复变函数期末考试题大全(东北师大)

1、一、填空题（每小题2 分）1、复数122i 的指数形式是2、函数 w = 1 将 SZ 上的曲线 x1 2y 21变成 SW ( wu iv ) 上z的曲线是3、若 1ez0 , 则 z 4、 1 ii =5、积分2i2dz =2z26、积分 1sin z dz2 iz 1z7、幂级数1i n zn的收敛半径 R=n 08、 z 0 是函数111 的奇点ezz9、 Resezz21z 110、将点,i,0分别变成 0,i,的分式线性变换 w二、单选题（每小题2 分）1、设为任意实数，则 1 =（）A无意义B等于1C是复数其实部等于1D是复数其模等于12、下列命题正确的是（）A i2iB零的辐角

2、是零C 仅存在一个数 z, 使得 1zD1 z izzi3、下列命题正确的是（）A函数 f zz 在 z 平面上处处连续B 如果 fa 存在 , 那么 fz 在 a 解析C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D 如果 v 是 u 的共轭调和函数 , 则 u 也是 v 的共轭调和函数4、根式 31 的值之一是（）A 13 iB3iC3iD13 i222222225、下列函数在 z 0 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（）1cos 11ABCctgDLnz1ezsinzz6、下列积分之值不等于0 的是()AdzBdzCdzDdz311 z22z4z 1 coszz 1z 1zzz227、函数 fz

3、arctan z 在 z0 处的泰勒展式为（）An z 2 n（z）B1n z2 n 1（z）12n1<12n<1n0n 0Cnz2n 1（）Dn z2n（ z <1）12n1z <11n0n02n8、幂级数(1) n 1 z2n 在 z1内的和函数是（）n 0A1B1C1D11 z21 z2z211 z29、设 ai ，C： zi =1，则z cos za2 dz（）CiA0B2iC2ieD icosie、将单位圆 z 1共形映射成单位圆外部w1的分式线性变换是（）10A w eiz a ( a1)Bw eiz a ( a1)1 az1azC w ei z a ( a

4、1)Dw eiz a ( a1)z aza三、判断题（每小题2 分）1、（）对任何复数 z,z22z 成立2、（）若 a 是 f z和 g z的一个奇点 , 则 a 也是 fzg z的奇点3、（）方程 z7z3120 的根全在圆环 1 z2 内4、（） z= 是函数 f zz52 的三阶极点1 z5、（）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题6 分）1、已知 f zx 2axyby 2i (cx 2dxyy 2 ) 在 Sz 上解析 , 求 a,b,c,d的值2、计算积分5z22dzz 2 z( z1)3、将函数 f zz1 在 z1的邻域内展成泰勒级数 , 并指出收敛范围z14、计算实积分

5、I=x2dx0(x 21)( x 24)5、求 f ( z)1在指定圆环 2zi内的洛朗展式z216、求将上半平面 Im z0 共形映射成单位圆 w 1的分式线性变换w L z ，使符合条件L i0， L i0五、证明题（每小题7 分）1、设（ 1）函数 f ( z) 在区域 D 内解析（2）在某一点 z0D 有 f ( n ) ( z0 )0 ，（ n1,2,）证明： f ( z) 在 D 内必为常数2、证明方程 ez5zn10 在单位圆 z 1内有 n 个根一填空题（每小题2 分，视答题情况可酌情给1 分，共 20 分）5i12 k14e 6， 3(2k+1)i ,(k=0, 1,2 )，

6、4ei ln 2 e 4，2 u(k=0, 1, 2 )25i6 0 ,71可去， 9e， 101, 82z32二 单选题（每小题2 分，共 20 分）1D2D3A4A5B6B7C8D9A10A三 判断题（每小题 2 分，共 10 分）12345四 计算题（每小题 6 分，共 36 分）1 解： ux 2axy by 2 , vcx 2dxy y 2uxvy2xaydx2 yu yvxax2by2cxdy解得 : ad 2, b c12 解：被积函数在圆周的z2 内部只有一阶极点z=0及二阶极点 z=1Re s f ( z)5z22( z1)2z 0z 0Re s f ( z)5z222z2z

7、1z z1z 15z2dz =2i(-2+2)=0z2 z( z1)23 解： fzz1z1211n=1111z 1 nz1z 1n 022（ z 1 <2）4 解:被积函数为偶函数在上半 z 平面有两个一阶极点 i,2iI=1x 2dx2(x 21)( x 24)=1 2 i Re s f ( z) Re sf (z)2ziz 2i3 分 5 分6 分2 分5分6 分4 分6分1 分2 分3 分= iz2z25 分4)z iz 2i( z i )( z2( z21)( z 2i )=6 6 分5 解：f ( z)11 分i)( zi )( z=113 分( zi ) 22i1zi=1(

8、1) n(2i )n2 z i6 分( z i ) 2n 0(z i )n6 解:w =L(i)=kzi2 分ziwk2i 3 分( z i ) 2wL (i )0ki4 分wi zi6 分z i五 证明题（每小题 7 分，共 14 分）1证明设k:()f ( z) 在 z0 解析:z z0 R k D由泰勒定理f ( z)f (n ) ( z0 ) ( zz0 )n( zkD) 2分n 0n!由题设 f ( n ) ( z0 ) 0f ( z)f ( z0 ) ， (zkD) 4分由唯一性定理f ( z)f ( z0 )( zD )7 分2 证明：令 f ( z)5zn ， ( z) ez1

9、2 分(1） fz及z在 z1解析(2） z1上， fz5zn5zez1 ezz1 e 1 <54 分1 e故在 z1上 fzz，由儒歇定理在 z1内N ( f zz , z 1) N ( f z , z 1) n7 分一、填空题（每小题2 分）1、 cos5i sin 52的指数形式是cos3i sin 332、 i i =3、若 0<r<1，则积分zln 1z dzr4、若 v 是 u 的共轭调和函数，那么 v 的共轭调和函数是5、设 z0 为函数 f ( z) = z3sin z3 的 m阶零点，则 m =6、设 za 为函数 f z 的 n 阶极点，那么 Res fz

10、=z afz7、幂级数zn的收敛半径 R=n 0n!8、 z 0 是函数 z5 sin1 的奇点z9、方程 z7z3120 的根全在圆环内10、将点,i,0分别变成 0,i,的分式线性变换 w二、单选题（每小题2 分）1、若函数 f z 在区域 D内解析，则函数 f z 在区域 D 内（）A 在有限个点可导B存在任意阶导数C 在无穷多个点可导D存在有限个点不可导2、使 z22成立的复数是（）zA 不存在B唯一的C纯虚数D实数cos z2 dz3、z)（）z 2 (1A i sin1Bi sin1C2 i sin1D 2i sin14、根式 3i的值之一是（）A3iB3iCiDi22225、 z

11、是 sin z 的（）zA 可去奇点B一阶极点C一阶零点D本质奇点6、函数 fz1，在以 z0为中心的圆环内的洛朗展式z z 1z4有 m 个，则 m=()A1B2C3D47、下列函数是解析函数的为（）Ax 2y 22xyiBx 2xyiC 2( x 1) y i ( y 2x22x)D x3iy 38、在下列函数中， Res f z0的是（）z0Afzez1Bfzsin z1z2zzCfzsin zcos zDfz11zez1z9、设 a i ，C： z i =1，则z cos z2 dz（）CaiA0B2iC2ieD icosie10、将单位圆 z1共形映射成单位圆外部w1 的分式线性变换

12、是（）A w eiz a ( a1)Bw eiz a ( a1)1az1azC w eiz a ( a1)Dw eiz a ( a1)zaza满分10三、判断题（每小题2 分）得分1、（）幂级数zn 在 z <1 内一致收敛n 02、（）z= 是函数 1cos z的可去奇点z23、（）在柯西积分公式中，如果 aD ，即 a 在 D 之外，其它条件不变，则积分1f z dz0， z D2 i C z a4、（ctg 10的去心邻域内可展成洛朗级数）函数 f z ez 在 z5、（）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题6 分）1、计算积分Cxyix 2dz，C： i1+i 的直线段2、求

13、函数 fzz在所有孤立奇点（包括）处的留数z1z213、将函数 fz1iz1 在 z i 的去心邻域内展成洛朗级数 , 并指出收敛域zi4、计算积分C z 2dz, C:x2y 22y1 ，满分 14z212d得分5、计算实积分 I=( a1)0acos6、求将单位圆 z1共形映射成单位圆 w1的分式线性变换 w L z使符合条件 L10，L112五、证明题（每小题7 分）1、设函数 fz在区域 D 内解析，证明：函数 i fz 也在 D 内解析2、证明：在 z0 解析，且满足的 f111， f11 （ n 1,2）的函数 f z2n2n2n2n不存在一填空题（每小题2 分，视答题情况可酌情给

14、1 分，共 20 分）1ei19，2e 22k(k=0, ±) ， 3 0， 4u ， 5 96n，7， 8本质， 91z2， 101z二 单选题（每小题 2 分，共 20 分）1B2D3C4D5A6C7C8D9A10A三 判断题（每小题2 分，共 10 分）12345四 计算题（每小题6 分，共 36 分）1解： C 的参数方程为： z=i+t, 0t1 dz=dtx y ix2 dz t 1 it 2dt =1i1C0232解:z 1为 fz 一阶极点z 1 为 f z 二阶极点Re s fzz1z1z 1z14Re s fzz112 z1z 1z4Res fz0z3 解： f

15、z1i1=1i11zz iz2iz i12i=z11 nzi nin02in 1（0< zi <2）4 解：在 C 内 f z 有一个二阶极点 z 0 和一个一阶极点 z iRes fz1021z 0zz 0Re s fz211(zi) z i2iz iz1所以原式 2i 02i3分6 分1分2分3 分5 分 6 分2分5分6分1 分3 分5分6 分5 解：令 zeiI1dzz1z z1iza2= 2dzi z 1 z ( aa21) z ( aa21)被积函数在 z1内的有一个一阶极点 zaa21Resf ( z)12za21a2a1I=2i 212i2a 21a211z1z16

16、 解： w22kkL1z22z12111L 1 k2k1 所以 k 2122z12z12于是所求变换w22z2z五 证明题（每小题 7 分，共 14 分）1 证明：设 f(z)=u （x， y） +iv （x，y）f ( z) = u （x，y）-iv （ x， y）i f ( z) = v （ x， y） -i u （x，y）f （z）在 D 内解析， uxvy ,u yvxi f ( z) 四个偏导数为 v x，v y ，-u x ，-u y比较 f （z）的 CR方程i f (z) 也满足 C-R方程1 分3 分5 分6 分2分4 分6 分2分4分且四个偏导数在D内连续i f ( z)

17、在 D 内解析7 分2 证明：假设在 z 0解析的函数 f z 存在且满足 f111， f11 （ n 1,2）2 分2n2n2n2n点列1=1 以 z0 为聚点2n2n在点列1112n上 , f2n2n由解析函数的唯一性定理在 z0 的邻域内 fz= z5 分但在这个邻域内又有f11 矛盾Re s( ezn ,0)8.z_，其中 n 为自然数 .sin z9.的孤立奇点为 _ .z10. 若 z0 是 f (z)lim f ( z)_的极点，则 zz0.三. 计算题（ 40 分）：f (z)1(z1)( z 2)，求 f ( z) 在 D z : 0 | z |1 内的罗朗展式 .1.设1d

18、z.2.|z| 1 cosz3.设 f ( z)C3 27z1 d ，其中 C z :| z | 3 ，试求 f '(1 i ).2n12nwz1在 z0 解析的函数 f z 不存在7分复变函数论试题库梅一 A111复变函数考试试题（一）1、 |z z0 | 1dz_.（ n 为自然数）( zz )n02.sin2 zcos2 z_.3.函数 sin z 的周期为 _.f ( z)11，则 f ( z) 的孤立奇点有 _.4.z2设5. 幂级数nzn 的收敛半径为 _.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是 _.lim znlim z1z2 .zn7. 若 n，则

19、 nn_.4. 求复数z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数 f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f ( z)z(1z) 在割去线段 0Re z1的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线 0Re z1 上岸取正值的那支在z1的值 .复变函数考试试题（二）二 . 填空题 . (20 分)1.设 zi，则 | z |_,arg z_,z _2.设 f (z)(x22 xy) i (1sin( x2y2 ), zx iy C ，则 lim f ( z) _.z 1 i3.dz

20、_.（ n 为自然数）|z z0 | 1 ( zz )n04.幂级数nzn 的收敛半径为 _ .n 05. 若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0 是 f '( z) 的_零点 .6.z的周期为 _.函数 e7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为 _.8.设 f ( z)1，则 f ( z) 的孤立奇点有 _.1z29. 函数 f (z) | z | 的不解析点之集为 _.10. Res( z 41,1)_ .z三 . 计算题 . (40 分)1. 求函数 sin(2z3 ) 的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区

21、域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值 .计算积分： Ii3.| z | dz，积分路径为（ 1）单位圆（ | z| 1）的右半圆 .isin zdzz 2)24.( z求2.四 . 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是f (z) 在 D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理 .复变函数考试试题（三）二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1，则 f ( z) 的定义域为 _.z212. 函数 ez 的周期为 _.3.若 znn2i (11 )n

22、，则 lim zn _.1nnn4.sin 2 zcos2 z_.dz5.|z z0| 1( zz )n（ n 为自然数）_.06.幂级数nxn 的收敛半径为 _.n 07.设 f ( z)1，则 f ( z) 的孤立奇点有 _.z218.设 ez1，则 z_ .9.若 z0 是 f (z) 的极点，则 lim f ( z) _ .z z0z10. Res( en ,0) _ . z三.计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z2ez 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2.试求幂级数n! zn 的收敛半径 .nnn3.算下列积分：ezdz，其中 C是| z |1.C z2

23、 ( z29)4.求 z92z6z2 8z20 在 | z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1. 函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R 及 M，使得当| z|R时| f ( z) |M | z |n ，证明 f (z)是一个至多 n 次的多项式或一常数。复变函数考试试题（四）二 . 填空题 . (20 分)1.1_,Im z_ .设 z，则 Rez1iz1 z2. zn2.若 lim zn，则 lim_.nnn3.函

24、数 ez 的周期为 _.4.函数 f (z)12 的幂级数展开式为 _1 z5.若函数 f(z)在复平面上处处解析，则称它是 _.6.若函数f(z) 在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内 的_.7.设 C :| z | 1，则(z1)dz_ .C8.sin z的孤立奇点为 _.z9.若 z0 是 f (z)的极点，则 lim f (z)_ .z z0Res( ez10.n ,0)_.z三 . 计算题 . (40 分)1. 解方程 z3 1 0 .2. 设 f ( z)ez，求 Re s( f (z), ).2z13.zdz. .|z| 2 (92z )( zi )114.函数

25、 f (z)ez1z 有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四 . 证明题 . (20 分)1.证明：若函数f (z)在上半平面解析，则函数 f ( z) 在下半平面解析 .2.证明 z46z3 0 方程在 1 | z | 2 内仅有 3 个根 .复变函数考试试题（五）二. 填空题 .（20 分）1.设 z1 3i ，则 | z | _,arg z _,z _ .2.当 z_ 时， ez 为实数 .3.设 ez1，则 z _ .4. ez 的周期为 _.5.设 C :| z| 1，则( z 1)dz _ .C6.Res( ez 1,0)_ .z7.若函数 f(z) 在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_。8.函数 f (z)12 的幂级数展开式为 _.1z9.sin z的孤立奇点为 _.z10.设 C 是以为 a 心， r 为半径的圆周，则1ndz _ .（ n 为自然数）a)C (z三 . 计算题 . (40 分)1.z1求复数的实部与虚部 .2.z1计算积分：IRe zdz ，L在这里 L 表示连接原点到 1i 的直线段 .3.求积分： I2d，其中 0<a<1 .0 12a cosa2