南京市届高三数学三模试卷含答案

1、学习资料收集于网络，仅供参考南京市 2016 届高三数学三模试卷（含答案）南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试数学 2016.05注意事项：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题 第 14 题）、解答题（第 15 题 第 20 题）两部分 本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内 试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式样本数据 x1，x2， xn 的方差 s21ni 1n(xi x)2 ，其中 x 1ni 1nxi 一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，计 70 分.

2、不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知全集U 1，2，3，a ，集合 M 1，3 若∁UM 2 ， 5 ，则实数a 的值为 _2设复数z 满足 z(1 i) 2 4i ，其中 i 为虚数单位，学习资料学习资料收集于网络，仅供参考则复数的共轭复数为3甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5 轮比赛的成绩（单位：环）如下表：选手第 1轮第 2轮第 3轮第 4轮第 5轮甲乙则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是_4从 2 个白球， 2 个红球， 1 个黄球这 5 个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是_5执行如图所示的伪代码，输出的结果是6

3、已知 ， 是两个不同的平面，l ， m是两条不同直线， l ， m⊂ 给出下列命题： ⇒l m； ⇒l m；m ⇒l ； l ⇒m 其中正确的命题是 _( 填写所有正确命题的序号 ) 7设数列的前n 项和为 Sn，满足 Sn 2an 2，则 a8a6学习资料学习资料收集于网络，仅供参考8设 F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为 _9如图，已知A， B 分别是函数f(x) 3sin x( 0)在 y 轴右侧图象上的第一个最高点和第

4、一个最低点，且AOB 2，则该函数的周期是 _10已知 f(x)是定义在R 上的偶函数，当x0时， f(x) 2x 2，则不等式 f(x 1) 2 的解集是 _11如图，在梯形ABCD中， ABCD， AB 4，AD 3， CD 2，AM 2MD若 ACBM 3，则 ABAD_12在平面直角坐标系xOy 中，圆 M：(x a)2 (y a3)2 1(a 0) ，点 N 为圆 M上任意一点若以N 为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a 的最小值为 _13设函数f(x) x 1ex，xa， x 1， x a，g(x) f(x) b若存在实数 b，使得函数 g(x) 恰有 3 个零点，则

5、实数 a 的取值范围为 _14若实数 x，y 满足 2x2 xy y2 1，则 x 2y5x2 2xy 2y2 的最大值为 _二、解答题（本大题共6 小题，计 90 分. 解答应写出必要学习资料学习资料收集于网络，仅供参考的文字说明， 证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15 ( 本小题满分14 分 )在 ABC中，已知 a， b，c 分别为角 A，B，C 的对边若向量 m (a ，cosA) ，向量 n (cosC ，c) ，且 mn3bcosB（ 1）求 cosB 的值；（ 2）若 a， b，c 成等比数列，求1tanA 1tanC 的值16 ( 本小题满分14 分 )如图

6、，在直三棱柱ABCA1B1C1中， D 为棱 BC上一点（ 1）若 AB AC， D 为棱 BC的中点，求证：平面 ADC1平面 BCC1B1；（ 2）若 A1B平面 ADC1，求 BDDC的值17 ( 本小题满分14 分 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：x2a2 y2b2 1(a b 0) 的离心率为 22，点(2 ，1) 在椭圆 C上（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设直线 l 与圆 O：x2y2 2 相切，与椭圆 C 相交于P， Q两点若直线l 过椭圆 C 的右焦点F，求 OPQ的面积；求证： OPOQ学习资料学习资料收集于网络，仅供参考18 ( 本小题满分16 分 )

7、如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路， ADBC， ADC90°， AB 5 千米， BC 8 千米，CD 3 千米现甲、乙两管理员同时从地出发匀速前往 D 地，甲的路线是 AD，速度为 6 千米 / 小时，乙的路线是 ABCD，速度为 v 千米 / 小时（ 1）若甲、乙两管理员到达 D 的时间相差不超过 15 分钟，求乙的速度 v 的取值范围；（ 2）已知对讲机有效通话的最大距离是5 千米若乙先到达 D，且乙从 A 到 D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围19 ( 本小题满分16 分 )设函数 f(x) x3 mx2 m(m0)

8、 （ 1）当 m 1 时，求函数 f(x) 的单调减区间；（ 2）设 g(x) |f(x)| ，求函数 g(x) 在区间 0 ，m上的最大值；（ 3）若存在 t 0，使得函数 f(x) 图象上有且仅有两个不同的点，且函数 f(x) 的图象在这两点处的两条切线都经过点 (2 ，t) ，试求 m的取值范围20 ( 本小题满分16 分 )学习资料学习资料收集于网络，仅供参考已知数列的前n 项的和为 Sn，记 bnSn+1n（ 1）若是首项为 a，公差为 d 的等差数列，其中 a，d 均为正数当 3b1， 2b2， b3 成等差数列时，求ad 的值；求证：存在唯一的正整数n，使得 an+1bn an+

9、2（ 2）设数列是公比为q(q 2) 的等比数列，若存在 r ，t(r ，t N*， r t) 使得 btbr t 2r 2，求 q 的值南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试数学附加题2016.05注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40 分，考试时间30 分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21【选做题】在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4 1：几何证明选

10、讲如图，已知半圆 O的半径为 2，P 是直径 BC延长线上的一点， PA与半圆 O相切于点 A， H 是 OC的中点， AHBC学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（ 1）求证： AC是 PAH的平分线；（ 2）求 PC的长B选修 4 2：矩阵与变换已知曲线C： x2 2xy 2y2 1，矩阵 A 1210 所对应的变换 T 把曲线 C 变成曲线 C1，求曲线 C1 的方程C选修 4 4：坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合已知椭圆C 的参数方程为x 2cos ，y sin （ 为参数），点M的极坐标为 (1 ， 2) 若 P是椭圆 C 上任意一点，试

11、求PM的最大值，并求出此时点P 的直角坐标D选修 4 5：不等式选讲求函数 f(x)5x 8 2x 的最大值【必做题】 第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10 分）从 0，1，2，3，4 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记 X 为所组成的三位数各位数字之和（ 1）求 X 是奇数的概率；（ 2）求 X 的概率分布列及数学期望学习资料学习资料收集于网络，仅供参考23（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 P(x0 ， y0) 在曲线 y x2(x 0) 上已知 A(0 ，

12、1) ， Pn(xn0 ， yn0) ，nN*记直线 APn的斜率为 kn（ 1）若 k1 2，求 P1 的坐标；（ 2）若 k1 为偶数，求证： kn 为偶数南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数

13、，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）学习资料学习资料收集于网络，仅供参考1 52 3 i3 0.024 355 867 48 59 410 1， 311 3212 313 ( 1 1e2， 2)14 24二、解答题（本大题共6 小题，计 90 分. 解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15 ( 本小题满分14 分 )解：（ 1）因为 mn 3bcosB，所以 acosCccosA 3bcosB由正弦定理，得 sinAcosC sinCcosA 3sinBco

14、sB ， 3 分所以 sin(A C) 3sinBcosB ，所以 sinB 3sinBcosB 因为 B 是 ABC的内角， 所以 sinB 0，所以 cosB 137分（ 2）因为 a，b， c 成等比数列，所以 b2ac由正弦定理，得 sin2B sinAsinC 9 分因为 cosB 13， B 是 ABC的内角，所以 sinB 223 11分又 1tanA 1tanC cosAsinA cosCsinC cosAsinC sinAcosCsinAsinC sin(A C)sinAsinC sinBsinAsinC sinBsin2B 1sinB 324 14 分16 ( 本小题满分1

15、4 分 )学习资料学习资料收集于网络，仅供参考证明：（ 1）因为 ABAC，点 D 为 BC中点，所以 ADBC2分因为 ABC A1B1C1是直三棱柱，所以BB1平面 ABC因为 AD平面 ABC，所以 BB1AD 4 分因为 BCBB1 B，BC平面 BCC1B1，BB1平面 BCC1B1，所以 AD平面 BCC1B1因为 AD平面 ADC1，所以平面ADC1平面BCC1B16 分(2) 连结 A1C，交 AC1于 O，连结 OD，所以 O为 AC1中点8分因为 A1B平面 ADC1，A1B&a

16、mp;#61644;平面 A1BC，平面 ADC1平面 A1BC OD，所以 A1BOD 12 分因为 O为 AC1中点，所以D 为 BC中点，所以 BDDC 114 分17 ( 本小题满分14 分 )解：（ 1）由题意， 得 ca 22，4a2 1b2 1，解得 a2 6，b2 3所以椭圆的方程为x26y23 12 分（ 2）解法一椭圆C 的右焦点F(3 ， 0) 学习资料学习资料收集于网络，仅供参考设切线方程为y k(x 3) ，即 kx y 3k 0，所以 | 3k|k2 12，解得 k± 2，所以切线方程为 y ± 2(x 3) 4 分由方程组 y 2(x 3) ，

17、x26 y23 1，解得 x43 325，y 665，或 x 43325， y 6 65所以点 P，Q的坐标分别为 (43 325，6 65) ，(43 325， 6 65) ，所以 PQ 6656 分因为 O到直线 PQ的距离为 2，所以 OPQ的面积为 635因为椭圆的对称性，当切线方程为y 2(x 3) 时，OPQ的面积也为635综上所述， OPQ的面积为 635 8 分解法二椭圆C 的右焦点 F(3 ， 0) 设切线方程为y k(x 3) ，即 kx y 3k 0，所以 | 3k|k2 12，解得 k± 2，所以切线方程为 y ± 2(x 3) 4 分把切线方程y2

18、(x 3) 代入椭圆C 的方程，消去 y 得 5x2 83x 6 0设 P(x1 ， y1) ，Q(x2， y2) ，则有 x1x2 835由椭圆定义可得， PQ PFFQ 2ae(x1 x2) 2×622×835 665 6 分学习资料学习资料收集于网络，仅供参考因为 O到直线 PQ的距离为 2，所以 OPQ的面积为 635因为椭圆的对称性，当切线方程为y 2(x 3) 时，所以 OPQ的面积为 635综上所述， OPQ的面积为 635 8 分解法一： (i)若直线 PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为 x 2 或 x 2当 x2 时， P(2 ，2) ， Q(2， 2)

19、 因为 OPOQ 0，所以 OPOQ当 x 2 时，同理可得OPOQ 10 分(ii) 若直线 PQ的斜率存在， 设直线 PQ的方程为 y kx m，即 kx ym 0因为直线与圆相切，所以 |m|1 k22，即 m2 2k2 2将直线 PQ方程代入椭圆方程， 得 (1 2k2)x2 4kmx 2m2 6 0.设 P(x1 ， y1) ，Q(x2， y2) ，则有 x1x2 4km1 2k2，x1x2 2m2 61 2k2 12 分因为 OPOQ x1x2 y1y2 x1x2 (kx1 m)(kx2 m) (1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2 (1 k2) ×2m2 61

20、2k2km×( 4km1 2k2) m2将 m2 2k2 2 代入上式可得 OPOQ 0，所以 OPOQ综上所述， OPOQ 14 分学习资料学习资料收集于网络，仅供参考解法二：设切点T(x0 ，y0) ，则其切线方程为x0x y0y 2 0，且 x20 y202(i) 当 y0 0 时，则直线 PQ的直线方程为 x 2 或 x 2当 x2 时， P(2 ，2) ， Q(2， 2) 因为 OPOQ 0，所以 OPOQ当 x 2 时，同理可得OPOQ 10 分(ii) 当 y00时，由方程组x0x y0y 20，x26 y23 1，消去 y 得 (2x20 y20)x2 8x0x 8

21、6y200设 P(x1 ，y1) ，Q(x2，y2) ，则有 x1 x2 8x02x20 y20，x1x2 86y202x20 y2012 分所以 OPOQ x1x2 y1y2 x1x2 (2 x0x1)(2 x0x2)y02 8(x02 y20) 16y02(2x20 y20) 因为 x20 y20 2，代入上式可得OPOQ 0，所以OPOQ综上所述， OPOQ 14 分18 ( 本小题满分16 分 )解： (1) 由题意，可得AD 12 千米由题可知 |126 16v| 14， 2 分解得 649v647 4 分(2) 解法一：经过 t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)学习资料学习资

22、料收集于网络，仅供参考由于先乙到达D 地，故 16v 2，即 v 8 6 分当 0vt 5，即0t 5v 时，f(t) (6t)2 (vt)22×6t ×vt ×cosDAB(v2 485v 36)t2 因为 v2 485v 36 0，所以当 t 5v 时，f(t) 取最大值，所以 (v2 485v36) ×(5v)2 25，解得 v154 9 分当 5 vt 13，即 5vt 13v 时，f(t) (vt 1 6t)2 9 (v 6)2(t 1v 6)2 9因为 v 8，所以 1v 65v，(v 6)2 0，所以当 t 13v时， f(t) 取最大值，

23、所以 (v 6)2(13v 1v 6)2 925，解得398v394 13 分当 13vt 16，13vt 16v 时，f(t) (12 6t)2 (16 vt)2 ，因为 12 6t 0， 16 vt 0，所以当 f(t)在 (13v ， 16v)递减，所以当 t 13v 时， f(t) 取最大值，(12 6×13v)2 (16 v×13v)2 25，解得398v394因为 v 8，所以 8v394 16 分解法二：设经过 t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)由于先乙到达D 地，故 16v 2，即 v 8 6 分学习资料学习资料收集于网络，仅供参考以 A 点为原点，

24、 AD为 x 轴建立直角坐标系，当 0vt 5 时， f(t) (45vt 6t)2 (35vt)2 由于 (45vt 6t)2 (35vt)2 25，所以(45v 6)2 (35v)2 25t2对任意 0t 5v 都成立，所以 (45v 6)2 (35v)2 v2，解得v154 9 分当 5 vt 13 时， f(t)(vt 16t)2 32由于 (vt 1 6t)2 3225， 所以 4vt 16t 4 对任意 5v t 13v 都成立，即 v65t ， 3t v 6，对任意 5vt 13v 都成立，所以 v65v13， 3v13v 6，解得 398v394 13分当 13vt 16 即

25、13vt 16v，此时 f(t) (12 6t)2 (16 vt)2 由及知： 8v394，于是0 126t 1278v12 783944，又因为 016vt 3，所以f(t) (12 6t)2 (16 vt)2 42 32 25 恒成立综上可知8v394 16 分19 ( 本小题满分16 分 )解：（ 1）当 m 1 时， f(x) x3x2 1f (x) 3x2 2x x(3x 2) 学习资料学习资料收集于网络，仅供参考由 f (x) 0，解得 x 0 或 x 23所以函数f(x)的减区间是 ( ， 0) 和 (23 ， ) 2 分（ 2）依题意m 0因为 f(x) x3 mx2m，所以

26、f (x) 3x22mx x(3x 2m)由 f (x) 0，得 x 2m3或 x 0当 0x 2m3时， f (x) 0，所以 f(x) 在(0 ，2m3)上为增函数；当 2m3 x m时， f (x) 0，所以 f(x) 在(2m3，m)上为减函数；所以， f(x) 极大值 f(2m3) 427m3m 4 分当 427m3mm，即 m362， ymax 427m3m6 分当 427m3 m m，即 0 m 362 时， ymax m综上， ymax 427m3mm362， m0m 3628 分（ 3）设两切点的横坐标分别是 x1，x2则函数 f(x) 在这两点的切线的方程分别为y ( x1

27、3 mx12m) ( 3x12 2mx1)(x x1) ，y ( x23 mx22m) ( 3x22 2mx2)(x x2) 10 分将 (2 ， t) 代入两条切线方程，得t ( x13 mx12m) ( 3x12 2mx1)(2 x1) ，t ( x23 mx22 m) ( 3x222mx2)(2 x2) 学习资料学习资料收集于网络，仅供参考因为函数f(x)图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t ( x3 mx2 m) ( 3x2 2mx)(2 x) 有且仅有不相等的两个实根12 分整理得 t 2x3 (6 m)x2 4mxm设 h(x) 2x3(6 m)x2 4mxm，h(x) 6x2

28、 2(6 m)x 4m2(3x m)(x 2) 当 m 6 时， h(x) 6(x 2)2 0，所以h(x) 单调递增，显然不成立当 m6时， h(x) 0，解得 x 2 或 x m3列表可判断单调性，可得当x 2 或 x m3，h(x) 取得极值分别为h(2) 3m8，或 h(m3) 127m3 23m2m要使得关于x 的方程 t 2x3 (6 m)x24mx m有且仅有两个不相等的实根，则 t 3m 8，或 t 127m3 23m2m 14 分因为 t 0，所以3m80，（ * ），或 127m3 23m2m0（ * ）解（ * ），得 m83，解（ * ），得 m9 36 或 m9 36

29、因为 m 0，所以 m的范围为 (0 ，83 9 36， ) 16分20 ( 本小题满分16 分 )学习资料学习资料收集于网络，仅供参考解：（ 1）因为 3b1，2b2， b3 成等差数列，所以 4b2 3b1 b3，即 4×3a 3d23(2a d) 4a6d3，解得， ad 34 4 分由 an1bn an 2，得 and(n 1)a (n 1)nd2n a (n 1)d ，整理得 n2 n2ad0， n2 n2ad 0，6 分解得 11 8ad2n1 1 8ad2，8 分由于 1 1 8ad2 11 8ad2 1 且 1 1 8ad20因此存在唯一的正整数n，使得 an1bn

30、an 2 10分（ 2）因为 btbr a1(1 qt 1)t(1 q)a1(1 qr 1)r(1 q) t 2r 2，所以 qt 1 1t(t 2) qr 11r(r 2) 设 f(n) qn1 1n(n 2) ，n2，nN*则 f(n 1) f(n) qn2 1(n 1)(n 3) qn11n(n 2) qn 1(q 1)n2 2(q 2)n 3 2n 3n(n 1)(n 2)(n 3) ，因为 q 2，n2，所以 (q 1)n2 2(q 2)n 3n231 0，学习资料学习资料收集于网络，仅供参考所以 f(n 1) f(n) 0，即 f(n 1) f(n)，即 f(n)单调递增 12 分

31、所以当 r 2时， t r 2，则 f(t) f(r)，即 qt 1 1t(t 2) qr 1 1r(r 2) ，这与 qt 1 1t(t 2) qr 11r(r 2) 互相矛盾所以 r 1，即 qt 1 1t(t 2) q2 13 14 分若 t 3，则 f(t) f(3) q4 115q2 13q2 15 q2 13，即 qt 1 1t(t 2) q213，与 qt 1 1t(t 2) q2 13 相矛盾于是 t 2，所以 q3 18 q2 13，即 3q2 5q 5 0又 q2，所以 q5 85616 分南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2016.0

32、5说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分学习资料学习资料收集于网络，仅供参考3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数21【选做题】在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选

33、修 4 1：几何证明选讲证明： (1) 连接 AB因为 PA是半圆 O的切线，所以 PAC ABC因为 BC是圆 O的直径，所以ABAC又因为 AHBC，所以 CAH ABC，所以 PAC CAH，所以 AC是 PAH的平分线 5 分(2) 因为 H 是 OC中点，半圆 O的半径为 2，所以 BH 3，CH 1又因为 AHBC，所以AH2BHHC 3，所以 AH 3在 RtAHC中， AH 3， CH1，所以 CAH30°由 (1) 可得 PAH2CAH60°，所以PA 23由 PA是半圆 O的切线，所以PA2 PCPB，所以 PC(PC BC) (23)2 12，所以 P

34、C 2 10 分B选修 4 2：矩阵与变换解：设曲线C 上的任意一点P(x ，y) ， P 在矩阵 A1210学习资料学习资料收集于网络，仅供参考对应的变换下得到点Q(x， y) 则 1210xy xy，即 x2yx， xy，所以 xy， yx y2 5 分代入 x2 2xy 2y2 1，得 y22yx y22(x y2)2 1，即 x2y2 2，所以曲线 C1 的方程为 x2 y2 2 10 分C选修 4 4：坐标系与参数方程解： M的极坐标为 (1 ， 2) ，故直角坐标为M(0， 1) ，且P(2cos ， sin ) ，所以 PM (2cos )2 (sin 1)2 3sin2 2sin 5， sin 1，1 5 分当 sin 13 时， PMmax433，此时 cos ± 223所以， PM的最大值是 433，此时点 P 的坐标是 ( ±423， 13) 10 分D选修 4 5：不等式选讲解：函数定义域为 0 ， 4 ，且 f(x) 0由柯西不等式得52 (2)2(x)2 (4 x)2)(5x 24 x)2 ， 5 分即 27×4(5x 24 x)2 ，所以 5x82x63当且仅当