程的迭代解法，包括计算逆矩阵的迭代方法，Lyapunov矩阵方程的迭代解法，线性矩阵方程的迭代校正解法等。7误差分析。包括模型误差，观测误差，绝对误差，相对误差以及如何减小误差等。上机练习上机练习1. 用用Matlab生成生成8阶特殊矩阵阶特殊矩阵并用元素来表示出矩阵并用元素来表示出矩阵magic、hilb、pascal、invhilb、hadamard2.下载矩阵市场的下载矩阵市场的top10稀疏矩阵稀疏矩阵E40R5000， 求前求前6个最大特征值及对应的特征向量。个最大特征值及对应的特征向量。. 1Ax,101212101210阶矩阵1000生成 3.并用求解分解，并求LUxLUA上机练习上机练习4.生成一个矩阵函数生成一个矩阵函数 sinm(A).5.安装安装Tensor toolbox,并把并把A=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12生成生成322 的的Tensor.6. Matlab help如下命令并用中文说明