同角三角函数的基本关系式知识讲解

1、精品文档同角三角函数基本关系【学习目标】1. 借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式:sin 2cos21, sintan，掌握已知一个cos角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系： sin 2cos21(2)商数关系： sintancos(3)倒数关系： tancot1， sin csc1 ， cos sec 1要点诠释：(1) 这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角 ( 使得函数有意义的前提下 ) 关系式都成立；(2) sin 2是 (s

2、in) 2 的简写；(3) 在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。要点二：同角三角函数基本关系式的变形1平方关系式的变形：sin 21 cos2，cos21sin 2， 1 2sincos(sincos )22商数关系式的变形sincos tan ，cossin。tan【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例 1已知 tan= 2，求 sin， cos的值。【思路点拨】先利用 "tansin2" , 求出 sin=2cos，然后结合22sin+cos =1，求cos出 sin ， cos 。【解析】解法一： tan=

3、2， sin = 2cos。又 sin 2+cos2=1，由消去 sin得 ( 2cos) 2+cos 2=1，即 cos21。5当 为第二象限角时，cos525，代入得 sin。55。精品文档当为第四象限角时，cos525，代入得 sin。55解法二： tan= 2 0，为第二或第四象限角。又由 tansin，平方得 tan2sin 2。coscos22sin21，即21。tan1cos21cos2cos1tan2当为第二象限角时，cos112112)25 。tan(5sintancos( 2)525 。55当为第四象限角时，cos1115 。1 tan2( 2)25sintancos( 2

4、)525。55【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a 给出，应就所在象限讨论。举一反三：【变式 1】已知 A 是 ABC 的一个内角，且tan A5，求 sin A,cos A.4【思路点拨】根据tan A 0可得 A 的范围：2A再结合同角三角函数的关系式求解.5【解析】tan A0,A 为钝角，sin A0, cos A0.4由 tan Asin A , 平方整理得 cos2 A11,cos A14 41,cos

5、 Atan2 A1 tan2 A41sin Atan Acos A541.41例 2已知 cos=m（ 1 m1），求 sin的值。【解析】（ 1）当 m=0时，角的终边在 y 轴上，当角的终边在 y 轴的正半轴上时，sin=1；当角的终边在 y 轴的负半轴上时， sin= 1。（ 2）当 m=± 1 时，角的终边在 x 轴上，此时， sin=0。（ 3）当 |m| 1 且 m 0 时， sin222=1 cos =1 m，当角为第一象限角或第二象限角时， sin1 m2 ，。精品文档当角为第三象限角或第四象限角时，sin1 m2 。【总结升华】 当角的范围不确定时，要对角的范围进行

6、讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。类型二：利用同角关系求值例 3已知： tancot2, 求：（ 1） sincos的值；（ 2） sincos的值；（ 3） sincos的值；（4） sin及 cos的值【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。【答案】（1） 1 （ 2）2 （ 3）0（4）2,2 或2 ,222222【解析】（1）由已知 sincos2cossinsin 2cos22sincossin cos12（ 2）sincos22sincos1121sincos2（ 3）sincos22sincos1101s

7、incos0sin2sin2（ 4）由 sincos2 ，解得22或sincos0cos2cos222【总结升华】 本题给出了 sincos,sincos及 sincos 三者之间的关系， 三者知一求二， 在求解的过程中关键是利用了sin2cos21这个隐含条件。举一反三：【变式 1】已知 sincos1，求下列各式的值：2（ 1） tan21；（ 2） sin3+cos3。tan2【解析】因为 sincos1，2121 ，所以 (sincos ) 222。精品文档所以 sincos1。422（ 1） tan21tan12sin 2cos22tan2tansincos221214sin2cos

8、2116（ 2） sin 3cos3(sincos )(sin 2sincoscos2)11152 。248【总结升华】对于已知sin± cos=m 型的问题，常有两种解法：一是两边平方，得±2，cos的值，从而使问题得以解决；二是对所求式子2sin cos =m1，联立以上两个式子解出 sin进行变形，化为sin± cos，sin· cos的形式代入求解，解题时注意正、负号的讨论与确定。例 4已知 tan=3，求下列各式的值。（ 1） 4sincos；（ 2） sin 22sincoscos2；（ 3） 3 sin21 cos2。3sin5cos4co

9、s 23sin 242【思路点拨】由已知可以求出sin,cos，进而代入得解，但过程繁琐。在关于sin,cos“齐次”式中可以使用“弦化切” ，转化成关于tan的式子，然后利用已知求解 .【解析】（ 1）原式的分子分母同除以cos（ cos 0）得，原式4 tan143111 。3tan533514（ 2）原式的分子分母同除以cos 2（ cos2 0）得，原式tan22 tan192312。4 3tan 2433223（ 3）用“ 1”来代换，3 sin21 cos23 tan2139129 。原式4242412sin2cos2tan21940【总结升华】已知 tan的值，求关于sin、 c

10、os的齐次式的值问题如（1）、（ 2）题，cos 0，所以可用cos n（ n N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan =m的值，从而完成被求式的求值；在（3）题中，求形如 a sin2+b sincos+c cos2的值，注意将分母的 1 化为 1=sin 2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。举一反三：【变式1】（ 1）已知 tan=3，求 sin 2 3sincos+1 的值；（ 2）已知 4sin2cos6 ，求 cos4sin 4的值。5cos3sin11【解析】（ 1） tan=3， 1=sin 2+cos2，原式sin23sincos(sin

11、 2cos2)2sin 23sincoscos22 tan23tan11 。sin 2cos21tan 2。精品文档（ 2）由 4sin2cos6 ，得 4 tan26 ，解得： tan25cos3sin115 3tan11 cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin 2 )cos2sin2cos2sin 21tan2143 。cos2sin 21tan2145类型三：利用同角关系化简三角函数式例 5化简： 1cos4sin 4。1cos6sin 6【解析】解法一：原式(cos2sin 2)cos4sin 4(cos2sin2)3cos6sin62cos 2sin223cos 2si

12、n 2(cos2sin2)。3解法二：原式1(cos4sin4)1(cos6sin6)1(cos 2sin 2)2cos 2sin21(cos2sin2)(cos 4cos2sin2sin 4)1 12cos 2sin 22cos 2sin 22。1(cos2sin 2) 23cos 2sin23cos2sin23解法三：原式(1 cos2)(1 cos2)sin 4(1cos2)(1cos2cos4)sin 6sin 2(1cos2sin 2)sin 2 (1cos2cos4sin 4)2cos 21cos2(cos 2sin 2)(cos 2sin 2)2cos 22cos 22。1cos

13、2cos2sin23cos 23【总结升华】以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式sin 2+cos2=1，解法二和解法三都是顺用公式，而解法一则是逆用公式，三种解法中，解法一最为简单。这里，所谓逆用公式sin 2+cos2=1，实质上就是“ 1”的一种三角代换： “ 1=sin2+cos2”，1 的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。举一反三：【变式 1】化简。精品文档（ 1） 1 2sincos,2k,2 k k Z ；sincos2（ 2） 1 sin 22 1cos2 2 ；（ 3）cos1cos2；1sin 2sin（4） 1sin1sin1sin1sin【答

14、案】（1） 1（2） cos2sin 2 （ 3）略（ 4）略【解析】（1）原式 =(sincos) 2| sincos |1sincossincos（ 2）原式 =cos2 2sin2 2| cos2| sin 2|cos2sin 2cos| sin|0,(在第一象限或第三象限)（ 3）原式 =|2，（在第二象限）| cossin2，（ 在第四象限）1sin21sin2（ 4）原式 =1sin21sin2=1 sin1sin| cos| cos|2 tan (2 k22k2)， kz=32 tan(2 k2k2)2类型四：利用同角关系证明三角恒等式例 6求证： tansintansin。ta

15、nsintansin【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。【解析】证法一：右边(tansin)(tansin)tan 2sin 2tansin(tansin)(tansin) tansintan2tan2cos2tan2(1 cos2)(tansin) tansin(tansin) tansintan2sin 2tansin=左边。(tansin) tansintansin证法二：左边tansinsin，tantancos1cos右边tantancos1cos1 cos2sin 2sin，tansinsinsin(1cos)sin(1 cos)

16、1cos。精品文档所以左边 =右边，原等式成立。sinsinsin21 cos21 cos ，证法三：左边cossincossinsinsinsin(1 cos )sincossinsinsinsincos1 cos右边 cos，sinsinsin 2sincos所以左边 =右边，原等式成立。【总结升华】 本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般情况而言，证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便。但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形” 。

17、化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等。举一反三：【变式1】求证：1cos x1sin x .sin xcos x【解析】证法一：由题意知cosx 0 ，所以1sin x 0,1sin x 0 .左边 =cos x(1sin x)cos x(1sin x)1sin x右边 .sin x)(1 sin x)cos2 xcos x(1原式成立 .证法二：由题意知cosx0，所以 1sin x0,1sin x0.又 (1 sin x)(1sin x)1sin2 xcos2 xcos x cos x ，cos x1sin x .1sin xcos x证法三：由题意知cosx0，所以 1sin x0,1sin x0 .cos x1 sin xcosx cosx(1 sinx)(1sinx)cos2 x1 sin2 x，1 sin xcos x(1sinx)cosx0(1 s