小专题十等积式与比例式的证明

1、小专题（十）等积式与比例式的证明方法1三点定型法要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形.»针对训练11. 已知：如图，/ ABC =Z ADE.求证：ABAE = AC-AD.2. （滨州中考）如图， ABC 中，/ ABC = 2/C, BD 平分/ ABC 交 AC 于 D.求证：AB-BC = AC-BD.方法2等线段代换法从要证的结论难以找到相似三角形时,往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段,再用三点定型法找相似三角形.针对训练3. 已知：如图，-一ABCD中，E是CB延长线上一点， DE交AB于F求证：AD-AB = AF C

2、E.DCE4. 如图，在 ABC中，点D, E在边BC上，且 ADE是等边三角形，/ BAC = 120°,求证: DE2= BD-CE.5. 如图，已知在厶 ABC中，AB = AC , AD是BC边上的中线，CF/ BA , BF交AD于P点，交 AC 于 E 点.求证：BP2= PE-PF.方法3等比代换法（找中间比）要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡.6.如图，在 ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC 上，且 DE / BC, AQ 交 DE 于点 P求、工 DP PE证匕:=证：BQ QC.7. 如图， ABC中，/ ACB = 90

3、°, CD丄AB于D, E为AC的中点，ED、CB的延长线交于点 F,求证:DF _ BC CF = AC.8. 已知如图，D是厶ABC的边AB上一点，DE / BC ,交边AC于点E,延长DE至点F,使EF =DE,连接BF，交边AC于点G,连接CF.(1)求证:AE = EGAC = CGABC如果 CF2= FG-FB，求证：CGCE = BCDE.方法4等积代换法（找中间积）常用到基本图形的结论找中间积.9. 如图，在 ABC中，AD丄BC于D, DE丄AB于E, DF丄AC于F,求证：AE-AB = AFAC.10. （崇明中考）如图， ABC中，点D、E分别在BC和AC边

4、上，点G是BE边上一点，且/ BAD=Z BGD = Z C,连接 AG，求证:BG = AB AB = BE.!：11. 如图，在 ABC中，AD , BF分别是 BC, AC边上的高，过 D作AB的垂线交 AB于E,交BF于G,交AC的延长线于H，求证：DE2= EG-EH.针对训练参考答案小专题（十）等积式与比例式的证明1 .证明：I/ ABC = Z ADE，/ A = Z A ,AB AD ABC s' ADE. AC = AE，即 AB-AE = AC-AD.2.证明：ABC = 2/ C, BD 平分/ ABC , s' ADB. -AC = BC，即 AB心AO

5、BD./ ABD =/ DBC = /3.证明：在ABCD/ BC， / ADF = / E. ADF CED. AD AF AD AFCE CD'CE AB'C.又/ A为公共角， ABC中，/ A = / C, AB = CD , AD即 AD- AB = AF-CE. 4.证明:/ ADE 是等边三角形， DE = AD = AE , / B + / BAD = 60 °.又/ BAC =/ABD CAE. ae CE-DEAB = AC , D为BC中点， AD垂直平分 =/ ACB. ABC / PBC = / ACB / ADE =/ AED = 60&#

6、176; ./ ADB =/ AEC = 120° ,120 °, / B + / C = 60 °. / BAD =BD AD BD DE，即 DE2= BD-CE. 5.证明：连接 PC.在' ABC 中, CEBC. PB= PC. PBC =/ PCB. T AB = AC , / ABC / PCB ,即 / ABP = / ACP. / CF / AB , / ABP =PC pfpb pf/ F./ ACP = / F.又/ EPC=/ CPF,A PCEs PFC.a pC= pC. / PC= PB, =血，即PB2= PE-PF. 6.

7、证明：在厶 ABQ 中，由于 DP / BQ，/ ADP = / B.又/ DAP = / BAQ , ADPABQ. DP : BQ = AP : AQ.同理 AEPACQ , . PE : QC = AP : AQ. DP : BQ = PE : QC. 7.证明：t/ ACB = 90°, CD 丄 AB，/ A + / ACD =/ ACD +/ BCD，/ ACB = / BDC = 90° ./ A =/ BCD. ABC CBD. 器=CD，即 AC = CD.又t E 为 AC 中点， AE = CE =ED. / A =/ EDA. t/ EDA =/ B

8、DF，/ FCD = / BDF.又/ F 为公共角， FDB FCD. DF BD DF BC CF CD CF AC.、口AE DE EF8.证明：（1） t DE / BC, ADEABC , EFGCBG. AC BC , BCEG=亦.又DE = EF，DE EF AE EG2CF FB- BCBC，ACCG.（2）T CF F&FB， FGCF.又二 CFG/CFB， CFW BFC. 琵=器 / FCE = / CBF" DF / BC，" EFG = /CBFCE =/EFG9.证明:又t/ feg=/ CEF，EFGECFj EC =鬆=憲.許 t

9、 AD 丄 BC , DE 丄 AB，/ ADB =/ AED = 90° ./ ADE +/ BDE =/ ADE +/ DAE. / BDE=/ DAE. ADE ABD. AD = AB,即 AE-AB = AD2.同理： ADF ACD. AF AC = AD 2 AB AD AE - AB = AF-AC. 10.证明：t/ BGD = / C, / GBD = / CBE , BGD BCE. TT = BD ,BC BE 即 BG- BE = BC-BD.又t/ BAD =/ C, / ABD =/ CBA , ABD CBA. = BD，即 BC-BDBC AB22 BG ab=AB . BG - BE = AB，即矗=琵.11.证明：t AD , BF分别是BC , AC边上的高，DE丄AB , / ADB = / BED = 90 ° . / ADE + / BDE = 90 ° , / ADE + / EAD = 90