压轴题专题练习———放缩法精品资料

1、教师訚威学生严斯文上课时间学科数学年级高三教材版本课题压轴题专题练习放缩法重难点数列与函数的放缩法的训练证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力， 因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩n2的值 ;(2)求证 : n15 .例 1.(1)求k 14k 21k1 k 23教学过程奇巧积累 :(1)144211(2)1211n224n2C n11 Cn2(n1

2、)n(n 1)n(n 1)n(n 1)4n12n 12n 1(3) Tr 1Cnr1n!11111 ( r2)nrr! ( n r )! n rr !r ( r 1)r 1r(4) (11 )n1 11115n2132n(n1)2(5)111(6)1n2n2 n ( 2n1) 2 n1 2 nn 2(7) 2(n1n )12(nn1)(8)21111n2n 1 2 n 3 2 n(2n 1) 2 n 1(2n 3) 2n(9)1k )1k11,1k )11n1kk (n1n 1kn1n(n 1k 1n1(10)n11(11)1222(n 1) !n ! (n 1) !2( 2n 12n 1)n

3、2n12n111nn22(11)2n2n2n2 n 111(n2)( 2n1)2(2 n1)( 2n1)(2n1)(2n2)(2 n1)(2n 11)2n 11 2n1(12)111111n3nn2n(n1)(n1)n(n1)n (n1)n1n111n1n111n1n12nn1n 1(13)2 n12 2n(31) 2 n33(2 n1)2n2n12n12 n32 n1 3(14)k211(15)1nn1(n2)k!(k1)!( k2)!(k1) !(k2) !n( n1)(15)i 21j 21i2j 2ij1ij( ij )( i21j 21)i 21j 21例 2.(1)求证 :1111

4、71( n2)3 25 2(2n1)262(2n1)(2)求证 : 111111(3)求证: 113 1351 35( 2n 1)2n 1 1416364n 22 4n224 24624 62n(4) 求证： 2( n11)1112 (2n 11)13n2例 3.求证 :6n1115( n 1)( 2n 1)19n234例 4.(2008 年全国一卷 )设函数 f (x)x x ln x .数列an满足 0 a1.af (a ) .1n 1n设b (a1，1)，整数ka1b .证明 : ab .k 1a1 ln b例 5.已知 n, mN , x1,Sm1m 2m 3mnm ,求证 : nm

5、1 (m 1)Sn (n 1) m 1 1.例 6.已知 an4n2n ,Tn2n,求证:T T TTn3 .an1232a1 a2例 7.已知 x1 1,n(n 2k1,kZ) ,求证 :111xn2k ,kZ)4 x2 x34 x4 x52( n 1 1)( n N *)n 1(n4 x2n x2n 1二、函数放缩例 8.求证：ln 2ln 3ln 4ln 3nn5n 6*) .234n3(nN36例 9.求证 :(1)2, ln 2ln 3ln n2n2n 1 (n 2)23n2(n1)例 10.求证 : 111ln( n 1) 11123n 12n例 11.求证 : (1 1 )(11

6、 )(1 1 ) e 和(11)(11)(11)e.2!3!n!9813 2n例 12.求证 : (112) (123)1n(n1)e2n 3例 13.证明 : ln 2ln 3ln 4ln nn(n 1)345n 1(n N*, n 1)4例 14. 已知1,an 1 (111 证明 an e2 .a1n2n)an2n .例 15.(2008 年福州市质检)已知函数f ( x)xln x. 若 a0, b0,证明 : f (a)( ab) ln 2f (ab)f (b).例 16.(2008 年厦门市质检) 已知函数f ( x) 是在 ( 0, ) 上处处可导的函数 ,若 x f '

7、 ( x) f ( x) 在 x 0 上恒成立 .(I) 求证：函数(III) 已知不等式g( x)f ( x) 在 (0,) 上是增函数；(II) 当 x10, x2 0时,证明 : f (x1 ) f (x2 )f ( x1 x2 ) ；xln(1x) x在x1且x 0 时恒成立，求证： 12 ln 2212 ln 3212 ln 4212 ln( n 1) 2n(n N * ).234(n 1)2(n 1)(n2)三、分式放缩姐妹不等式 : bbm (ba0, m0) 和 bbm (ab0, m0)aamaam记忆口诀 ”小者小 ,大者大 ”解释 :看 b,若 b 小 ,则不等号是小于号,反之 .例 19.姐妹不等式 :(11)(111)1)2n1 和1)(11111也可以表示成为)(15