复变期末考试与答案

1、精品文档华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005-06 学年第 1 学期 考试科目：复变函数与积分变换考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、单项选择题( 本大题共15 小题，每小题2 分，共 30 分 )在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1下列复数中，位于第四象限的复数是（）A. 4+3iB. -3-3iC.-1+3iD.5-3i2下列等式中，不成立的等式是（）A. z ·z =Re (z ·z )B. arg( 3i )arg( i )C. A rg(3

2、)arg(3)D. z z| z |23不等式| z|3 所表示的区域为（）A. 圆的外部B. 上半平面C.角形区域D. 圆的内部4积分?|z| 3 z2）dz 的值为（A. 8 i22 i4iB.2C.D.5下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（）A. zezB. sin zezC . tan zezD . Re( z)sin z6在复平面上，下列命题中，错误的是（）A. cosz是周期函数B.ez 是解析函数C. eizcos zi sin zD.z2| z |7在下列复数中，使得 ez22i 成立的是（）A. zln 22iB. zln 42iii44C. zln 22iD. zln

3、4 2i。1欢迎下载精品文档8设 C 为正向圆周A 29设 C 为正向圆周A.1B. 02i| z |1,ezdz则积分?c cos z等于（）B2 iC 0D 2| z |2 ,则?C (z1dz等于（）1 i)2C. 2iD. 2 i10以下关于级数的命题不正确的是（）32in1iA. 级数是绝对收敛的B. 级数是收敛的72nn(n 1)n0n 2C.级数1( 1)n iD. 级数1i是收敛的0 2n是收敛的2nnnn 2n11已知 z31i ，则下列正确的是（）i3 i7 iiA. z32e12B. z6 2e 4C. z32e 12D . z6 2e 312下列关于幂级数的叙述，不正确

4、的是（）A. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛B. 在收敛圆外，幂级数发散C.在收敛圆周上，可能收敛，也可能发散D.在收敛圆周上，条件收敛13 z0 是函数ez）的（z sin zA. 本性奇点B. 一级极点C.二级极点D. 可去奇点14 z cos z 在点z处的留数为（）zA.B.C.1D. -115关于limIm z）下列命题正确的是（z 0zA.0B.不存在C.1D.1二、填空题（本大题共5 小题，每小题2 分，共 10 分）16. 复数 z sini cos的三角形式为 _.3317.已知 f ( z) (x2ay2x) i (bxy y) 在复平面上可导，则 a b _.18.设函数 f

5、 ( z) =z3tet dt ，则 f ( z ) 等于 _.0。2欢迎下载精品文档19.幂极数(-1)2nzn 的收敛半径为 _.n 1n20.设 z1 1i, z21 3 i ，求z1_.z2三、计算题（本大题共4 小题，每题7 分，共 28 分）21设 C 为从原点到2 3i 的直线段，计算积分I( x2y)ixy dzCez22.设 f ( z)cos z . (1)求 f (z) 的解析区域， （ 2）求 f ( z).24z。3欢迎下载精品文档23. 将函数1在点 z0 处展开为泰勒级数 .f ( z)( z 1)( z2)1ez 1内展开成洛朗级数 .24. 将函数 f ( z

6、)在圆环 0 | z 1|( z1)2。4欢迎下载精品文档四、综合题（共4 小题，每题8 分，共 32 分）25已知 u(x, y)x2y22x ，求一解析函数f ( z)u( x, y)iv ( x, y) ，并使 f (0)2i 。26. 计算dz.|z| 2 ( z 1)2( z 1)( z 3)。5欢迎下载精品文档1,1t027. 求函数 f (t)1,0t1 的傅氏变换。0,其它28求函数f (t )cos3t的拉氏变换。6欢迎下载精品文档复变函数与积分变换期末试卷答案一、选择题1D. 2. C.3.A 4.D 5.B 6.D7.A 8.C 9.B 10.D 11.B12.D13.C

7、14.A 15.B二、填空题16 zcosi sin, 17. 1, 18.3( zezez1) ,6619. 1,20.13(31)i4三、计算题（本大题共4 小题，每题7 分，共 28 分）21设 C 为从原点到2 3i 的直线段，计算积分I( x2y)ixy dzC解：设曲线 C 的参数方程为 C : z(23i )t 0t 1.I( x2 y)16t6t2 i)(23i )dtixy dz(2 tC016t 2i )(2 3i) dt(23i)( 2t 22t3i ) |10( 4t0102i.22.设 f ( z)ezcos z . (1)求 f (z) 的解析区域， （ 2）求 f

8、 ( z).4z2解： (1) 由方程4z20 得 z2 ，故 f (z) 的解析区域为 C 2, 2 .(2) f ( z)ezcos zz242 分2 分2 分1 分2 分1 分1 分。7欢迎下载精品文档ez (4 z2 )ez (2 z)sin z2 分(4z2 )2ez(4z22z)sin z.1 分所以 f ( z)(4z2 )2123.将函数f ( z)在点 z0 处展开为泰勒级数.( z1)( z2)111分解： f ( z)( z 2)1(z 1)(z 2)(1 z)111 分z)(1 z)2(121znzn3 分2 n 02n 0znzn1 分n 0 2n 1n 0| z |

9、 1.1 分1ez 124.将函数 f ( z)在圆环 0| z1|内展开成洛朗级数.( z1)2n解： ez 的泰勒展式为ezz，2 分n 0 n!且为函数的孤立奇点，1 分。8欢迎下载精品文档n111z 1故 ez 1 的罗朗展式为 ez 1，2 分n 0n!n11ez 11z11 分所以 f ( z)(z 1)2n!(z 1)2n 011 分n 2 .n 0 n!( z 1)四、综合题（共4 小题，每题8 分，共 32 分）25已知 u(x, y)x2y22x ，求一解析函数f ( z)u( x, y)iv ( x, y) ，并使 f (0)2i 。解：由柯西黎曼方程得vu2 y,xy所

10、以 v( x, y)xC ( y)2xy C ( y).2 ydx0vC ( y)u2 x2,2xxy所以 C ( y)yC ( y) dxC2yC.0所以 v( x, y) 2xy2yC.从而 f ( z) x2y22 x (2 xy 2y C )i .又 f (0)Ci2.i 所以 C2.所以 f ( z)x2y22x(2 xy2y 2)i.1 分2 分2 分1 分1 分1 分26. 计算dz.|z| 2 ( z 1)2( z 1)( z 3)解：由柯西积分定理得1 分。9欢迎下载精品文档11原式 2 i1(z 1)( z 23) dz 2 i1(z 1)2 (z 3) dz|z 1|( z 1)|z 1|(z 1)22212 ii( z 1)2 ( z 3) z 1( z 1)( z 3)z 122 2z2 ii( z 1)2 (z 3)2z 116i .81,1t027. 求函数 f (t)1,0t1 的傅氏变换。0,其它解：F()f (t)e i t dt0e i t dt1it dt1e0e it0e i t1i1i01eie i1ii22