基本不等式(均值不等式)技巧

1、.基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1）若 a,bR ，则 a2b2(2)R ，则 ab22b2ab若 a,ba2b （当且仅当 a时取“ =”）2. (1) 若 a, bR* ，则 abab(2)若 a,bR* ，则 a b2ab（当且仅当 ab2时取“ =”）2(3) 若 a, bR * ，则 abab(当且仅当 ab 时取“ =”）2(4)a3 b3c33abcabca3b3c3(a、b、cR ，当且仅当a = b = c时“=”3),号成立；abc3a bc33 abcabc(a、 b、c R ) ,当且仅当 a = b= c 时,3“= ”号成立 .4. 若 a,

2、 bR ，则 ( ab) 2a2b2（当且仅当 ab 时取“ =”）22注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（ 2）求最值的条件“一正，二定，三取等”222(3) 熟悉一个重要的不等式链：aba bab 。1122ab;.【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时， 条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知 x54 x21的最大值。，求函数 y4 x452. 当时，求 yx(82x) 的最大值。3：设 0x3，求函数

3、y4x(32x) 的最大值。24、求函数y1( x1)的最小值。x2( x 1)25 已知 x0, y0 ，且满足 3x2 y12 ，求 lg xlg y 的最大值 .6 已知 x， y 为正实数，且 x2 y 2 1，求 x1 y 2的最大值 .27 若 a, b, c0 且 a(a bc)bc42 3 , 求 2abc 的最小值 .技巧一答案：1 解：因4x50 ，所以首先要“调整”符号，又 (4 x2)1不是常数，所以对 4x 24 x5要进行拆、凑项，x5 , 5 4x 0，y 4x 215 4 x1323144 x55 4 x当且仅当 54x1，即 x1 时，上式等号成立，故当x1时

4、， ymax 1。5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。2 解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8 为定值，故只需将y x(8 2x) 凑上一个系数即可。当，即 x 2 时取等号当 x 2 时， y x(8 2x) 的最大值为 8。评注： 本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。3 3 2 x23、解： 0x0 y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 22x 32x9222当且仅当 2 x3 2x, 即 x30, 3时等号成立。42

5、;.4 解析：y1(x1)(x1)11(x 1)x1x 111(x1)x22(x2222(x22(x1)1)1)33x1 x 1121315 ，当且仅当x112 (x1) 即 x2 时，222(x1)2222( x1)“ = ”号成立，故此函数最小值是 5 。 2评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时， 关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、 拆项（常常是拆底次的式子） 等方式进行构造。5、分析lg xlg ylg( xy) ,xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y 是否3x2 y定值， 而已知是3x 与 2 y 的和为定值 12 ，故应先配系数，即将xy 变形

6、为6 ，再用均值不等式 .解： x0, y0lg xlg ylg( xy )lg 3x 2y613x212lg2y1262lg26lg 6当且仅当 3x2y ，即 x2, y3 时，等号成立 .所以 lg xlg y 的最大值是 lg 6 .6 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式a 2 b 2ab2。同时还应化简1y 2中 y2 前面的系数为1，x1 y 2 x2·1 y 2222x·1 y 22 2下面将 x，1y 22 2分别看成两个因式：1y2x 2 (1y 2 )2x 2 y 21322222x ·2 222 4即x 1 y 2·x1

7、y 2322 2 47 分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用ab2ab +b 来解决 . 换个思路，可考虑将2abc 重新组合，变成(a b)(ac) ，而 (ab)( ac) 等于定值;.42 3 ，于是就可以利用均值不等式了 .解：由 a,b, c0,知 2abc( ab) (a c)2( ab)(ac)2a2abacbc242 32 32,当且仅当 bc,即 b c3 1 a时，等号成立 .故 2a b c的最小值为 2 3 2.技巧二： 分离或裂项1. 求 yx27 x 10 ( x1) 的值域。x 12 求函数 y= （1+x） 的值域 .（x1+2x）1 解析一：本题看似

8、无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（ x1）的项，再将其分离。当, 即时 , y2 （ x 1)4（当且仅当 x 1时取“”号）。5 9x1（ x+1）2、解：可将上式转化为y（ x1）-11+2(x+1-1)=（ x+1）=1（212x+1）-3(x） 1（）1 +（）+2 1+x -3当时，x+1>0x+1x>-11（） 22，此时y1（+21+x）22-3x+1当 x<-1时，-（x+1）>01（ ）（1+2（ ）-2 2此时y1（+21+x =-（-1-x,-）2 2+3x+1-x-1所以值域为：（-， 1-1,+)22-322+3技巧三：换元1、求 y

9、x27x 10 (x1) 的值域。x 1;.x22、求函数y5 的最大值 .2x3 、已知正数 x、 y 满足 811，求 x2 y 的最小值。xy、已知 x，y 为正实数，且 x 2y 2 ，求 x y2 的最大值.4211参考答案：1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x 1，化简原式在分离求最值。y2）= t25t4t45(t 1) 7(t1 +10ttt当, 即 t=时 ,y 2t459 （当 t=2 即 x1 时取“”号）。t评注：分式函数求最值， 通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg( x)AB( A 0, B 0)

10、 ， g( x) 恒正或恒负的形式，g( x)然后运用基本不等式来求最值。2 分析 可先令 x 2 t ，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决 .解：令x 2t, t 0, x t 22,则yt(t0)22t1当 t 0时， y 0;112当 t 0时， y4122t12ttt当且仅当 2t = 1，即 t2时，取等号 .t2所以 x3 时 ,取最大值为2 .243 、解法三 ：（三角换元法）82xx8sin令x则有sin2x12y1cosxcos2xy;.x2y828csc2 x2sec2 x8(1 cot2 x)2(1 tan2 x)108cot2 x2 tan2 xsin2

11、 xcos2 x102 (8cot2 x) (2tan2 x)18，易求得 x12,此时 y3 时“= ”号成立，故最小值是 18。技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）8111 、已知正数 x、y 满足 xy，求 x2y 的最小值。12、已知 a， b 为正实数， 2b ab a 30，求函数y ab 的最小值 .y23、设 x, y, z 为正实数， x2 y3z0 ，则 xz 的最小值是 .1 解法：（消元法）由 811得 yx， 由 y0x又 x0x则xyx8x088x 2y x2xx2(x 8)16x 216(x8)1610 2 (x1610 188)x8x8x8x

12、 8x 8。当且仅当 x81612,此时 y3时“ = ”号成立，故此函数最小值是18 。x即 x8 2 b 2 30b30 2b30 2b法一： a b 1，ab b 1· bb 1由 a 0 得， 0 b 15 2t 234t 31令t b+1 ， 1 t 16 ， abt162t · t 81 ab 18 y当且仅当 t 4，即181616 2 （ t t） 34 t tb 3， a 6 时，等号成立。;.x3zy2y2，则可对 xz 进行消元，3 分析 本题也是三元式的最值问题 . 由题意得用 x, z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题 .解：由 x

13、, z0, yx3z ,可得2y2x29z26xz6xz6xz=4 xz3,xz4xz当且仅当x3z,即xy, zy 时，取 “ ” .=3故 y2的最小值为 3.xz技巧五：整体代换(条件不等式 )1：已知 x191 ，求 xy 的最小值。0, y 0 ，且yx2、已知正数 x、y 满足 811 ，求 x2y 的最小值。xy1错解 ：x 0, y 0 ，且1 91 ，x y1 9y29xy12故 xyxx2yxyxy min12 。错 因 ： 解 法中 两 次连 用基 本 不 等 式， 在 x y2 xy 等 号 成立 条 件 是 xy ， 在1929等号成立条件是19即 y9x , 取等号

14、的条件的不一致，产生错误。因此，xyxyxy在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解 ：x0, y 0, 191，xyx19y 9x61016yyx10xyxyy9 x1912 时， xy min16 。当且仅当x时，上式等号成立， 又x1 ，可得 x4, yyy变式： （ 1）若 x, yR且 2 xy1，求 11 的最小值xy(2) 已知 a, b, x, yR且 ab1 ，求 xy 的最小值xy;.2 、解法：（利用均值不等式）8181x16yx 16 yx1x 2y,当且仅当y()(x 2y) 10y10 218x16 yxy

15、xy xyx即 x 12, y3 时“ = ”号成立，故此函数最小值是18 。技巧六：转化为不等式11. 已知 a， b 为正实数， 2b ab a 30，求函数 y ab 的最小值 .2、已知正数 x、 y满足 xyxy3 ，试求 xy 、 x y 的范围。1 解：由已知得： 30 ab a 2b a 2b 22 ab 30 ab 2 2 ab令 u ab则 u2 2 2 u 30 0， 5 2 u 3 2 ab 32 ， ab 18， y118点评：本题考查不等式a b（a, bR）2ab的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式ab a 2b 30 a, b R出 发 求 得 ab

16、 的 范 围 ，关 键 是 寻 找 到（）a b与 ab 之间的关系，由此想到不等式a b（）2aba, b R ，这样将已知条件转换为含 ab 的不等式，进而解得ab 的范围 .1 解法：由 x 0, y 0，则 xyxy3xy3x y2xy ，即 ( xy)2 2 xy30解得 xy1( 舍 ) 或 xy3 ，当且仅当 xy且xyxy3即 xy 3时取“= ”号，故 xy 的取值范围是 9,) 。又 x y3 xy( xy)2(xy)24(xy) 120xy2(舍 )或 x y6，2当且仅当 xy且xyx y3即 xy3时取“ = ”号，故 xy 的取值范围是 6,)技巧六：取平方1、 已

17、知 x， y 为正实数， 3x 2y 10，求函数 W 3x2y 的最值 .2: 求函数 y2 x 152 x( 1x5 ) 的最大值。22解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ba 2 b 222，本题很简单3x 2y 2（ 3x） 2（ 2y）2 23x2y 2 5解法二： 条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。;.W0，W2 3x2y 23x · 2y 1023x · 2y 10 (3x )2·(2y )2 10 (3x 2y) 20 W 202 5解析：注意到 2 x1与 52x

18、 的和为定值。y2(2x152 x) 242 (2 x 1)(52x) 4(2 x1) (5 2 x) 8又 y0，所以 0y 22当且仅当 2x1= 52x ，即 x3故 ymax22 。时取等号。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x)xa 的单x调性。1：求函数 yx25的值域。x242 、若 x、yR ，求 f ( x)x4 (0x1) 的最小值。x1 解：令x

19、24t (t2) ，则 yx25x2414t1 (t 2)x24x2t因 t 0, t11 ，但 t1解得 t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为 y t1在区间 1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数， 故 y5t。2所以，所求函数的值域为5 ,。22 解法一：（单调性法）由函数 f ( x)ax b (a、b0) 图象及性质知，当 x (0,1时，4 是减函数。x函数 f ( x)xx证明：任取 x1 , x2(0,1且 0x1x21 ，则 f ( x1 )f ( x2 )( x1 x2 ) ( 44 )x1x2( x1 x2 ) 4 x2x1( x1x2 ) x1x

20、24 ，x1x2x1x20 x1x21 ，x1x20, x1x2 40 ，x1 x2则 f ( x1 )f ( x2 )0f( x1 )f ( x2 ) ，即 f ( x)x4在 (0,1上是减函数。x;.故当 x1 时， f ( x)x4 在 (0,1上有最小值 5 。x2解法二：（配方法）因0，则有f (x)x4(x) 2 4，易知当 0 x 1x 1xx时，2x 0且单调递减，则 f (x) (2x)24在(0,1上也是减函数，即xxf ( x)x4 在 (0,1上是减函数，当 x 1 时， f ( x)x4在 (0,1上有最小值 5。x4x4得f ( x) 1， 当时 ，解 法 三 ：（ 导 数 法 ） 由 f ( x) xx2x ( 0 , 1 xf ( x )14，则函数f ( x )x4 在(0,1上 是减 函 数 。 故 当 x 1 时，x20xf ( x )x4 在 (0,1上有最小值 5。x解法四：（拆分法） f ( x)x4 (0x 1)( x1)32x 135 ，当且仅xxxx1当 x1时“ = ”号成立，故此函数最小值是5 。评析：求解此类