复变函数和积分变换重要知识点归纳

1、.WORD. 格式 .复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：zxiy ，x, y 是实数, xRe z , yIm z .i 21 .注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示zx2y2；1）模：2）幅角：在z0 时，矢量与x 轴正向的夹角，记为 Argz （多值函数）；主值 arg z 是位于 (, 中的幅角。3）arg z 与 arctan y 之间的关系如下：x当 x0,arg zarctan y ；xy0,arg zarctan y当 x0,x；yy0,arg zarctanx4）三角表示 ：zcos i sin，其中arg z；注：中间一定是 “ +

2、号”。zzz ei，其中arg z 。5）指数表示 ：(二) 复数的运算1.加减法：若z1x1iy1, z2x2iy2 ，则 z1 z2x1x2i y1 y22.乘除法：1）若111, z22iy2 ，则zxiyxz1z2x1 x2y1 y2i x2 y1x1 y2 ；zx iy1x1iy1x2iy2x x2y yy xy x。1111 2i 1 22 1z2x2iy2x2iy2x2iy 2x22y22x22y222）若z1z1 ei 1 , z2z2 ei 2 , 则.专业资料 .整理分享 .izz1iz1z2 z1 z2 e12 ；1z2e12z23.乘幂与方根1）若2）若zz (cosi

3、 sin)z ei，则 znnn。z (cos ni sin n ) z einzz (cosi sin)z ei，则12k2k( k 0,1,2L n 1) （有n 个相异的 值）n zz ncosi sinnn（三）复变函数1复变函数：w f z ，在几何上可以看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G 的映射 .2复初等函数ezex cos y isin y，在z平面处处可导，处处解析；且1）指数函数 ：ezez 。注：ez 是以 2 i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数： Lnzln z i (arg z 2k) (k 0, 1, 2L ) （多

4、值函数）；主值：ln zi arg z。（单值函数）ln zLnz 的每一个主 值分支 ln z 在除去原点及 负实轴的 z 平面内处处解析，且 lnz1 ；z注：负复数也有 对数存在。（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：ebLna(a 0)；ebLnz( z0)abzb注：在除去原点及负实轴的 z 平面内处处解析，且 zbbzb 1 。sin zeiz e iz ,cos zeize iz, t gzsin z , ctgzcos z4）三角函数 ：2i2cos zsin zsin z,cos z 在 z 平面内解析，且sin zcos z, cos zsin z注：有界性sin z1, co

5、sz1 不再成立；（与实函数不同）14）双曲函数 shzeze z, chzeze z；22shz 奇函数，chz 是偶函数。 shz, chz在 z 平面内解析，且shzchz, chzshz。（四）解析函数的概念1复变函数的导数1）点可导：f z0 = limf z0z f z0 ；z0z2）区域可导： f z 在区域内点点可 导。2解析函数的概念1）点解析：f z 在 z0 及其 z0 的邻域内可导，称f z 在 z0 点解析；2）区域解析： f z 在区域内每一点解析，称 f z 在区域内解析；3）若f ( z) 在 z0 点不解析，称 z0 为 f z 的奇点；3解析函数的运算法 则

6、：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍 为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1函数可 导的充要条件 ：f zu x, yiv x, y 在 zxiy 可导u x, y 和 v x, y 在 x, y 可微，且在 x, y处满足 CD 条件：uv ,uvxyyx此时，有 fzuiv 。xx2函数解析的充要条件 ：f zu x, yiv x, y 在区域内解析u x, y 和 v x, y 在 x, y 在 D 内可微，且满足 CD 条件：2uv ,uv ；xyyx此时 fzuiv 。xx注意：若 u x, y , v x, y 在区域 D 具有一阶连

7、续偏导数，则u x, y ,v x, y 在区域 D 内是可微的。因此在使用充要条件 证明时，只要能说明 u, v 具有一阶连续偏导且满足 C R 条件时，函数f ( z)uiv 一定是可 导或解析的。3函数可导与解析的判 别方法1）利用定义（题目要求用定 义，如第二章习题 1）2）利用充要条件（函数以f zu x, yiv x, y 形式给出，如第二章习题 2）3）利用可导或解析函数的四 则运算定理。（函数是以z的形式给f z出，如第二章习题 3）（六）复变函数积分的概念与性 质1） 复变函数积分的概念： f z dznf k zk ，c 是光滑曲 线。limcn1k注：复变函数的积分实际是

8、复平面上的 线积分。2）复变函数积分的性质1）2）f z dz1 f z dzc 1c的方向相反）；cc（与 f zg z dzf z dzcg z dz, , 是常数；cc3）若曲线 c 由 c1 与 c2 连接而成，则fz dzfz dzfz dz 。cc1c23复变函数 积分的一般 计算法31）化为线积分： f z dzudx vdy ivdx udy ；（常用于理论证明）ccc2）参数方法：设曲线 c ：z z t (t) ，其中 对应曲线 c 的起点，对应曲线 c 的终点，则f z dzf z t z (t) dt 。c（七）关于复变函数积分的重要定理与 结论1柯西 古萨基本定理 ：

9、设 f z 在单连域 B 内解析，c 为 B 内任一闭曲线，则? fz dz0c2复合 闭路定理： 设 f z 在多连域 D 内解析，c 为 D 内任意一条 简单闭曲线，c1, c2 ,L cn 是 c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以 c1 , c2 ,L cn 为边界的区域全含于 D 内，则n ? f z dz? f z dz, 其中 c 与 ck 均取正向；ck 1 ck ? f z dz0 ，其中 由 c 及 c1 (k 1,2,L n) 所组成的复合 闭路。3闭路变形原理：一个在区域 D 内的解析函数 f z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在 D 内作连续变形而改变它的值，

10、只要在变形过程中 c 不经过使 f z 不解析的奇点。4解析函数沿非 闭曲线的积分：设 f z在单连域 B 内解析，G z 为f z 在 B 内的一个原函数，则 z2f z dzG z2 G z1( z1 , z2 B)z1说明：解析函数 fz 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。 柯西积分公式：设 f z 在区域 D 内解析，c 为 D 内任一正向 简单闭曲线，c 的内部完全属于 D ，z0 为 c 内任意一点，则fz?c zdz 2 if z0z046高阶导数公式：解析函数 fz 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为f zn 1 dz2i f n z0(n 1,

11、2L )cn!? ( z z0 )其中 c 为 fz 的解析区域 D 内围绕 z0 的任何一条正向 简单闭曲线，而且它的内部完全属于D 。7重要 结论：1dz2 i,n 0 。 （是包含 a 的任意正向 简单闭曲线）?c( z a) n 10,n 0c8复变函数积分的计算方法1）若f z 在区域 D 内处处不解析，用一般积分法f z dzf z t z t dtc2）设 f z 在区域 D 内解析，c 是 D 内一条正向 简单闭曲线，则由柯西 古萨定理，?fz dz 0cc 是 D 内的一条非 闭曲线，z1 , z2 对应曲线 c 的起点和 终点，则有z2cf z dzf z dz F z2

12、F z1z13）设 fz 在区域 D 内不解析fzdz2i fz0? zzc0曲线 c 内仅有一个奇点 ：（f ( z) 在 c 内解析）fz2in 1dzfn zcz )n!0? ( z0曲线 c 内有多于一个奇点： ? fnz dz （ci 内只有一个奇z dzk 1? fcck点 zk ）5或： f z dz 2nRe s f ( z), zk （留数基本定理）i?k1c若被积函数不能表示成f z，则须改用第五章留数定理来 计( z zo )n 1算。（八）解析函数与调和函数的关系1调和函数的概念：若二元实函数 ( x, y) 在 D 内有二阶连续偏导数220 ，且满足y2x2( x,

13、y) 为 D 内的调和函数。2解析函数与调和函数的关系解析函数fzuiv 的实部 u 与虚部 v 都是调和函数，并称虚部v 为实部 u 的共轭调和函数。两个调和函数 u 与 v 构成的函数 f ( z) u iv 不一定是解析函数；但是若 u, v 如果满足柯西 黎曼方程，则 uiv 一定是解析函数。3已知解析函数 f z 的实部或虚部，求解析函数 f zuiv 的方法。1）偏微分法 ：若已知实部 uu x, y ，利用CR 条件，得 v ,v ；xy对 vu 两边积分，得vu dygx（*）yxx再对（*）式两边对 x 求偏导，得 vxudyg x （* ）xx由 CR 条件， uv ，得

14、uxudygx ，可求出g x ；yxyx6代入（* ）式，可求得虚部 vudy g x。x2）线积分法：若已知实部 uu x, y ，利用CR 条件可得dvv dxv dyu dxu dy ，xyyxx, y故虚部为 vx0 , y0udxu dy c ；yx由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中x0 , y0 与x, y是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部 uu x, y ，根据解析函数的导数公式和CR 条件得知，fzui vui uxyxy将此式右端表示成 z 的函数 Uz，由于 fz 仍为解析函数，故fzUz dzc（为实常数）c注：若已知虚部v 也可用类

15、似方法求出 实部 u.（九）复数项级数1复数列的极限1）复数列 nnn（）收敛于复数a bi的充要条件 为 aib n 1,2Llim an a,lim bn b（同时成立）nn2）复数列n 收敛实数列 an, bn 同时收敛。2复数项级 数1）复数项级数n (nanib n ) 收敛的充要条件是 级数an 与bn 同n0n0n 0时收敛；2）级数收敛的必要条件是limn0 。n7注：复数项级数的敛散性可以 归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幂级数的敛散性1幂级 数的概念 ：表达式cn (zz0 ) n 或cn zn 为幂级数。n 0n 02幂级 数的敛散性1）幂级数的收敛定理 阿

16、贝尔定理 (Abel) ：如果幂级数cn zn 在n0z0 0 处收敛，那么对满足 z z0 的一切 z ，该级数绝对收敛；如果在 z0 处发散，那么对满足 z z0 的一切 z ，级数必发散。2）幂级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收 敛；也可能发散。3）收敛半径的求法 ：收敛圆的半径称收 敛半径。比值法cn 10，则收敛半径 R1；如果 limncn根值法如果如果limcnn0 ，则 R，则 R0 ，则收敛半径 R1 ；说明在整个复平面上 处处收敛；0 ；说明仅在 zz0 或 z0 点收敛；注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收 敛半径。

17、（如cn z2n ）n 03幂级 数的性质1）代数性质：设an zn ,bn zn 的收敛半径分别为 R1 与 R2 ，记n0n 0Rmin R1, R2 ，则当 zR 时，有8( anbn )znan znbn zn（线性运算）n 0n 0n 0(an zn )(bn zn )(anb0an 1b1La0 bn ) zn（乘积运算）n 0n 0n 02）复合性质：设当rfan，当z R时，g z解析且时，nn 0g z r ，则当 zR 时，f g z an g z n 。n 03）分析运算性 质：设幂级数an zn 的收敛半径为 R0 ，则n 0其和函数 f zan zn 是收敛圆内的解析

18、函数；n 0在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且fznan zn 1n 0zR在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变； zfz dzanzn 10n0 n1zR（十一）幂函数的泰勒展开1.泰勒展开：设函数 f z 在圆域 zz0R 内解析，则在此圆域内fz 可以展开成 幂级数fnz0n；并且此展开式是唯f zn!z z0n 0一的。注：若f z 在 z0 解析，则 f z 在 z0 的泰勒展开式成立的 圆域的收敛半径 R z0 a ；其中 R 为从 z0 到 fz 的距 z0 最近一个奇点a 之间的距离。2常用函数在 z00 的泰勒展开式91）ez1 zn1 zz2z3LznLzn 0 n!2!

19、3!n!2） 1zn1 z z2L zn Lz 11 z n0sin z(1)nz2 n 1zz3z5L(1)nz2n 1 Lz3）(2 n1)!3!5!(2 n1)!n0cos z( 1)n z2 n1z2z4L(1)nz2nLz4）(2 n)!2!4!(2 n)!n03解析函数展开成泰勒 级数的方法c1 f nz，于是f zcnz zn。1）直接法：直接求出nn!0n 002）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及 幂级数的代数运算、复合运算和逐 项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幂函数的洛朗展开1. 洛朗级数的概念：cn z z0n ，含正幂项和负幂项 。n2洛朗展开定理 ：设函数

20、f z 在圆环域 R1 zz0R2 内处处解析，c 为圆环域内绕 z0 的任意一条正向 简单闭曲线，则在此在圆环域内，有 f zcn zz0n，且展开式唯一。n3解析函数的洛朗展开法：洛朗 级数一般只能用 间接法展开。*4 利用洛朗级数求围线积分：设 f z在 r zz0R 内解析，c 为rz z0 R 内的任何一条正向 简单闭曲线，则?cf z dz 2 ic 1 。其中c 1为 f ( z) 在 r z z0 R 内洛朗展开式中1的系数。zz0说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中 ( z z0 ) 1 的系数。10（十三）孤立奇点的概念与分类1。 孤立奇点的定 义 ：f z 在

21、z0 点不解析 ,但在 z0 的 0 z z0 内解析。2。孤立奇点的类型：1）可去奇点 ：展开式中不含 z z0 的负幂项；f zc0 c1 z z0c2 z z02L2）极点：展开式中含有限项 z z0 的负幂项；f zc mc ( m 1)Lc 1c0 c1( z z0 ) c2(z z0 )2Lg z,( z z0 )m( z z0 )m 1( z z0 )( z z0 ) m其中 gz c mc ( m 1) (z z0 ) Lc 1 ( zz0 )m 1c0 ( z z0 ) mL 在 z0 解析，且 g z00, m1,c m 0 ；3）本性奇点 ：展开式中含无穷多项 z z0

22、的负幂项；f z Lc mLc 1c0 c1 (z z0 ) L cm ( z z0 )mL( zz )m(z z )00（十四）孤立奇点的判 别方法1可去奇点：0 常数；lim f zczz02极点：lim f zz z03本性奇点：lim f z不存在且不 为 。zz04零点与极点的关系1）零点的概念：不恒为零的解析函数 f z ，如果能表示成fz( zz0 )mz ，其中z 在 z0 解析，z00, m 为正整数，称 z0 为 fz 的 m 级零点；2）零点级数判别的充要条件11z0 是 fz 的 m 级零点ffnz00, (n 1,2,L m 1)mz003）零点与极点的关系：z0是

23、fz 的 m 级零点z0 是1 的 m 级极点；f z4）重要结论若 za 分别是 z与z 的 m 级与 n 级零点，则za 是z gz 的 mn 级零点；当 mn 时，za 是z的 m n 级零点；z当mn时，a是z的n m 级极点；zz当 mn 时，za 是z的可去奇点；z当 mn 时，za 是zz 的 l 级零点，lmin( m, n)当 mn 时，za 是zz 的 l 级零点，其中lm(n)（十五）留数的概念1留数 的定义：设 z0 为 fz 的孤立奇点， fz 在 z0的去心邻域0 zz0内解析，c 为该域内包含 z0 的任一正向 简单闭曲线，则称积分 1fz dz 为 fz 在 z

24、0 的留数（或残留），记作Re s f z, z02i ?c1fzdz2 i ?c2留数的计算方法若 z0 是 fz 的孤立奇点，则 Re s f z, z0 c 1 ，其中c 1 为 fz在z0 的去心邻域内洛朗展开式中 (zz0 ) 1 的系数。1）可去奇点处的留数：若0 是f z的可去奇点，则0zRes f z , z 02）m 级极点处的留数12法则 I若 z0是 f z 的 m 级极点，则m 1Res f z , z0 1limd m 1 ( z z0 )m f z (m1)! z z0dz特别地，若z0 是 fz的一级极点，则 Re s f z , z0 lim( z z0 ) f

25、 zz z0注：如果极点的 实际级数比 m 低，上述规则仍然有效。法则 II设 f zP z ，P z ,Qz 在 z0 解析，Pz0 0,Q zQ z0 0,Q z0 0P zP z0，则 Re s, z Q z0Q z0（十六）留数基本定理设 f z 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z2 L , zn 外处处解析， c 为 D 内包围诸奇点的一条正向 简单闭曲线，则? f z dz 2 iRe s fz , zn cn 1说明：留数定理把求沿 简单闭曲线积分的整体 问题转化为求被积函数 f z 在 c 内各孤立奇点 处留数的局部 问题 。积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念F f

26、 (t )f (t )e j wt dtF ( w)13F 1F( )1F ( )e j t df (t )2二、几个常用函数的傅里叶 变换F e(t )1jFu(t )1( )jF (t )1F1 2()三、傅里叶变换的性质F f (tt)ejwt 0F f (t )位移性（时域）：0F ej w0tf (t)F ( w)ww w0F ( ww )位移性（频域）：0位移性推 论：01 F ( w0F (w0Fsin w t f (t )w )w )2 j位移性推 论：01 F (w0)F ( w0Fcos w t f (t)ww )2微分性（时域）：F f(t )( jw )F ( w)（t, f (t )0 ），F f ( n) (t)( jw) n F ( w) ，t, f (n1) (t)0微分性（频域）：F(jt ) ft Fw,F(jt ) n f (t )F (n )