12.6双曲线的性质

1、12.6双曲线的性质教学目标：(1)研究双曲线的基本性质；(2)讨论渐近线的双曲线；(3)能利用性质解决实际问题 教学重点：双曲线的性质.难点：双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.一知识链接21. 1.双曲线x2 - 丫 1的焦点坐标是双曲线上一点P到左焦点距离为34那么P到右焦点距离为2 22.双曲线 y =1的焦距是8，则m 9m3.椭圆有哪些几何性质？说明讨论双曲线的几何性质与讨论椭圆的几何性质，方法是相同的，这部分的内容可以采用类比的方法，让根据研究椭圆性质的方法类比双曲线的性质，得到一些结论并加以研究.二、新知探究：1 概念辨析2 2以双曲线标准方程 务£=1 , c2二a2

2、，b2(c a 0)为例进行说明a b1 范围：观察双曲线的草图， 可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线yF1 A1 OA2F2x在两条直线x a的外侧.从双曲线的方程如何验证？2. 对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性， 称其对称中心为双曲线的中心.3顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形)，所以令y = 02 2得X二a,因此双曲线和X轴有两个交点A (-a,0)A2(a,0),它们是双曲线X2 一 y2 =1的a b2 2顶点,对称轴上位于两顶点间的线段A2叫做双曲线 笃-每=1的实轴长，它的长是 2a,a ba叫半实轴长把线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长是2b

3、, b叫做虚半轴长归纳：顶点：A(a,O)，A -a,0特殊点：R(0,b),B2 0,-b实轴：AA2长为2a, a叫做半实轴长.虚轴：B1B2长为2b, b叫做虚半轴长注意：名称，不要把虚轴与椭圆的短轴混淆.双曲线只有两个顶点，与椭圆的又一差异 渐近线：经过A（、A Bp B2作x轴、y轴的平行线X = _a, y = _b，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为by x.ay*MQ/B2A1 O'Ab直线y =-x与双曲线a2x2a2-爲=1在无穷远处是否相交?b2（证明见课本P58)求法：在方程2X2a2 y b2=1中，令右边为零，2X2a2-y =0，得渐近线方程b22若方

4、程为爲a2 x b2a，则渐近线方程为y三、问题拓展（一）等轴双曲线1、定义：若a=b即实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：x2 _ y2 = a2 或 y2 -x23、等轴双曲线的性质:（1）渐近线方程为：y二x ；（ 2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3 ）等轴双曲线方程可以设为：x2 -y2 =- - 0）,当，0时焦点在x轴，当 : 0时焦点在y轴上.（二）共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线2、方程：（1）2 2的共轭双曲线为a b2 2笃一笃=1的共轭双曲线为a b定义：如果有一条直线使得当曲线

5、上的一点 M沿曲线无限远离原点 时，点M到该直线的距离无限接近于零，则这条直线叫这一曲线 的渐近线；“漫漫长路无交点”四焦点共圆;2 222 =1有共同的渐近线a b2 2' _x_ 2 2a b3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距,（三）共渐近线的双曲线系方程2 2即：双曲线电-芯二' （丄=0）与双曲线a b四例题分析1写出双曲线9x2 -16y2 =144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方2.已知双曲线过点P 4,3 ,它的一条渐近线的方程为y =丄乂，求双曲线的标准方程;23.双曲线的渐近线方程为 y1-x，且焦距为10，求双曲线方程2五、课堂小结

6、2 2双曲线 笃-与 =1的范围 、对称性 、中心 a b顶点、实轴长、虚轴长、渐近线方程 、等轴双曲线；注意：双曲线2x-2a/K爲=1的渐近线是y =一x，但反过来此渐近线对应的双曲线则是b2ax2a六、课后巩固1.如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为的标准方程；F1 0,-6 ,求此双曲线2.求以y二 3x为渐近线，一个 焦点是F （ 0, 2）的双曲线方程3.求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程：（1） 顶点在x轴上，两顶点间的距离是10,且经过点10,3 ;、（2）一个焦点坐标为 5,0，条渐近线方程为 3x -4y =0。4.已知双曲线的中心在原点，焦点

7、在y轴上，并且双曲线上两点R,F2的坐标分别为（3, Y J2，8 ,5 i,求该双曲线的标准方程；<4丿2 25设双曲线 G :笃-笃=1; (1)求双曲线 G的共轭双曲线 C2的方程;a b(2)求证：双曲线 G和它的共轭双曲线C2的四个焦点在同一圆上。6.若双曲线的中心在坐标原点，它的一个焦点的坐标是一5,0 ,两个顶点的距离为 6,则此双曲线的方程是()2 2222222(A) X_y =1(B) X-y =1(C)X-y =1(D)X-y =1916361 ,1116911367在下列双曲线中以yx为渐近线的是()22 22222(A) X -y =1(B) X-y =1(C)X-y2 /(D)2 X-y =1164416228. 已知双曲线2x2 -y2 =8，求(1)它的焦点坐