复数知识点精心总结

1、.复数知识点考试内容：复数的概念复数的加法和减法复数的乘法和除法数系的扩充考试要求：（ 1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义（ 2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算（ 3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想1.复数的单位为i ，它的平方等于1，即 i 21.复数及其相关概念：复数形如 a +bi 的数（其中 a， bR ）；实数当 b = 0时的复数 a + b i ，即 a；虚数当 b0 时的复数 a +bi ；纯虚数当a = 0 且 b 0 时的复数 a + b i ，即 bi.复数a+i 的实部与虚部a叫做复数的实部，b叫做

2、虚部（注意，都是实数）bab复数集 C全体复数的集合，一般用字母C表示 .两个复数相等的定义：abi cdiac且bd（其中， a，b，c，d， R）特别地 a bi0ab0 .两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：若 z1, z2为复数，则 1 若 z1z20，则 z1z2 . （×） z1 , z2为复数，而不是实数 2若 z1z2 ，则 z1z20.（）若 a, b,cC ， 则 (ab) 2 (bc) 2(ca) 2 0 是 a b c 的 必 要 不 充 分 条 件 . （ 当( ab) 2i 2 ，(bc) 21, (ca) 20 时，上式成立）2. 复平面内的两

3、点间距离公式：d z1 z2 .其中 z1 ，z2 是复平面内的两点z1和 z2所对应的复数，d表示 z1 和 z2 间的距离 .由上可得：复平面内以z0 为圆心，r为半径的圆的复数方程：z z0r（r0）.曲线方程的复数形式： zz0r表示以 z 0 为圆心， r 为半径的圆的方程. zz1zz 2表示线段 z1z2 的垂直平分线的方程 . zz1zz22a（ a0且 2az1z 2 ）表示以 Z 1， Z 2 为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若 2az1z 2 ，此方程表示线段Z1，Z2）. zz1zz 22a（02az1z 2 ），表示以 Z 1，Z 2 为焦点，实半轴长为a 的双曲

4、线方程（若2az1z 2 ，此方程表示两条射线） .绝对值不等式：设 z ，z2是不等于零的复数，则1 z1z2z1 z 2z1z2 .左边取等号的条件是z2 z1（，且0），右边取等号的条件是Rz2z1（，0）R. z1z2z1 z 2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（，0）z1（R，0）.R，右边取等号的条件是 z2注： A1 A2A2 A3A3A4A n 1 A nA1 A n .3. 共轭复数的性质：zzz1z2z1 z 2zz2a ， z z2bi （ za +bi ）z z| z |2| z |2z1z2z1z2z1 z 2 z1 z2z1z1 （ z20 ）zn( z) nz

5、2z2注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×） 之差可能为零，此时两个复数是相等的4复数的乘方：z nz z z.z(nN)n对任何 z ， z1 , z2C 及 m, nN 有zm zn zm n , ( zm)n zm n, ( z z) nznzn1212注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如 i 21,i 4 1若由11i 2(i 4 ) 2 1 2 1 就会得到 11 的错误结论 .在实数集成立的| x | x 2 .当 x 为虚数时， | x |x2 ，所以复数集内解方程不能采用两边平.方法 .常用的结论：i 21,i 4n 1i,i 4n 21,

6、i 4n3i ,i 4n1i n i n 1 i n2 i n 3 0, (nZ )(1 i ) 22i , 1 ii, 1ii1i1i若是1的立方虚数根，即13 i，31,2,1,12 0, nn 1n 2 0(nZ )22则.5. 复数 z 是实数及纯虚数的充要条件： z R z z .若 z0 ， z 是纯虚数zz0 .模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数 .特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注： | z | z | .6. 复数的三角形式： zr (cosi sin ) .辐角主值：适合于 0 2的值，记作 arg z .注： z 为

7、零时， arg z 可取 0,2) 内任意值 .辐角是多值的，都相差2的整数倍 .设 aR, 则 arg a0, arg(a), arg ai, arg( ai )3.22复数的代数形式与三角形式的互化：a bi r (cosi sin) ， ra 2b 2， cosab, sin.rr几类三角式的标准形式：r (cosi sin)rcos() i sin()r (cosi sin)rcos()i sin()r ( cosi sin)r cos()i sin()r (sini cos)r cos()i sin()227. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程 ax 2bxc 0(a0) 时，应注意下述问题：当 a, b, cR时，若 0，则有二不等实数根x1,2b；若 =0，则有二相等实数根2axb；若 0，则有二相等复数根x1, 2b |i（ x1,2 为共轭复数） .1, 22a2a.当 a, b, c 不全为实数时，不能用方程根的情况 .不论 a, b, c 为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：r1 (cos 1i sin2 ) r2 (cos2i sin2 ) r