北师大版八年级数学下册-第一章-三角形的证明(提高)

1、精品文档第一章三角形的证明一、八条基本事实1、两点确定一条直线；2、两点之间直线最短；3、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4、同位角相等，两直线平行；5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；8、三边分别相等的两个三角形全等（SSS）；二、平行线的判定和性质判定：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.三、全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2、有

2、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)性质 : 全等三角形对应边相等，对应角相等。三角形全等常用来证明线段或角相等。例： 如 图 ， ABC中 ， AC=BC， ACB=90o， 点 D 在 AC 上 ， 点 E 在 BC 延 长 线 上 ， CD=CE，BD的延长线交 AE于点 F，连 CF.（ 1） 证明：（ 2）证明：AEBD ；EFFD2 FC.。1 欢迎下载精品文档练习：1、在四边形 ABCD中， AC=AB，DC=DB， CAB=60°， CDB=120&#

3、176;， E是 AC上一点， F是 AB延长线上一点，且CE=BF（ 1）求证： DE=DF；（ 2）若 G在 AB上且 EDG=60°，求证 CE+BG=EG；2、 如图，在ABC中， AB=AC、 D 是 AB上一点， E 是 AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE 交 BC于 F。猜想 DF与 EF 的大小关系并请证明你的猜想。3、如 图 ， RT ABC中 ， ACB=90o， ABC的 角 平 分 线 AD、 BE 相 交 于 点 P，过P作 PFAD交 BC的延长线于点 F，交 AC于点 H.（1）求APB的度数；（2）证明：AH BDAB.四、等腰三角形1、性质定理

4、：等腰三角形有两边相等；(定义 )定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。2 欢迎下载精品文档例题： 1、点 P 是等边三角形 ABC所在平面上一点，若P 和 ABC的三个顶点所组成的PAB、 PBC、 PAC都是等腰三角形，则这样的点P 的个数为（）A 1,B 4,C 7,D 102、如图， 等腰三角形ABC中， AB=AC， A=20o， D为 AB边上一点，且AD=BC求 CDB的度数。练习： 1、等腰三角形ABC中， AB=AC， D 为 BC上的一点，且BD=AD=DC，那么 B 的度数为。2、 如图在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点 P 在 x 轴上，若以 P， O，A

5、 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有（）A2 个B3个C4 个D5个3、等腰三角形一腰长为5，一边上的高为 3，则底边长为4、在平面直角坐标系xOy 中，点 A1，A2，A3， 和 B1 ，B2，B3， 分别在直线y=kx+b 和 x 轴上 OA1B1，B1A2 B2， B A B ， 都是等腰直角三角形，如果A（ 1，1），A，那么点 A 的纵坐标是，点的纵坐233123标是5、如图， ABC中， AB =AC，点 Q在 AC 上，在 BA的延长线上取AP=AQ，求证： PQ垂直于 BC。3 欢迎下载精品文档6、已知：如图，在等腰三角形ABC中， AB=AC，P 是底边 BC

6、 上任意一点，过点P 作 PEAB，PFAC，垂足分别为E， F，过点 B 作 BDAC，垂足为D求证： PE+PF=BD推论 1: 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。例： 如图，在RT ABC中， ACB=90o， AC<BC，D 为 AB的中点， DE交 AC 于点 E，DF交 BC于点 F，且 DEDF，过A 作 AG BC交 FD的延长线于点G（ 1）求证：AG BF；（ 2）若 AE9 ， BF 18 ，求线段 EF 的长练习： 1、如图，在ABC中， ABC=45o， C

7、DAB， BEAC，垂足分别为D、 E， F 为 BC 中点， BE 与 DF、 DC分别交于点 G、 H， ABE= CBE（ 1）证明：BHCA ；（ 2）证明： BG 2 GE 2 EA2 2、已知 CE 垂直于 AB 于 E 点， 1= 2， AE=1/2 （ AD+AB），求证： ABC+ D=180°。4 欢迎下载精品文档2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。3、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从

8、而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法例 1:如图所示，在边长为2 cm的正三角形ABC中， E、 F、 G分别为 AB、 AC、 BC 的中点，点P 为线段EF上一个动点，连接BP、 GP，则 PBG的周长的最小值是例 2: 如 图 ， 在 等 腰 RT ABC中 ， ACB=90o， AC=CB， F 是 AB 边 上 的 中 点 ， 点 D、 E 分 别 在 AC、 BC 边上运动，且始终保持 AD=CE连接 DE、DF、EF（1）求证： DFEF ；C（2）试证明 DEF是等腰直角三角形EDABF例 3: 如 图 ， 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中 ， BAC=90o，

9、 D、 E 分 别 为 AB、 AC 边 上 的 点 ， AD=AE，AFBE交 BC 于 点 F， 过 点 F 作 FGCD交 BE的延长线于点G，交 AC于点 M。（1）证明： EGM 为等腰三角形；（2）证明：BGAF FG.。5 欢迎下载精品文档练习：1、如图，已知 ABC为等边三角形，D 为 BC 延长线上的一点，CE平分 ACD， CE=BD，求证： ADE为等边三角形2、在等边三角形ABC中，点 D、 E 分别在边BC、 AB上，且 BD=AE， AD 与 CE交于点 F，求 DFC的度数五、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形两锐角互余；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边

10、的平方（勾股定理）；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；2、直角三角形判定有两个锐角互余的三角形是直角三角形；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理 .注意：真命题的逆命题不一定为真，定理和逆定理均为真命题。4、直角三角形全等的判定斜

11、边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）。6 欢迎下载精品文档例 1：如图， ABC中， C=90°， 1= 2， CD=3/2， BD=5/2，求 AC的长。例 2：小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、 B、 D 在同一直线上， EF AD， A= EDF=90°， C=45°， E=60°，量得DE=8，试求BD的长例 3: 如图，等边ABC中， AO是 BAC的角平分线，D为 AO上一点，以CD为一边且在CD的下方作等边三角形CDE，连接BE。（ 1）求证： ACD BC

12、E ；（2）延长 BE至 Q ,P 为 BQ 上一点，连结CP 、 QC 使 CPCQ5,若 BC8时，求 PQ 的长 .练习： 1、如图，在 ABC中， ACB=90°，D 是 BC的中点， DE BC，CE AD，若 AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为。7 欢迎下载精品文档2、如图 2-5 所示在等边三角形ABC中， AE=CD， AD， BE交于 P 点， BQ AD于 Q求证： BP=2PQ3、如图，D是等边 ABC的边 AB上一点，E是 BC延长线上一点，CEDA，连 接 DE 交 AC于 F ，过 D点作于 DGAC于G点.（1）证明： AG1 AD；2（2）证

13、明：GFFCAG.4、已知等腰Rt ABC中， ACB=90°， AC=BC，点 G在 BC上，连接AG，过 C 作 CF AG，垂足为点E，过点B 作BF CF于点 F，点 D 是 AB的中点，连接DE、 DF（ 1）若 CAG=30°， EG=1，求 BG的长；（ 2）求证： AED= DFECEGADBF六、线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。8 欢迎下载精品文档例 ： 1、 如图， ABC中，

14、 AB=AC， BAC=54°， BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将 C 沿 EF（ E 在BC上， F 在 AC上）折叠，点C 与点 O恰好重合，则OEC大小为（ ）A134°,B136° ,C108°,D112°2、在ABC 中， AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D，若AC=6， BC=4， BCF 的周长为。ECFADB3、 如 图 ， 在 RT ABC中 ， AB=AC， BAC=90o， D、 E 为 BC 上 的 两 点 ， DAE=45o， F 为 ABC外一点，且 FB BC， FA AE。（1）证明： CE

15、BF ；（2）证明： BD2CE 2DE2.练习： 1、如图，在矩形ABCD中， AB=2， BC=4，对角线 AC 的垂直平分线分别交AD、 AC于点 E、 O，连接 CE，则CE的长为（）A3B35C25D280DE交 BC的延长线于点 E，CE的长为2、如图，在 RT ABC中， ACB=90，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线3、如图所示，在 ABC中， AB=AC， BAC=1200， D、 F 分别为 AB、 AC 的中点， DE AB， FG AC， E、 G在 BC上，BC=15cm， EG的长度为。ADFBEGC4、（ 1）在 ABC中， AB AC， AB的垂直平分线交

16、AB 于 N，交 BC的延长线于M， A 400，求 NMB的大小（ 2）如果将（ 1）中 A 的度数改为 70 0 ，其余条件不变，再求NMB的大小。9 欢迎下载精品文档（ 3）你发现有什么样的规律性？试证明之.（ 4）将（ 1）中的 A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改AAANNNBBCMCBMCM5、如 图 1 ，已 知 点 D 为 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 内 一 点 ， ACB=90o， CAD= CBD=15o， E 为 AD 延 长 线 上的一点，且 CE=CA。（1）求DCA的大小；（2）若点 M 在 DE上，如图 2，且 DCDM，求证： MEDB.

17、七、角平分线。性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。例： 1、已知：如图，BAC的平分线与BC 的垂直平分线相交于点P， PE AB，PF AC，垂足分别为E、 F，若 AB 8， AC 4，则 AE2、如图，分别以ABC的边 AB、AC向外作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE，线段 BE与 CD相较于点 O，连接 AO。（1）求BOD的度数；（2）求证： AO平分DOE。10 欢迎下载精品文档练习： 1、 如图，在 ABC中， BC=5cm， BP、 CP分别是 ABC和 ACB的角平分线，且PD AB， PE AC，则PDE的周长是cm2、如图， AD 是 ABC的角平分线，DF AB，垂足为F， DE=DG， ADG和 AED的面积分别为50 和 39，则 EDF的面积为（）A11B5.5C7D3.53、如图， ABC是等边三角形，P 是 ABC的平分线BD上一点， PE AB 于点 E，线段 BP 的垂直平分线交BC于点 F，垂足为点Q若 BF=2，则 PE的长为（）A2B23C3D34、在 ABC中，点O 是 AC边上一动点，过点O 作直线MN BC，与 ACB的角平分线交于点E，