2019广州市二模(文科)试题及参考答案

1、1 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（文科） 本试卷共 4 页，21 小题， 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置 上. 2 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷 上. 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案

2、；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效 . 4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答 .漏 涂、错涂、多涂的，答案无效 . 5 考生必须保持答题卡的整洁 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 . 1 参考公式： 锥体的体积公式是 V Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高. 3 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1若复数z满足 i z = 2，其中 i 为虚数单位，则z等于 A . -2i B. 2i C. -2 D. 2 2已知集合 A=0,1,2,3,B=XX2

3、X = 0 ，则集合 AIB的子集个数为 A . 2 B . 4 C. 6 D . 8 3. 命题对任意 x，R，都有X3 X2 ”的否定是 A .存在Xo R，使得Xo - Xo B.不存在Xo R，使得X3 -对 3 2 3 2 C.存在Xo R，使得Xo - Xo D.对任意X，R,都有X- X 4. 下列函数中，既是偶函数又在 0,匸：上单调递增的是 A . y = . x B . y = -x2 1 C . y = cos X D . y = x 1 5. 有两张卡片，一张的正反面分别写着数字 0与1，另一张的正反面分别写着数字 2与3 , 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两

4、位数为奇数的概率是试卷类型：A 2019. 4 2 1 1 1 A . C . 6 3 2 6. 一个几何体的三视图如图 1,则该几何体 的体积为 A . 12 二 B . 6 二 C . 4 二 D . 2 二 7.设Sn是等差数列an !的前n项和，公差d = 0 , 1 r 2d 侧视图 若Si =132旦-ak =24，则正整数k的值为 A. 9 B . 10 C. 11 D . 12 &在 ABC 中，乙ABC =60 , AB=1, BC =3 , 则sin . BAC的值为 -3 14 14 14 3, 21 14 2 2 X y 9设RE分别是椭圆C:二 2 =1 a

5、b 0的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1 a b 的中点在y轴上，若 PF1F30，则椭圆C的离心率为 1 C.- 3 10.将正偶数2,4,6,8,|按表1的方式进行 a ij -2014，则 i -j的值为 A .257 B . 256 C .254 D . 25 排列，记 可表示第i行第j列的数，若 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列 第 1 行 2 4 P 6 8 第 2 行 16 14 12 10 第 3 行 18 20 22 24 第 4 行 32 30 28 26 第 5 行 34 36 P 38 40 1 表 1 、填空题：本大题共 5 小题，考生

6、作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. （一）必做题（1113 题） 11 .不等式x 1 x -2 0的解集为_ 12.已知四边形 ABCD是边长为3的正方形，若 DE =2EC,CF =2FB，贝U AE AF 的值 3 2x - y 2 _0, 13. 设x, y满足约束条件 8x-y-4空0,若目标函数 ax by a 0,b 0的最大值 x _ 0, y _0. 为8，则ab的最大值为 _ . （二）选做题（1415 题，考生从中选做一题） x = a t 14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 xOy中，直线（t为参数）与 y=t X =1 COSH 圆 G为

7、参数）相切，切点在第一象限，则实数 a的值为 _ . y =si n8 15. （几何证明选讲选做题）在平行四边形 ABCD中，点E在线段AB上，且 1 2 AE = E B连接DE, AC , AC与DE相交于点F ,若厶AEF的面积为1 cm ，则 2 2 AFD的面积为 _ cm . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分 12 分） 已知函数 f x = 2 cos i x , x R . I 4丿 （1） 求函数f x的最小正周期和值域； i 1 （2） 若厂 0,，且f ，求sin2r的值. I 2丿 2 17.

8、 （本小题满分 12 分） 某校高三年级一次数学考试之后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n名学生的数 学成绩，制成表2所示的频率分布表. （1） 求a , b , n的值； （2） 若从第三，四，五组中用分层抽样方法抽取 6 名学生，并在这 6 名学生中随机抽取 2 名与张老师面谈，求第三组中至少有 1名学生与张老师面谈的概率. 组号 分组 频数 频率 第一组 (90,100) 5 0.05 第二组 1100,110) a 0.35 第三组 1110,120) 30 0.30 第四组 1120,130) 20 b 4 第五组 H30,140) 10 0.10 合计 n 1.00 表 25

9、18. (本小题满分 14 分) 如图2，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF /平面ABCD , (1) 求证：FH /平面BDE ； (2) 求证：AB _平面BCF ； (3) 求五面体ABCDEF的体积. 19. (本小题满分 14 分) 2 已知等差数列an的前n项和为Sn pn q(p,T R)，且a2,a3,a5成等比数列. (1) 求 p,q 的值； (2) 若数列:b/?满足an log2 n=log2bn，求数列 的前n项和Tn. 20. (本小题满分 14 分) 2 已知函数 f x =1 nx，x ax, a R . (1)若函数f x在其定义

10、域上为增函数，求 a的取值范围; f(X ) r * (2)当a =1时，函数g x x在区间t, = ( r N )上存在极值，求t的最大 x +1 值. (参考数值：自然对数的底数e丸2.71828 ) 21. (本小题满分 14 分) 已知点A 2,1在抛物线E : x2二ay上，直线l1:kx 1( R，且k = 0)与抛物线E 相交于B,C两点，直线 AB, AC分别交直线l2 : y =1于点S,T . (1 )求a的值； EF -1 , FB 二 FC, BFC =90 , AET3 , H是BC的中点 6 (2) 若ST =25，求直线l1的方程； (3) 试判断以线段 ST为

11、直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由. 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明：1 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几 种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分. 3 解答右端所注分数

12、，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 能选做一题. 11. -1,2 12. 9 13. 4 14. 2 1 15. 3 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分 12 分） （1 ）解： f X i2cos X I 4丿 函数f X的最小正周期为2二. / X R, /. .2 cos x -、.2八2 . 函数f X的值域为|-，2 2 . 1 (2)解法 1：v f 7 2 /. -2 cos 1. I 4丿28 解法 2：v f 一 2 cos I 一 -、“ 2 i

13、cos J cos -sin)sin I 4 1 二 COST -sin t 2 两边平方得 cos2 v - 2cos vs in v - sin2 二 第三组的3名学生记为a,a2,a3，第四组的2名学生记为bb?，第五组的1名学生记为G , - COS I 4丿 sin 2 J - -cos 2v 2 11 分 12 分 10 分 17. (1) 6 名学生, 则第三、四、12 分 则从6名学生中随机抽取 2 名, 共有9 其中第三组的 3名学生 印,a2，a3没有一名学生被抽取的情况共有at 1,玄 2， gZ，: b1，c/?，也，* 3种，具体如下: 2 2 10 b,bb,c *

14、b,G 二 3 故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为 1 0.8. . 12 分 15 18. (本小题满分 14 分) (1)证明：连接AC , AC与BD相交于点O,则点O是AC的中点，连接 OH , EO , H是BC的中点, 1 OH / AB , OH AB =1. . 1 分 2 EF /平面 ABCD , EF 平面 ABFE，平面 ABCD 门平面 ABFE = AB , EF / AB . . 2 分 EF =1 , OH / EF , OH =EF . 四边形EOHF是平行四边形. EO / FH , EO FH . . 3 分 EO 二平面 BDE , FH 二平

15、面 BDE , FH / 平面 BDE . . 4 分 由（1）知，EF / MB，且 EF = MB , 四边形EMBF是平行四边形. EM / FB , EM FB . . 5 分 在 Rt BFC 中，FB2 FC2 =BC2 =4，又 FB = FC，得 FB = ：2. EM 2. 在厶 AME 中，AE = ：；3 , AM =1 , EM =臣, AM 2 EM 2 =3 =AE2. AM _ EM . . 7 分 AM _ FB，即 AB _ FB . 四边形ABCD是正方形， AB _ BC . . 8 分 / FBBC =B , FB 平面 BCF , BC 平面 BCF

16、, AB _ 平面 BCF . . 9 分 (2)证法 1：取AB的中点M，连接 EM，贝U AM = MB =1 , 10 分 9 分 11 证法 2：在 Rt BFC中，H为BC的中点， 1 FH BC=1. 在厶 AEO 中，AE AO =1AC =弋2 EO =FH =1, AO2 EO2 =AE2. AO _ EO.12 / FH / EO, AO _ FH FH _ BC, BC 平面 ABCD , AO 平面 ABCD , AO 门 BC = C , E FH 平面 ABCD . / AB 平面 ABCD , FH _ AB . . 7 分 四边形ABCD是正方形， AB _ B

17、C. . 8 分 / BC 平面 BCF , FH 平面 BCF , BCFH AB _ 平面 BCF . (3)解：连接EC , 1 在 Rt BFC 中，FH BC =1, 2 EO 二 FH =1. 由(2)知 AB _ 平面 BCF，且 EF / AB , EF _ 平面 BCF . . 10 分 / FH 平面 ABCD , EO / FH , EO _ 平面 ABCD . 3 3 3 2 二棱锥 E BCF 的体积为 V? = EF S BCF = 1 ，i -，, 2 13 分 3 3 2 3 5 五面体ABCDEF的体积为V +V2 . 14 分 3 19. (本小题满分 14

18、 分) (1)解法 1：当 n=1 时，4=0=117 , 当 n 一2时，an =S -Su pn q -1| .： n T - p n_1 an是等差数列, 1 p q = 2 1 _1 p，得 q = 0. . 4 分 又 a2 = 3 p,a3 = 5 p,a5 = 9 p , . 5 分 11 分 四棱锥E - ABCD的体积为V1 J EO 5正方形 ABCD = 1 1 2- . . 12 分 9 分 9 分 13 a2,a3,a5成等比数列， 2 2 a： = &2氏，即 5 p = 3 p 9 p , . 6 分 解得p - T.14 13 分 A Tn 匚慣n-1

19、4n 1 . 解法 2：由（1）得 an =2n -2. an log2 n rgbn, 解法 2：设等差数列an的公差为d , 卄 n（n-U d 2 d 则 Sn = nq d n I a - 2 2 2 Sn 二 n2 pn q , .d , d 1 , ai p , q = 0 . 2 2 -d = 2 , p 3i -1, q=0. a2,a3,a5成等比数列， 2 a3 = a2a5 , n . . 1 分 .p - -1. . 7 分 （2）解法 1：由（1）得 an =2 n -2. . 8 分 an log2 n ngbn, an 2n-2 nJ d = n 2 = n 2

20、= n 4 9 分 .Tn =b b2 b J H bn 4 b 40 2 41 3 42 HI n-1 4n n -4nJ , 10 分 4Tn -41 2 42 3 43 I” n -1 4nJ - n 4n , 11 分 -得-3T40 41 4MIT 4n4 -n 4n n -n 4 1 -3n 4n -1 1-4 14 分 9 分 15 9n 2 n -2 n 4 0 = n 2 n = n 2 n 416 Tn b2 b3 川 bn bn =4 2 41 3 42 川 n1 -4n n -4nJ. . 10 分 n + 由 x X2 X3 川 xn 丄 J X = 1 , 1 X

21、1 _ 令 X =4，得 40 2 41 3 42 IH n-1 4心 n 4n=3n-1 4n 1 . 9 1 Tn = (3 n 1 )4n +1. . 14 分 9 20. (本小题满分 14 分) (1)解法 1：函数f x的定义域为 0,亠 . 1 分 2 1 f x = ln x x ax, f x 2x a. . 2 分 x 函数f x在0, ：上单调递增， 1 f x -0,即 2x 0对 i0, ：都成立. . 3 分 x 1 -a 2x对iO,七都成立 . 4 分 x 1 1 - 1 V2 当x 0时，一，2x_2, 2x=2.2，当且仅当 2x,即卩x 时,取等号 x V

22、 x x 2 . 5 分 a 乞2 ,2,即 a - -2.2 . a的取值范围为 -2迈 畑). . 6 分 解法 2:函数f X的定义域为 0, , 方程2x ax 0的判别式厶=a -8 . . 3 分 当: 0,即 一2、. 2 乞 a 乞 2、2 时，2x2 ax 0 , 此时，f x -0对x0, 都成立， 故11 分 两边对X取导数得, 2X1 3x2 | I nxn nxnd1 -( n +1 )xn +1 2 C-x) 12 分 2x a _ 2x2 ax 1 9 分 17 函数f x在定义域 0,匸：上是增函数.18 当.：0,即 a ： -2、2 或a 2J2时,要使函数

23、f（x）在定义域（0,亦）上为 增函数，只需2x2 ax 1 _ 0对（0 都成立. h 0 =1 0, 设 h x 二 2x2 ax 1,则 a 得 a . 0. rr0, 故 a 2 2. 综合得a的取值范围为 函数x的零点 x i 3,4 . . 12 分 方程x =0 在t, ： (r N * )上有解，t N * t _ 3 . . 13 分 t N , (2)解: 2 当a=1时，gxA兀+ -x七 1 +1 I rx 函数g x在t, N ）上存在极值, 方程g x =o在匕： （ r N*）上有解, 1 r * 即方程1 In x = 0在It, : ( t N N )上有解.

24、 x 1 令 X =1 -Inx x 0，由于 x 0,则 X x = 1 0, x 函数x在0, ：上单调递减. 4 1 e4 1 2 54 3 ln3 ln ln 0, 3 3 27 3 27 10 分 5 1 ：14 ln 4 ln 4 4 5 e 256 4 256 0, 11 分 19 t的最大值为3.14 分 20 21. （本小题满分 14 分） （1）解：点 A 2,1 在抛物线 E ：X2 二 ay上， / a =4. 第（2）、（3）问提供以下两种解法: 解法 1：（ 2）由（1）得抛物线E的方程为x2 =4y. 2 2 设点B,C的坐标分别为 N，% , X2，y2，依题

25、意，X1 =4叶公2 =4y2， 由 y? kx 1,消去 丫 得 2-4kx-4 = 0 , X =4y, 4k 4 Jk2 +1 ci c FT2- 解得 x-! 2 = -= 2k 2Jk +1 . 2 x1 x2 二 4k,为 X2 直线AB的斜率kAB y1 -1 2 4 X|2 x-i 2 4 故直线AB的方程为 y亠X142 x2. 4 8 令y = _1 ,得X =2 - ，点S的坐标为 2 X1 +2 I 同理可得点T的坐标为 2- X2 +2 ST 8 2 - x, 2 8 2 - .x2j 8 为X2 仪1+2仁+2) 8(X1 X2) 8(X1 X2 % x2 x)x2

26、 +2(x +x2 )+4 8k k ST =2.5 , 由 X1 -X2 2 “ 2 2 2 =X1 X2 -4X1X2，得 20k -16k 16 , 直线h的方程为y=2x，1，或y =2x. 2 分 3 分 4 分 5 分 6 分 7 分 9 分 21 （3）设线段ST的中点坐标为 X0,-1 ,22 由y2-1 -k1（x-2）,消去 y，得 x2 _4Kx + 8K -4 = 0, x =4y, 即 x - 2 4k1 2 =0，解得 x=2 或 x = 4K -2. 1 2 2 - x1 = 4匕-2 , y1 X| = 4k1 - 4k1 1. 4 点 B 的坐标为（4 2,4k； +1 ）. 同理，设直线 AC的方程为y-1=k2 x-2 , / X 2 . 2 则点T的坐标为 2 -一，一1，点C的坐标为（4k22,4k；4k2+1 ）. . 4分 k2丿解法 X!亠 X2 +2 y = 2- 2- 44k 4 亠 xx +2（为 +x2 ） + 4 而ST 4 x-! x2