八年级数学下册10.2一次函数和它的图像典型例题1素材(新版)青岛版

1、 一次函数和它的图象典型例题 例 1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数? (1) (2) (3) y =8x2 x(1 -8x)； (4)y = 1 8x. 例 2 判断下列函数关系中， 哪些是y关于x的一次函数 (以下各题中的 k = 0且为常数) (是 次函数的打，若不是打X) (1) y = k _3x ( ) (2) y = k(x 2) ( ) (3) y =3x +x2 ( ) (4) y 二 kx 3 ( ) (5) y =3x +k2 ( ) (6) y = 5k ( ). 例 3 已知y m与x - n成正比例(其中 m , n是常数) (1) 求证：y是x的一次

2、函数； (2) 如果x - -1时，y - -15 , x = 7时，y =1，求这个一次函数的解析式 例 4 列出下列函数关系式，判别其中哪些为一次函数、正比例函数. (1) 正方形周长 p 和一边的长 a. (2 )圆的面积 A 与半径 R. (3 )长 a 一定时矩形面积 y 与宽 x. 2 (4) 15 斤梨售价 20 元.售价 y 与斤数 x. (5) 定期存 100 元本金，月利率 1.8 %，本息 y 与所存月数 x. (6) 水库原存水 Q 立方米，现以每小时 a 立方米的流量开闸放水，同时上游以每小时 b 立 方米的流量向水库注水，求这时水库的蓄水量 M 与时间 t 的函数关

3、系. 例 5 某工厂有煤 m 吨，每天烧煤 n吨现已知煤烧 3 天后余 102 吨，烧煤 8 天后余煤 72 吨，问烧煤 15天后余煤多少吨? 例 6 已知 y-3 与 x成正比例函数，且 x=2 时，y=7. (1 )求 y 与 x 之间的函数关系式. (2) 求当 x=2 时 y 的值. (3) 求当 y=-3 时 x 的值. 例 7 如图，温度计上表示摄氏温度与华氏温度的刻度，能否用函数解析式表示摄氏温度与 华氏温度的关系？如果今天的气温是摄氏 32C，那么华氏是多少度？ 参考答案 X 1 1 X 例 1 解：（1） y 即为y x，其中k , b = 0，所以y 是一次函数， 3 3

4、3 3 也是正比例函数. -8 -8 -8 （2） y ，因为 不是整式，所以不能化为 kx b的形式，所以y 不是一次函 X X X 数，当然也就不能是正比例函数了 （3） y =8x2 X（1-8x）经过恒等变形，转化为y=x，其中k=1，b = 0.所以 y =8X2 x（1 -8x）是一次函数，也是正比例函数 . （4） y = 1 8x，即为 y =8x 1，其中 k = 8， b =1. 所以，y=18x是一次函数，但不是正比例函数 . 说明：判断函数是一次函数、正比例函数，首先看每个函数解析式能否通过恒等变形， 转化 为y =kx b的形式，如果x的次数是 1,且k = 0，则是

5、一次函数，否则就不是一次函数； 在一次函数中，如果常数项 b=0，那么它就是正比例函数 . 例 2 答案：V V X V V X. 说明：本题考查一次函数的概念，要理解一次函数的概念。 例 3 分析：要证明y是x的一次函数，只需证明y与x的关系式满足y二kx b的形式，其 中k, b为常数，且k 0. 解：（1）证明：因为y m与x - n成正比例， 所以y m=k （ x - n ）（ k是不为零的常数）. 因为k、m、n是常数，且k = 0, 所以 y 二 kx（kn m）, 所以-（kn m）也是常数， 所以y二kx -（kn m）是一次函数，即 y是x的一次函数. （2）因为y是x的一

6、次函数， 4 所以设函数解析式为 y二kx b（k = 0）. 因为当x - T 时，y - -15 , 当 x=7时，y=1, /曰 _15 k+b, 得丿 1 = 7k + b, 所以所求函数的解析式为 y = 2x 一 13. 说明：在教学中应强调“谁是谁的函数”. 例 4 分析：根据几何知识或实际意义列出两变量之间的关系式，再由一次函数和正比例函 数的概念进行判别. 解：(1)v p=4a自变量 a 为一次且其系数为 4(不为零)为 a 的一次函数又不含 常数项所以也是正比例函数. (2) A= 0. (3) 中矩形的宽 0vxv a. (4) 中梨的斤数 x 0. (5) 所存月数

7、x0. 丄 Q (6) 中注放水时间t ,当a b, 0 t ,当b a时与水库可存水量有关。 所以卜=2, b = -13. 6 a b 例 5 分析： 设烧煤 x天后余煤 y 吨， 则可建立函数关系式 y=m-nx.又知当 x=3 时， y=102; x=8 时， y=72.从而组成方程组 J102 = m - 3n, (72 =m - 8n. 求出 m n后再代回 y=m-nx 中，令 x=15 求出 y. 102 72 =m -8n, 解：设烧煤 x天后余煤 y 吨，则余煤数与烧煤天数之间的函数关系式是 y=m_nx 由题意知 x=3 时 y=102，x=8 时 y=72，可得 从而求

8、出 n=6，m=120. 所以函数关系式是 y=120-6x(0 v x 20) 当 x=15 时，y=120-6X 15=30 答：烧煤 15 天后余煤 30 吨. 说明：列方程可以解应用题，禾 U 用函数观点分析实际问题中条件列函数关系式也可以解决实 际问题. 例 6 分析：y-3 与 x 成正比例函数；把 y-3 看成一个变量，首先就可设 y- 3=kx(k丰0) 解：(1)v (y -3)是 x的正比例函数 设 y- 3=kx(k 丰 0) 把 x=2 时 y=7 代入上式得 k=2 y与 x 的函数关系式为 y=2x+3 y 是 x 的一次函数 (2) 当 x=2 时，y=2X 2+

9、3=7 (3) 当 y=-3 时，-3=2x+3 x= -3 说明：把 y-3 当作一个整体变量来看待. 凡是正比例函数，一律设 y=kx(k丰0)形式. 已知自变量的值求函数值， 或已知函数值求自变量的值都只需代入函数关系式通过计算求 得. 例 7 分析 题目中给出了摄氏温度与华氏温度的部分对应关系，它们之间是一种对应的关 系，是一种函数关系，但是不是一次函数关系呢？这需要加以验证， 当我们利用现有的对应 8 关系求出一次函数的解析式后， 可以把其余的对应关系代入解析式中， 确定它们是一次函数 关系。现在我们就可以认为它们之间有一次函数的关系，并且当摄氏 因此b=32。 解：设摄氏温度为x，华氏温度为y，由图中的数据可设 y = kx 32,k = 0 . 取x =100, y =212，代入上式，