信电复变与积分变换序--Ch11

1、11 同学们同学们: 想深入了解和探索大自然 的奥秘吗？ 想在现代科学的自由王国 里畅游吗？ Now, Study Functions of One Complex Variable & Integral Transformations 复变函数与积分变换 主讲：马忠泰（教授）主讲：马忠泰（教授） Email：zhongt_2021-12-1311 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 Functions of One Complex Variable & Integral Transformations Chapter 0 小序（Miniature Overture） 0.1

2、 概略(Abridgment )0.1.10.1.1 单复变量复值函数，简称复变量函数或复变函数，也称为解析函数；其最高级的称谓是：复分析复分析。 1.1. 解析函数（代数、分析、几何理论）；解析函数（代数、分析、几何理论）； 2. 2. 积分变换（积分变换（Fourier、Laplace变换）。变换）。萌芽：萌芽：16世纪中叶，Cardan(意大利）1545年在解三次方程时，产生了负数开平方的思想，即 i 的产生。但当时谁也讲不出这种表示有何好处！主要研究对象:22021-12-1311雏形：关于复数理论最系统的叙述，是由Euler(1707-1783，瑞士数学家)做出的。他在1777年系统

3、的建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数的关系，创建了复变函数论的一些基本定理，并逐渐用到水力学和制图学上。 0.1.2 复变函数的创始人1. Augustin Louis Cauchy (1789.8.211857.5.23) 法国数学家。高产而轻率，与数学王子相反, 789篇论文。 2. Georg Friedrich Bernhart Riemann (1826.9.171866.7.20) 德国数学家、数学物理学家。黎曼把数学向前推进了几代人的时间。 3. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815.10.311897.2.19) 德国数学家，现代

4、分析之父。 32021-12-1311 0.2 应用： a). 各种应用数学分支上：计算科学，模糊理论，信息、数字逻辑、信号，理论物理，流体力学，天体力学，弹性力学，经络学以及生命科学等等。 b). 纯粹数学的各个分支上：代数，解析数论，微分方程，概率论，抽象空间学及八十年代新兴的学科“大范围内分析学”等等都有其广泛而深刻的应用且许许多多的理论往往借往往借助于复变函数的理论才能得以彻底解决助于复变函数的理论才能得以彻底解决。 c). 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。我们以后要学习的计算数学、信息处理、数字信号等等课程都大量地运用积分变换。其中，信号处理基本上就是复变函数

5、与积分变换的理论与应用，有些内容只不过是换换名词而已！42021-12-13110.3. 特色： 复变函数理论是一种异常谐和一致而且具有复变函数理论是一种异常谐和一致而且具有完整的逻辑系统的理论建筑和应用模型。完整的逻辑系统的理论建筑和应用模型。0.4 实分析学(特别地是高等数学) 所暴露出的缺陷和亟需克服或解决的迫切性 复变函数是初等实分析学（特别是高等数学）的主要后继课，是线性代数等理论的完备和深入。高等数学、线性代数等理论所反映出的许许多多的不能解决的问题，借助于复变函数的理论不仅可以能够解决，而且相当地容易；其解决的方法更是异常地简洁、独特和有效。例如： 1.代数学基本定理的证明。 2

6、. 211( 1)1nnnxxx(| | 1)52021-12-13110.5 小瞻： 信息、数字、纳米的新时代提出了许许多多的新问题，新要求。要跟上新时代的步伐，要求我们必须通晓一些基本知识，譬如复变函数等，对于我们信电专业的同学尤为重要。通过学习复变函数的一些基本理论，无疑地将会进入到一个新的境地。努力吧！奋斗吧！只要你努力，有信心，有毅力，今天的理论，明天的信电方面的学家正等待着你，正向你靠近，未来必将属于你们！62021-12-13112021-12-137参考用书112021-12-138内容提要： 复复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习

7、复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续本章中的许多概念在形式上与复变函数极限、连续本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广 112021-12-131. 基本概念 00,xyziy当且时 则称为纯虚数。0,yzx特别地，当时 则为实数；.1zxiyzxyiDef形如或.的数称为复数，21,ReIm .iix yzxzyz 其中 合于称为虚数单位， ,分别称

8、为 的实部和虚部记为，R常用符号：2;,1zxiyx yi CRCR12121212,ReRe,ImIm.z zzziffzzzz若则C C.2zxiyzxiyDef与称为互为共轭复数。112021-12-1310111222zxiyzxiy设，则C C12121212121212211212211212222222222()()()/()(),0zzxxi yyzzx xy yi x yx yx xy yx yx yzzizxyxy：)；：；/：().性质： e.g.1. 注：12121212,2Re()z zzzzzzz若，证明， .C20,01,.ii 事实上，若不然，由于则矛盾2. 复

9、数的四则运算 222221|(Re )(Im )|(Re )(Im ) ) ;2 Re,Im.22z zzzzzzzzzzzzzi，=中无 中的那种大小关系，即 不序.域是有C CRC（由性质2即得）注：按照上述运算构成一个域，称为,仍数域.复记为C CC11113. 复平面（Z平面） o实轴虚轴复平面1 1( , )zxiyx y据，可仿实平面建立复平面：zxiyyx注： 1212zzozoz 1 1zxiyoz 由 立得下节中的复数、向量“ ”法间关系:问： Re0,Re0,Im0 Im0Re0,Re0,Im0Im0zzzzzzzz，和各表示复平面 上的哪一部分？C C( , )x yoz

10、 2021-12-13o z1z2 z1+z2z2- z111欧拉资料欧拉资料 Leonhard EulerBorn: 15 April 1707 in Basel, SwitzerlandDied: 18 Sept. 1783 in St. Petersburg, Russia11 欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年的生命历程中，还有25年住在德国柏林（17411766年），其余时间则留在俄国彼得堡。欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。 欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研究工作。 欧拉创用 a，b，c 表示三角形的三条边，用 A，B，C表示对应的三个角(1748)；创用 表示求和符号(1755)；提倡用 表示圆周率(1736)；1727年用 e 表示自然对数的底；还用y表示差分等等。11 欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖，曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外