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1、1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.证明：如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为 a 和 c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为2若晶胞基矢 a,b, c 互相垂直，试求晶面族（ hkl）的面间距。解：a,b, c 互相垂直，可令 aai , bbj , cck晶胞体积 va (bc )abc倒格子基矢：b12c )2(bjck )2i(bavabcb22( ca)2(ckai )2jvabcbb32 (a b )2( ai bj )2 kvabcchklGhb1kb2 lb32 ( ijk )而与 （ hkl ）晶面族垂直的倒格矢abc( h ) 2( k

2、 ) 2( l ) 2G 2abc故（ hkl ） 晶面族的面间距d2G22( h) 2( k ) 2( l ) 2abc1( h ) 2( k )2( l ) 2abc3若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？答：通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5 个原子。体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。4试求面心立方结构的（111）和（ 110）面的原子面密度。解：（111）面平均每个（ 111）面有 3 1312个原子。62（ 111）面面积 12a( 2a) 2(2

3、a)22a3a3a222222所以原子面密度(111)243 a 23a2（110）面2112 个原子。平均每个（ 110）面有 424 2（ 110）面面积 a 2a2a 2所以（ 110）面原子面密度(110)222a 2a 25设二维矩形格子的基矢为a1ai , a22aj ，试画出第一、二、三、布里渊区。解：倒格子基矢：b12(a2a3 )2x2ai x2i (a3xk )va 2aab22( a3a1 )2xaxj2j1 2j1 b1 jva 2a2a2 a2所以倒格子也是二维矩形格子。b2 方向短一半。最近邻 b2 , b2 ;次近邻 b1, b1,2b2 , 2b2 ;再次近邻

4、b1b2 ,b1b2 , b2b1 , b2b1;再再次近邻 3b2 , 3b2 ;做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：第一布里渊区是一个扁长方形；第二布里渊区是2 块梯形和2 块三角形组成；第三布里渊区是2 对对角三角和4 个小三角以及2 个等腰梯形组成。6六方密堆结构的原胞基矢为：a11 ai3 aj22a21 ai3 aj22a3ck试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。解：原胞为简单六方结构。原胞体积：v a1 (a2a3 )1 a(i3 j ) 1 a( i3 j ) ck 221 a(i3 j ) 1 ac( j3i )221 a

5、2c(i3 j ) ( 3ij )43 a2 c2倒格子基矢：b12 ( a2a3 )2 1 a( i3 j ) ck 2 (i3 j )v323aa 2 c2b22 ( a3a1 )2 ck1 a(i3 j )2 ( i3 j )v3 a 2 c2a2b32a2 )2k(a1cv由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。（注意： 倒格子是简单六方，而不是六方密堆）选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直

6、平分面构成的六角柱体。所以第一布里渊区是一个六角柱体。比倒格子六方要小。7略8、证明一维 NaCl 晶体的马德隆常数为2 ln 2证明：任选一参考离子 i ，则左右两侧对称分布，令rijaj a；这里 a为晶格常数（正负离子 最近距离）那么，有：12 1111.;jaj1234其中，异号为；同号 为 .x 2x 3x 4利用展开式： ln(1x )x23.4令 x1，得：ln21111.2342 ln2r9、若离子间的排斥势用e来表示， 只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数 和 应如何决定。解：设最近邻离子间距离为 r ，则 rijaj r （以 i 离子为原

7、点）er ij/e 2，（最近邻， rijr ）40riju( rij)e2，（最近邻以外）40rij总相互作用能为：UNe2N1er /240rj (i )aj最近邻UN4e2Z e r /；.( 1)20r其中Z为最近邻离子数由平衡条件：U0；得：rrr 0e2Z e r 0 /.(2)40r 02得： UNe 21 .(3)240 r0r 0结合能 EcU( r0 )对于 NaCl等离子晶体：K12U.(4)9Nr0r 2rr 012 e21Zer 0 /.( 5)Kr 03218r040将( 2)代入( 5)得：K12e2e21.(6)184342r 00r 00r 0e 2r 0.(7)2 e 2720 r 04 K由( 2)得：4e 2e r0 /.(8)0r 02Z10、如果 NaCl 结构晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能及离子间的平衡距离将产生多大变化。解：总相互作用能UNe2B.(1)2 40rr nUNe 2nB0.( 2)r240r02r 0n 1r r 04 0nB1得：r 0n1.('e2.2 )由( 2)得：B4e2r0n 1.( 3)0n( 3)代入 (1)得： U( r 0 )N e214