半角模型专题专练

1、.半角模型例题已知，正方形 ABCD中， EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F，且 EAF45°结论 1：BE DFEF结论 2：SABE S ADFS AEF结论 3：AH AD结论 4： CEF的周长 2 倍的正方形边长 2AB结论 5：当 BEDF时， CEF的面积最小222结论 6：BMDNMN结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论 8：EA、 FA是 CEF的外角平分线结论 9：四点共圆结论 10：ANE和 AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论 11： MN2 EF（可由相似得到）2结论 12： S AEF2S AMN（可由相似的性质得到）结

2、论 5 的证明：设正方形 ABCD的边长为 1则 S AEF1S1S2 S311 x 1y1 (1 x)(1 y)222 1 1 xy22所以当 xy 时， AEF的面积最小结论 6 的证明：将 ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合DN BN易证 AMN AMNMN MN在 RtBMN中，由勾股定理可得：222BMBN MN222即 BMDNMN结论 7 的所有相似三角形：. AMN DFN AMN BME AMN BAN AMN DMA AMN AFE 结论 8 的证明：因为 AMN AFE 3 2因为 AMN BAN 3 4 2 4因为 ABCD 1 4 1 2结论 9

3、的证明：因为 EAN EBN 45°A、B、E、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证 C、E、N、F 四点共圆A、M、 F、 D 四点共圆C、E、 M、 F 四点共圆* 必会结论 - 图形研究正方形半角模型已知：正方形 ABCD ， E 、 F 分别在边 BC 、 CD 上，且 EAF 45 ，AE、AF分别交 BD于H 、G，连 EF.一、全等关系（1）求证： DF222BEF ， AF 平分 DFE .BE EF ； DG BH HG； AE 平分二、相似关系（2）求证： CE2DG ； CF2BH ； EF2HG .（3）求证： AB2BG DH ； AG2BG H

4、G ； BEDF1 .CECF2三、垂直关系（4）求证： AGEG ； AHFH ； tan HCFAB .（5) 、和差关系BE求证： BGDG2BE； ADDF2DH ；|BE DF|2|BHDG |.例 1、在正方形 ABCD中，已知 MAN 45°，若 M、N 分别在边CB、 DC的延长线上移动， . 试探究线段 MN、BM 、 DN之间的数量关系 . 求证： AB=AH.例 2、在四边形 ABCD中， B+ D 180°，AB=AD，若 E、F 分别在边 BC、 CD上，且满足 EF=BE +DF.求证： EAF 1 BAD2例 3、在 ABC中， AB=AC，

5、BAC=2 DAE=120°，若 BD=5，CE=8，求 DE的长。例 4、请阅读下列材料：已知：如图 1 在 Rt ABC 中， BAC90 ，ABAC ，点 D 、E 分别为线段 BC 上两动点，若 DAE 45 探究线段 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间的数量关系小明的思路是：把AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 ，得到ABE ，连结 E D ，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时，如图2，其它

6、条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.AACDCBDEBE图 1图2例 5、探究：（1）如图 1，在正方形 ABCD中， E、F 分别是 BC、CD上的点，且 EAF45°，试判断 BE、DF与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图 2，若把 (1) 问中的条件变为“在四边形 ABCD中，ABAD，B D180°， E、F 分别是边 BC、 CD上的点，且 EAF=1 BAD”，则（ 1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证2明，若不成立，请说明理由；（3）在（ 2）问中，若将 AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点分别 E、

7、F 运动到 BC、 CD延长线上时，如图 3 所示，其它条件不变， 则（1）问中的结论是否发生变化？若变化， 请给出结论并予以证明 .练习巩固 1：如图，在四边形 ABCD中， B D 90°， ABAD，若 E、 F 分别在边 BC、 CD 上的点，且 EAF 1 BAD .2求证： EF=BE +DF.练习巩固 2：如图，在五边形ABCDE中， ABBCCD DEEA，CAD 1 BAE，求 BAE的度数2练习巩固 3：已知：正方形 ABCD 中，MAN45o ，绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点 M、N（1）如图 1，当MAN 绕点 A 旋转到

8、 BMDN 时，有 BMDNMN 当MAN绕点 A 旋转到BMDN 时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当 MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM， DN 和 MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明ADADADNNBCBCMBCMMN练习巩固 4A(1) 如图，在四边形 ABCD中， AB AD， B D90°， E、F 分别是D边 BC、CD上的点，且 EAF1 BAD2F求证： EF BE FD ;CBE.(2) 如图在四边形 ABCD中， ABAD， B D180°， E、F 分

9、别是边 BC、CD上的点，且 EAF1 BAD，(1) 中的结论是否仍然成立？不2用证明(3) 如图，在四边形 ABCD中， ABAD， B ADC 180°， E、 F 分别是边 BC、CD延长线上的点，且 EAF 1BAD，(1) 中的结论是否仍2然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明（4）如图，将边长为 4cm的正方形纸片 ABCD沿 EF 折叠（点 E、F分别在边 AB、CD上），使点 B 落在 AD边上的点 M处，点 C落在点 N处，MN与 CD交于点 P，连接 EP（1）如图，若 M为 AD边的中点， AEM的周长cm；求证： EP AEDP；

10、（2）随着落点 M在 AD边上取遍所有的位置（点 M不与 A、D 重合），PDM的周长是否发生变化？请说明理由（5）. 如图 17，正方形 ABCD， E、 F 分别为 BC、 CD边上一点（1）若 EAF45o求证： EFBE DF（2）若 AEF绕 A 点旋转，保持 EAF 45o，问 CEF的周长是否随AEF位置的变化而变化？（3）已知正方形 ABCD的边长为 1，如果 CEF的周长为 2求 EAF 的度数.ADFBECFADBCEDFCEAB图 17.练习巩固 5、如图，已知在正方形 ABCD中， MAN45°，连接 BD与 AM， AN分别交于 E、F 两点。求证：（ 1）

11、 MNMBDN；（ 2）点 A 到 MN的距离等于正方形的边长；（ 3） VCMN的周长等于正方形 ABCD边长的 2 倍；SABCD2AB；（4） WSVCMNMN（ 5）若 MAB 20°，求 AMN；（ 6）若 MAB0 pp 45o ，求 AMN；（ 7） EF2EB2DF2 ；（ 8） VAEN与 VAFM是等腰三角形；（ 9） SVAEF1 。SVAMN2练习巩固 6、在等边 ABC 的两边 AB ， AC 所在直线上分别有两点 M ，N ，D 为 ABC 外一点，且MDN 60 ，BDC120 ， BDCD ，探究：当点 M ，N 分别爱直线 AB ，AC 上移动时，

12、BM ，BN ，MN 之间的数量关系及AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系NAAAMNNMBBCBCCMDDD图图图（1）如图，当点M ，N在边AB ，AC上，且DM DN时，MN之间的数量关系式 _；BM ，NC此时 Q_L（2）如图，当点 M ，N 在边 AB ，AC 上，且 DMDN 时，猜想 (1) 问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图，当点 M ，N 分别在边 AB ，CA 的延长线上时， 若 ANx ，则 Q _(用 x ，L 表示 ).练习巩固 7、如图所示， ABC是边长为 1 的等边三角形， BDC是顶角为 120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60°的 MDN，点 M， N 分别在 AB， AC上，求 AMN的周长练习巩固 8、如图，在正方形ABCD中， BE=3， EF5，DF4，求 BAE DCF为多少度。巩固练习 9、如图 1，RtABCRtEDF， ACB F90°， A E30°。 EDF 绕着边 AB的中点 D旋转， DE， DF分别交线段 AC于点 M， K(1) 如图 2、