向量的运算法则精品资料

1、（ 1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：1）结合律：(a) ()a 。2）分配律： ()aa ， (ab)ab 。（ 2）向量的数量积运算法则：1） a b ba 。2） ( a ) b(a b)a b a( b ) 。3） ( a b) c a c b c 。（ 3）平面向量的基本定理。e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数 1, 2 ，满足 a1e12e2 。（ 4） a 与 b 的数量积的计算公式及几何意义：ab | a |b | cos ，数量积 a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在 a 的方向上的投影|b |

2、cos 的乘积。（ 5）平面向量的运算法则。1）设 a (x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，则 a + b ( x1x2 , y1y2 ) 。2）设 a (x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，则 a - b ( x1x2 , y1y2 ) 。3）设点 A ( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，则 ABOBOA(x2x1 , y2 y1 ) 。4）设 a ( x, y),R ，则a ( x,y) 。5）设 a (x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，则 ab ( x1 x2y1 y2 ) 。（ 6）两向量的夹角公式：cosx1

3、x2y1 y2（ a ( x1, y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ）。y2x2x2y21122（ 7）平面两点间的距离公式：dA ,B | AB |AB AB(x2 x1 ) 2( y2y1 )2 （A ( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ）。（ 8）向量的平行与垂直：设a ( x1 , y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ，且 b0，则有：1） a | bb ax1 y2x2 y10 。2） ab （ a0）a · b 0x 1 x2y1 y2 0 。（ 9）线段的定比分公式：设 P (x , y )，P (x , y)，P( x, y)是线段P

4、 P的分点，是实数，且 PP1PP2，则1 1 12221 2xx1x2OP1OP211OPOPtOP1(1t )OP2 （ t）。y111yy21（ 10）三角形的重心公式： ABC三个顶点的坐标分别为A(x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 、 C( x3 , y3 ) ，则 ABC的重心的坐标为 G( x1x2x3 , y1y2y3 ) 。33（ 11）平移公式：x'xhxx'hOP PP'。y'ykyy'OP'k（ 12）关于向量平移的结论。1）点 P( x, y) 按向量 a (h,k ) 平移后得到点 P' (xh

5、, yk ) 。2）函数 yf ( x) 的图像 C 按向量 a (h,k ) 平移后得到图像 C' : y f (x h)k 。3）图像 C '按向量 a (h, k) 平移后得到图像C : yf (x) ，则 C'为 yf ( xh ) k 。4）曲线 C : f ( x, y)0按向量 a (h, k) 平移后得到图像'h, yk ) 0 。C : f (x设 a=（ x ， y ）， b=(x' ， y') 。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量的加法OB+OA=OC。a+b=(x+x' ， y+y'

6、;) 。a+0=0+a=a。向量加法的 运算律 ：交换律： a+b=b+a；结合律： ( a+b)+ c=a+( b+c) 。 12、向量的减法如果 a、 b 是互为相反的向量，那么 a=- b， b=- a， a+b=0. 0 的反向量为 0 AB- AC=CB. 即“共同起点，指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y')则 a- b=(x-x',y-y').如图： c=a-b以 b 的结束为起点，a 的结束为终点。3、向量的数乘实数 当 >0当 <0和向量a 的乘积是一个向量时， a 与 a 同方向时， a 与 a 反方向；，记作 a，且

7、 a= · a。向量的数乘当 =0 时， a=0，方向任意。当 a=0 时，对于任意实数 ，都有 a=0。注：按定义知，如果 a=0，那么 =0 或 a=0。实数 叫做向量a 的系数，乘数向量 a 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩。当 >1 时，表示向量a 的有向线段在原方向（ >0）或反方向（ <0）上伸长为原来的倍当 <1 时，表示向量a 的有向线段在原方向（ >0）或××反方向（ <0）上缩短为原来的 倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律： ( a) ·b= ( a·b)=( a&#

8、183; b) 。向量对于数的分配律（第一分配律）：( + ) a= a+ a.数对于向量的分配律（第二分配律）： ( a+b)= a+ b.数乘向量的消去律： 如果实数 0且 a= b，那么 a=b。 如果 a 0 且 a= a，那么 = 。 24、向量的数量积定义：已知两个非零向量 a,b 。作 OA=a,OB=b 则角 AOB称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作 a,b 并规定 0 a,b 定义：两个向量的 数量积（内积 、点积 ）是一个数量 （没有方向） ，记作 a·b。若 a、 b 不共线，则 a·b=| a| ·|b| ·cos a， b（

9、依定义有： cos a，b =a·b / |a| ·|b| ）；若 a、 b 共线，则 a·b=± a b。向量的数量积的坐标表示： a·b=x·x'+y ·y' 。向量的数量积的运算律a· b=b· a（交换律 ）( a) ·b= (a ·b) ( 关于数乘法的结合律)（ a+b) · c=a·c+b· c （分配律）向量的数量积的性质a· a=| a| 的平方 。a b = a·b=0。| a·b| |a|

10、 ·|b| 。（该 公式证明 如下： | a·b|=| a| ·|b| ·|cos0|cos | 1，所以 | a· b| |a| ·|b| ） |因为向量的数量积与实数运算的主要不同点1向量的数量积不满足结合律，即： ( a·b)2 a2· b2 。( a· b) · c a·(b· c) ；例如：2向量的数量积不满足消去律，即：由3 | a· b| 与 | a| ·|b| 不等价4由 | a|=| b|，推不出a=b 或 a=- b。a· b=a· c ( a 0) ，推不出b=c 。5、向量的向量积定义：两个向量a 和b 的向量积向量的几何表示（外积、 叉积 ）是一个向量，记作a× b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与