双曲线的标准方程及其几何性质名师制作优质教学资料

1、双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质.1双曲线的定义：平面内与两定点的点的轨迹叫双曲线。两定点F1、F2 的距离差的绝对值是常数F1、 F2 是焦点，两焦点间的距离(大于零，小于F1F2是焦距，用F1F2 )2c 表示，常数用2 a 表示。(1) 若 MF1- MF2 =2 a 时，曲线只表示焦点 F2 所对应的一支双曲线 .(2)若 MF1- MF2 =-2 a 时，曲线只表示焦点F1 所对应的一支双曲线 .(3)若 2a =2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、 F2 为端点向外的两条射线 .(4)若 2a 2c 时，动点的轨迹不存在 .2.双曲线的标准方程

2、： x 2-y 2=1( a 0,b 0) 表示焦点在 x 轴上的双曲线；a 2b2y 2-x 2=1( a 0,b 0) 表示焦点在 y 轴上的双曲线 .a 2b 2判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、 y2 的分母的大小，而是x2、y2 的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.3.双曲线的简单几何性质：标准方程x2y21（ a0, b 0 ）y2x21（ a0,b 0 ）a2b2a2b2图象a, b,c 关系a2b2c2范围| x | a, y R| y | a, x R顶点(a,0)(0,a)对称性关于 x, y轴成轴对称、关于原点成中心对称渐近线yb xyaac (b离心率e1

3、)F (c,0)aF (0,c)焦点222±等轴双曲线：x -y a ( ay2 .0), 它的渐近线方程为x, 离心率 e4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。（ 1）通常消去方程组中变量二次方程的判别式，则有：曲线相交于一个点；0y (或 x )得到关于变量x (或 y )的一元二次方程，考虑该一元0直线与双曲线相交于两个点；0直线与双直线与双曲线无交点（ 2）若得到关于 x (或 y )的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线(3) 直线 l 被双曲线截得的弦长2212AB(1 k )(

4、 xx)或(12 )( y1y2 )，其中 k12k是直线 l 的斜率， ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) 是直线与双曲线的两个交点A ， B 的坐标，且(x1 x2 )2( x1 x2 )24 x1 x2 ， x1x2 ， x1x2 可由韦达定理整体给出二、 例题选讲例 1、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为 2，则双曲线方程为()A x2y21B x2 y2 2C x2 y2 2D x2 y212解析： 由题意，设双曲线方程为x2y2a2 a2 1(a>0) ，则 c2a，渐近线 y x， | 2a|2， a2 2.双曲

5、线方程为x2 y2 2.答案： B2例 2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程(1) 过点 P(3 ,2) ，离心率 e52(2)F1、 F2是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，双曲线离心率为2 且F1PF260，SPFF123 12解： (1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在 y 轴上，分别讨论如下如双曲线的实轴在x 轴上，设 x2y21 为所求由 e5，得 c 25 a2b22a24由点 P(3,2)在双曲线上， 得 921 ，又 a 2b2c 2 ，由、 得 a21 ，1a2b2b24若双曲线的实轴在y 轴上，设 x2y21 为所求同理有 c25 ， 291 ，a2

6、b2a 24 a2b2a 2b2c2 解之，得 b217（不合，舍去） 2双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为x24 y 21(2) 设双曲线方程为x2y21，因 F1F22c ，而 ec2 ，由双曲线的定义，得a2b2aPF1PF22ac 由余弦，得( 2c) 2PF2PF22 PFPF2cos F PF21211( PF1PF2 )22 PF1PF2(1cos60 ) ， 4c2c2PF1 PF2又 S PF1 F21 PF1PF2 sin 60123 ， PF1PF248 2 3 248， c216 ，得 a24 ， b2x2y21c12 所求双曲线的方程为124三、巩固测试题1

7、到两定点 F13,0、 F23,0的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ D）A椭圆B线段C双曲线D两条射线222方程xy1表示双曲线，则k 的取值范围是（ D）1 k1kA 1 k 1B k 0C k 0D k 1 或 k13 双曲线x2y21的焦距是（ C ）m2124m2A 4B2 2C 8D与 m 有关4若 0ka ，双曲线x 2y21 与双曲线x2y 21有（ D）2k2k22ababA相同的虚轴B相同的实轴C相同的渐近线D 相同的焦点5过双曲线 x2y 21 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6，则 ABF2（ F2 为右焦点）的周长是（ A ）169A 28B 22C 14D 1

8、26双曲线 x2 y2 1的焦点到渐近线的距离为()412A2 3B 2C. 3D 1解析： 双曲线 x2y2的焦点为 (4,0) 或 ( 4,0)渐近线方程为 y3x 或 y 3x.4 12 1|43 0|3.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d 23 1x2y21的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（） A7以椭圆85A x 2y 21x2y 21Cx 2y 2x 2y 2135B 31381 D55138过点 P(4,4) 且与双曲线 x22 y 1 只有一个交点的直线有()169A1 条B2 条C3条D4 条解析： 如图所示，满足条件的直线共有3 条9经过两

9、点A(7, 62), B(27,3) 的双曲线的方程为（） Cx 2y 2y 2x21 Cx2y 21Dy2x2A 1B2525752517525757510已知双曲线的离心率为 2 ，焦点是 (- 4，0) ， (4，0) ，则双曲线方程为（）x2y2x2-y2x2y2= 1Dx2y2= 1A-= 1B= 1C-10412124106611已知 P 是双曲线 x 2y 21 上的一点， F1, F2 是双曲线的两个焦点，且F1 PF2 12016 9则 PF1F2 的面积为 （） DA16 3B9 3C4 3D3 312 双曲线25x216 y2400的实轴长等于，虚轴长等于，顶点坐标为，

10、焦点坐标为，渐近线方程为，离心率等于13直线 yx1与双曲线 x2y 21 相交于 A, B 两点，则 AB =_ 12 4 62314过点 M (3,1) 且被点 M平分的双曲线x2y 21 的弦所在直线方程为。13 3x44y5015双曲线 mx2y21 的虚轴长是实轴长的2 倍，则 m。双曲线 mx2y 21 的虚轴长是实轴长的2 倍， m<0，且双曲线方程为x2y21 ，41 m=。42216已知双曲线的离心率e 5，且与椭圆 x y 1 有共同的焦点，求该双曲线的方程2133解： 在椭圆中，焦点坐标为( ± 10， 0)， c10，又 e caa10 25， a28，

11、 b2 2.2 2 双曲线方程为 x8 y2 1.17已知 F1 、 F2是双曲线 x2y21 的两个焦点， 点 P 在双曲线上且满足F1 PF2 90 ，4求F1PF2 的面积解：P为 双 曲 线 x2y21上的一个点且F1、 F2为焦点4PF1PF22a 4 , F1F22c 2 5 F1PF290 ，在Rt PF1F2 中， PF12PF22F1F2220 PF1PF22PF12PF222 PF1 PF216 ， 202 PF1PF216，PF1PF22 S F1PF21 PF1 PF21218已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F (3,0) , 右顶点为D (2,0),设点 A 1,1 .2（ 1）求该椭圆的标准方程； （