基本初等函数知识点

1、.指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算（一）根式的概念1、如果 xna, aR, xR, n1，且 nN，那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时， a的 n次方根用符号n a 表示；当 n 是偶数时，正数a 的正的 n 次方根用符号n a 表示，负的 n 次方根用符号n a 表示； 0 的 n 次方根是0；负数 a 没有 n 次方根2、式子 n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数当n 为奇数时， a 为任意实数；当 n为偶数时， a03 、 根 式 的 性 质 ： ( n a )na ； 当 n 为 奇 数 时 ， n ana ； 当 n 为 偶 数 时 ，n a

2、n|a |a(a0) a(a0)（二）分数指数幂的概念mn am (a1、正数的正分数指数幂的意义是：a n0,m, nN , 且 n1)0 的正分数指数幂等于 0m( 1m1)m (a2、正数的负分数指数幂的意义是：an) nn (0, m, n N , 且 n1) 0 的负aa分数指数幂没有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数3、a0=1 ( a 0)a p1/ap ( a 0； p N)4、指数幂的运算性质ar asar s(a 0, r , s R)( ar )sars (a 0, r , s R)( ab) rar br (a0, b0, r R)5 、 0 的正分数指数幂等于

3、0,0 的负分数指数幂无意义。二、指数函数的概念一般地，函数yax ( a0, 且 a1) 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R注意：1指数函数的定义是一个形式定义；2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1三、指数函数的图象和性质函数名称指数函数定义函数 ya x( a0 且 a1) 叫做指数函数a10a1y图象y 1Oya xya xy(0,1)y1(0,1)xOx定义域R值域（ 0,+ ）过定点图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数;.函数值的变化情况a 变化对图象影响y 1(x 0),y 1(x 0

4、),y=1(x=0),y=1(x=0),0 y 1(x 0)0 y 1(x 0)在第一象限内，a 越大图象越高， 越靠近在第一象限内，a 越小图象越高， 越靠近y 轴；a 越大图象越低， 越靠近y 轴；a 越小图象越低， 越靠近在第二象限内，在第二象限内，x 轴x 轴注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（ 1）在 a ， b 上， f (x )ax (a 0且 a1)值域是 f (a), f ( b) 或 f (b), f (a)（ 2）若 x 0，则 f (x )1； f ( x) 取遍所有正数当且仅当x R（ 3）对于指数函数 f (x )ax (a 0 a1)，总有 f (1)a

5、且（ 4）当 a 1 时，若 x 1x 2 ，则 f ( x1 )f ( x 2 )四、底数的平移对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在 f(X) 后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。即 “上加下减，左加右减”五、幂的大小比较常用方法（1）比 差（商）法：（ 2） 函数单调性法；（ 3）中间值法：要比较A 与 B 的大小，先找一个中间值C，再比较A 与 C、 B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与 B 之间的大小。注意：（ 1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。例如：

6、y1 =34,y 2=35（ 2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律 来判断。44例如： y1 =（ 1/2 ） ,y 2 =3 ,（ 3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值 来比较对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0 、1 的大小）进行分组 ，再比较各组数的大小即可。在比较两个幂的大小时，如果能充分利用 “1” 来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a 和 1 与指数x 与 0 之间的不等号同向时，ax 大于1，异向时 ax

7、小于1.对数函数及其性质一、对数与对数的运算（一）对数1对数的概念： 一般地， 如果 a xN(a0, a 1)，那么数 x 叫做以a 为底的对数， 记作： Nx log a N （ a 底数， N 真数， log a N 对数式）说明： 注意底数的限制a0 ，且 a1； a xNlog aNx ；注意对数的书写格式log a N;.两个重要对数：常用对数：以10 为底的对数lg N ； 自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数ln N 指数式与对数式的互化幂值真数ab Nlog a N b底数指数对数（二）对数的运算性质如果 a0 ，且 a1 ， M0 ， N0 ，那么：log a

8、 (M· N )log aM log a2log aMlog a M log a N ；N ；N3 log a Mnn log a M( nR) M1M log a nlog a alog abn log aa bbb log a1=0 log a a=1 a log a N=N log a a b=b注意：换底公式log a blog c b （a 0，且a 1；0，且c1；b 0）log c ac推论 ( 利用换底公式 ) log am bnn loga b ； log a b1mlog b a二、对数函数1、对数函数的概念：函数 y log a x(a 0 ，且 a 1) 叫做

9、对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0， +）注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y 2log 2 x ，x都不是对数函数，而只能称其为对数型函数y log 55(a 0，且 a 1) 对数函数对底数的限制：三、对数函数的图像和性质：函数名称对数函数定义函数 ylog ax(a 0 且 a1) 叫做对数函数a 10a 1yx 1yx 1y loga xyloga x图象(1,0)O(1,0)Ox定义域(0,)值域Rx;.过定点图象过定点 (1,0) ，即当 x1 时， y0 奇偶性非奇非偶单调性在 (0,) 上是增函数在 (0,) 上是减函数logax0

10、( x1)log a x0( x1)函数值的logax0( x1)log a x0(x1)变化情况logax0(0x 1)log a x0(0x 1)a 变 化 对在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高在第一象限内，a 越大，图象越靠近x 轴在第一象限内，a 越小，图象越靠近x 轴图象影响在第四象限内，a 越大，图象越靠近y 轴在第四象限内，a 越小，图象越靠近y 轴四、对数的平移、大小比较与指数函数类似反函数一、反函数定义设函数 yf ( x) 的定义域为A ，值域为 C ，从式子 yf (x) 中解出 x ，得式子 x( y) 如果对于 y 在 C 中的任何一个

11、值，通过式子x( y) ， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么 式 子 x( y) 表 示 x 是 y 的 函 数 ， 函 数 x( y) 叫 做 函 数 yf ( x) 的 反 函 数 ， 记 作x f 1 ( y) ，习惯上改写成yf1( x) 二、反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式yf ( x) 中反解出 xf1 ( y) ；将 x1( y) 改写成 y1ff ( x) ，并注明反函数的定义域三、反函数的性质原函数 yf ( x) 与反函数 y1y x 对称f (x) 的图象关于直线函数 yf ( x) 的定义域、值域分别是其反函数yf1( x) 的值域

12、、定义域若 P(a,b)在原函数 yf (x)的图象上，则'1P (b, a) 在反函数 y f( x) 的图象上一般地，函数y f (x) 要有反函数则它必须为单调函数幂函数及其性质一、幂函数的定义一般地，函数 yx 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数二、幂函数的图象;.函数yx 2y x 31yx 1特征y=xyx 2性质定义域RRR0 ，） x |x0值域R0 ，）R0 ，） y |y0单调性x 0 ，) 增增x(0 ，) 增增(，0减增(，0)减xx所过定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（0，0）（0，0）（0，0）（0，0）三、幂函数的性质1、图象分布： 幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是 偶函数 时，图象分布在第一、二象限( 图象关于 y 轴对称 ) ；幂函数是 奇函数 时，图象分布在第一、三象限( 图象关于原点对称 ) ；幂函数是 非奇非偶函数 时，图象只分布在第一象限2、过定点： 所有的幂函数在 (0,) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)3、单调性： 如果0 ，则幂函数的图象过原点，并且在0,) 上为增函数如果0 ，则幂函数的图象在(0,) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x 轴与 y 轴4、奇偶性： 当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当q （其中 p, q