同济大学第六版高等数学上册课后答案全集

1、学习资料收集于网络，仅供参考高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题111 设A(5)(5)B 103) 写出AB A B AB及A(AB)的表达式解 AB(3)(5)AB 105)A B (10)(5)A(A B) 105)2设 A、 B 是任意两个集合证明对偶律(AB)C ACBC证明 因为x (AB)Cx ABx A 或 x Bx AC 或 x BCx ACBC所以(AB)C ACBC3设映射 fXY AX B X证明(1) f(A B) f(A) f(B)(2) f(A B) f(A) f(B)证明 因为y f(AB)x AB 使 f(x) y(因为 xA 或 x B) y f(A)或

2、 y f(B)y f(A)f(B)所以f(A B)f(A)f(B)(2)因为yf(A B)x A B 使 f(x) y (因为 xA 且 x B) y f(A)且 yf(B)yf(A)f(B)所以f(A B)f(A)f(B)4设映射 fXY 若存在一个映射 g YX使 g f I Xf gIY其中 IX、IY 分别是 X、Y 上的恒等映射即对于每一个 x X有 I X x x对于每一个 y Y 有IY yy证明 f 是双射且 g 是 f 的逆映射 g f1证明 因为对于任意的 y Y 有 x g(y) X且 f(x) fg(y)Iy y y即 Y 中任意元学习资料学习资料收集于网络，仅供参考素

3、都是 X 中某元素的像所以 f 为 X 到 Y 的满射又因为对于任意的 x1x2 必有 f(x1)f(x2) 否则若 f(x1) f(x2)g f(x1) gf(x2)x1x2因此 f 既是单射又是满射即 f 是双射对于映射 gYX因为对每个 y Y有 g(y) x X且满足 f(x) fg(y) Iy y y按逆映射的定义g 是 f 的逆映射5设映射 fXY AX 证明(1)f 1(f(A)A1(f(A) A(2)当 f 是单射时有 ff 1(y) xf 1(f(A)证明(1)因为 xAf(x) yf(A)所以f1(f(A)A(2)由(1)知 f1(f(A)A1(f(A)使 f 1(y) x

4、另一方面 对于任意的 x f存在 yf(A)f(x) y 因为y f(A)且 f 是单射所以 xA 这就证明了 f 1(f(A) A因此 f 1(f(A) A6 求下列函数的自然定义域(1) y 3x 2解 由 3x20 得 x2函数的定义域为 2 ,)33(2) y1x21解 由 1x20 得 x1函数的定义域为 (1)(11) (1)(3) y 11x2x2解 由 x0 得函数的定义域 D 1 0)(010 且 1 x(4) y14 x2解 由 4 x2 0 得 |x| 2 函数的定义域为 ( 2 2)(5) y sin x解 由 x 0 得函数的定义 D 0)(6) y tan(x 1)

5、解 由 x 1 2 (k 0 1 2)得函数的定义域为 x k2 1 (k 0 1 2学习资料学习资料收集于网络，仅供参考)(7) y arcsin(x 3)解 由 |x 3| 1 得函数的定义域 D 2 4(8) y 3 x arctan1 x解 由 3 x0且 x 0 得函数的定义域 D (0) (0 3)(9) y ln(x1)解 由 x 10得函数的定义域 D ( 1)1(10) y ex解 由 x 0 得函数的定义域D (0)(0)7 下列各题中 函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？(1)f(x) lg x2 g(x) 2lg x(2)f(x)x g(x)x2(3)f (x)

6、3 x4x3g( x)x3 x 1(4)f(x) 1 g(x) sec2x tan2x解 (1)不同因为定义域不同(2)不同 因为对应法则不同x0 时 g(x)x(3)相同 因为定义域、对应法则均相相同(4)不同 因为定义域不同8|sin x| | x|3求 ( )()()( 2)并作出函数 y (x)设 ( x)0|x|3644的图形解() |sin|1( )|sin|2()|sin()|2(2) 06624424429 试证下列函数在指定区间内的单调性(1) y1x(1)x(2)yxln x (0)证明(1)对于任意的 x1 x2 (1) 有 1 x1 0 1 x2 0因为当 x1 x2

7、时学习资料学习资料收集于网络，仅供参考x1x2x1 x2y1 y2 1 x1 x(1 x )(1x )01212所以函数 yx在区间 (1)内是单调增加的1x(2)对于任意的 x1 x2 (0)当 x1 x2时 有y y2(x ln x ) ( x ln x ) ( x x ) ln x1 01112212x2所以函数 yx ln x 在区间 (0)内是单调增加的10 设 f(x)为定义在 ( ll)内的奇函数若 f(x)在(0 l)内单调增加证明 f(x)在( l 0)内也单调增加证明 对于 x1 x2( l 0)且 x1 x2有 x1 x2(0 l)且 x1x2因为 f(x)在(0 l)内

8、单调增加且为奇函数所以f(x2) f( x1)f(x2)f(x1) f(x2) f(x1)这就证明了对于x1 x2 ( l0)有 f(x1) f(x2) 所以 f(x)在(l0)内也单调增加11 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间( l l)上的证明(1)两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明 (1)设 F(x) f(x)g(x)如果 f(x)和 g(x)都是偶函数则F(x)f( x)g(x)f(x) g(x)F(x)所以 F(x)为偶函数 即两个偶函数的和是偶函数如果 f(x)和 g(x)都是奇函数

9、 则F( x) f( x) g( x)f(x) g(x)F(x)所以 F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数(2)设 F(x) f(x) g(x)如果 f(x)和 g(x)都是偶函数则F( x) f( x) g( x) f(x) g(x) F(x)所以 F(x)为偶函数 即两个偶函数的积是偶函数如果 f(x)和 g(x)都是奇函数 则F( x) f( x) g( x) f(x)g(x) f(x) g(x) F(x)所以 F(x)为偶函数 即两个奇函数的积是偶函数如果 f(x)是偶函数 而 g(x)是奇函数 则F( x) f( x) g( x) f(x) g(x)f(x) g(x)F(x)学习

10、资料学习资料收集于网络，仅供参考所以 F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数12下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y x2(1 x2)(2)y 3x2 x3(3) y 1 x2 1 x2(4)y x(x 1)(x 1)(5)y sin x cos x 1(6) y a x a x 2解 (1)因为 f( x) ( x)21 ( x)2 x2(1 x2) f(x) 所以 f(x)是偶函数(2)由 f( x) 3( x)2 ( x)3 3x2 x3 可见 f(x)既非奇函数又非偶函数(3)因为 f (x)1( x)21x2f (x)所以 f(x)是偶函数1x 21x2(4)因为 f( x) ( x)( x 1)(x 1)x(x 1)(x 1) f(x)所以 f(x)是奇函数(5)由 f( x)sin( x) cos( x) 1sin x cos x 1 可见 f(x)既非奇函数又非偶函数(6)因为 f (x) a( x) a( x)a xaxf (x) 所以 f(x)是偶函数2213下