反证法教学案例设计[1]

1、.反证法教学设计与反思“反证法”是九年级上册第二十四章圆和圆的位置关系中的一部分内容。它是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它有着独特，简便，实用的方法。故反证法的学习非常重要。 本节课主要目标是了解反证法的基本原理，掌握反证法的一般步骤，会用反证法证明数学中的一些简单命题。一、首先从课程分析和学情分析着手。综合法和分析法， 是直接证明中最基本的两种证明方法， 是解决数学问题时常用的思维方式。反证法是间接证明的一种基本方法， 但反证法的应用需要逆向思维， 是学习和掌握中的一个难点， 所以本节课的重点是使学生在动脑思考， 动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵， 建立应用反证法的感

2、觉。 反证法的本质就是通过证明逆否命题的真来肯定原命题。二、让学生自己去发现问题，解决问题。先巧用趣味故事引入， 并以视频的形式呈现， 激发了学生的学习兴趣， 并从故事中体会反证法的内涵。学生共同探讨总结出反证法的含义：反证法是指 “证明某个命题时， 先假设它的结论的否定成立， 然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。 ”这种证明的方法， 叫做反证法。附：故事一南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变

3、成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生： “先生吃饭不吃屎， 饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。”实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果， 不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即.可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。 风水先生当然不会承认这个事实了。 那么，显然，他说的就是谬论了。这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。如果说这则故事还尚

4、不能让我们明白反证法的思路的话，不妨再看看故事二。故事二相传在古代有一个贤臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他过去对国有功，采用了一个由命运来最后裁定的办法， 用两张纸片，一张上写活字，一张上写死字，处决前由它来抽， 抽到活字可赦免， 而奸臣阴险歹毒， 命人用两张纸片上都写上死字，凑巧这个诡计被贤臣的朋友知道了， 悲痛地告诉了他， 并表示要和他一起揭露奸臣的阴谋，这个贤臣想了想，高兴地说： “我有救了！”他叫这个朋友不要声张，处决前抽纸片时， 只见他抽出一张纸片谁也不让看就吞了下去， 监斩官只好看剩下的纸片是什么字了。剩下的字无疑是个“死”字，于是这个贤臣就被赦免了。贤臣为什么能死里逃生？贤臣运用

5、了反证法。“死”字的反面是“生”字。三、从生活实际问题出发：问题 1、 13个人中至少有两个人的生日在同一个月。这一结论是否正确？问题 2、A、B、C 三个人， A 说 B 撒谎， B 说 C 撒谎， C 说 A、B 都撒谎。则 C 必定是在撒谎， 为什么？（分析 : 假设 C没有撒谎 , 则 C话为真 . 那么 A 话为假且 B 话为假，由 A 话为假 , 知 B 话为真 . 这与 B 话为假矛盾 . 那么假设 C没有撒谎不成立 ; 则 C 必定是在撒谎 . ）让学生感受到了反证法处处可在， 也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤。接着给出问题： 通过以上几个练习， 大家已经初步体会到反证

6、法的作用， 你能不能总结一下应用反证法的步骤？经过小组讨论学生不难总结其步骤，教师对其不完整的地方给以补充。.四、反证法的基本步骤：（1）、反设假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真。（2）、归谬从反设和已知条件出发， 经过一系列正确的逻辑推理， 得出矛盾结果。（3）、存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立 . 让学生在体验，探究中学到了知识，体现了学生的主体地位。五、在此基础上又开始应用反证法证明数学问题：例：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°。已知： ABC , 求证： ABC中至少有一个内角小于或等于 60° 证明： 假设 ABC中

7、没有一个内角小于或等于 60°则 A>60°, B>60°, C>60° A+B+C>60°+60°+60°=180° 即 A+B+ C>180°，这与三角形的内角和为 180 度矛盾假设不成立 ABC中至少有一个内角小于或等于 60°思考：应用反证法的情形：直接证明困难 ;需分成很多类进行讨论结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” - 类命题；结论为“唯一”类命题；反证法的思维方法：正难则反反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式

8、是有必要的 .例如：正面词等于大于小于是都是至 少 一至 少 n个个否定不等于不 大 于不 小 于不是不都是一 个 也至多（小于（大于没有n-1 个或等于） 或等于）.六、练习题 1、一个三角形中不能有两个角是直角。练习题 2、两直线平行，同位角相等。通过两个练习题，使学生在运用数学方法解决问题的过程中巩固方法。七、我对设计的反思和分析：(1). 教学通过丰富的实例展开， 这一方面可以使学生体会反证法思想与现实世界的联系， 另一方面，活生生的例子也会增强学生学习反证法的兴趣， 产生学习数学的积极情感，使他们感受到反证法思想离自己很近，反证法很有用。(2). 在宽松愉快的环境中学生完成了学习任务

9、，学生的主体地位得到了体现，主动性得到了充分发挥， 学生的学习热情空前高涨， 就连平时不爱说话的学生也敢于站起来回答问题了。 所有的学生都动起来了， 每个人都学有所得。 诱思探究教学对大面积提高教学质量的巨大作用， 更加坚信学生的潜力无穷， 要给予学生充分的信任，相信他们解决问题的能力。(3). 在组织讨论时应给足够的时间给学生，不仅仅是为了讨论而讨论， 学生应在讨论中体会问题的实质，并最终形成自己的认识，哪怕是很肤浅的认识。(4). 抓住重点，突破难点。反证法的重点是能写出结论的反面， 同时也是难点。如“写出线段 AB,CD互相平分的反面”，线段 AB,CD互相平分具体指： “AB 平分 CD且 CD平分 AB”. 他的反面应包括以下三种情况：（ 1）AB平分 CD但 CD 不平分 AB；（ 2） CD平分 AB但 AB不平分 CD；（ 3） AB不平分 CD且 CD不平分AB.统称为“ AB，CD不互相平分”，而学生往往只考虑第（3）种情况，即 AB，CD 互相不平分。在用反证法证明的命题中经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一