《线性滤波器》ppt课件

1、第五章第五章 线性滤波器和热传导线性滤波器和热传导方程方程针对均值滤波器，在部分性和迭代条件下，推导出：针对均值滤波器，在部分性和迭代条件下，推导出：算术平均滤波器经部分化和迭代作用的极限形状是热算术平均滤波器经部分化和迭代作用的极限形状是热传导方程初值问题的解，且一切的线性滤波器都具有传导方程初值问题的解，且一切的线性滤波器都具有同样的特性。同样的特性。5.1 线性滤波器线性滤波器根据前面的内容知道，滤波根据前面的内容知道，滤波T的过程可以看的过程可以看做做其中，滤波器系数为其中，滤波器系数为 w(i, j), i, j = -n,-n+1,-1,0,1,n-1,n在延续模型下，相应的变换是

2、在延续模型下，相应的变换是 Tu(x) = u(x) j(x)1212( )(,)( , )(,)nnsn tnTu xu x xw s tu xs xt 其中其中j(x)是事先定义的一个关于原点对称的，且满足是事先定义的一个关于原点对称的，且满足归一化条件的函数，即归一化条件的函数，即通常，把上面的图像变换通常，把上面的图像变换T称为线性滤波器，由于对称为线性滤波器，由于对于恣意两幅图像于恣意两幅图像f，g和恣意的实数和恣意的实数a，b，T满足满足 T(af + bg) = aT(f) + bT(g)2()1Rx d x线性滤波器的频率分析线性滤波器的频率分析通常以为噪声是由图像中的高频信号

3、引起的，因此在通常以为噪声是由图像中的高频信号引起的，因此在许多情况下，采用傅立叶变换的方法对图像进展滤波许多情况下，采用傅立叶变换的方法对图像进展滤波，即先把一副空间方式下的图像，即先把一副空间方式下的图像u0(x,y)经过傅立叶变经过傅立叶变换变成频率域中的方式换变成频率域中的方式再经过一个低通滤波器再经过一个低通滤波器 H(x,h)去掉去掉 U0(x,h) 的高频分的高频分量，得到量，得到 U(x,h) = H(x,h) U0(x,h)其中低通滤波器其中低通滤波器H(x,m) 满足满足x或或h足够大时足够大时 H(x,m) = 02()00( ,)( ,)ixyUux yedxdy 最后

4、再经过一个傅立叶逆变换，把最后再经过一个傅立叶逆变换，把U(x,h)变换成空间变换成空间中的图像方式中的图像方式u1(x,y)。假设记假设记h(x,y)为为 H(x,h)的傅立叶逆变换，对参数的傅立叶逆变换，对参数t0，作核函数，作核函数定义如下线性滤波器定义如下线性滤波器 Mt : u0 htu0其中其中*表示卷积。操作结果：表示卷积。操作结果：u0经过滤波后得到经过滤波后得到u1，就是当就是当t=1时，经过滤波器时，经过滤波器M1滤波后的图像。滤波后的图像。1( ,)(,)txyhx ygttt5.2 算术均值滤波器迭代和热传导方程算术均值滤波器迭代和热传导方程延续模型下，记算术均值滤波器

5、算子为延续模型下，记算术均值滤波器算子为Mh,滤波操作为滤波操作为且积分区域选择一且积分区域选择一x为圆心，为圆心，h为半径的圆。为半径的圆。此时，只需在此时，只需在x点的点的h邻域邻域D(x,h)中的值才对中的值才对滤波的结果起作用。假设滤波的结果起作用。假设u0在在x点附近点附近C2延延续，不失普通性，令续，不失普通性，令 由由Taylor展式展式002( , )1( )( )hD x hM uxuy dyh0(0,0),( ,)( , )xy x yD x h2200000201( )(0)(0)()()2 ()()xxyyxyuyuDuyuxuyuxyo h其中其中D表示微分算子，因此

6、表示微分算子，因此002(0, )002222(0, )0001(0)( )(0)(0)11()()2()()2hDhDhxxyyxyM uuy dyhuDuydyhuxuyuxyo h第一项：第一项：0022(0, )(0, )200211(0)(0)1(0)(0)DhDhudyudyhhhuuh00022(0, )(0, )0022(0, )(0, )222200000011(0)()()11()()() (0)cos() (0)sin0 xyDhDhxyDhDhhhxyDudyuxuy dyhhuxdyuydyhhurdrdurdrd 第二项：第二项：22320022(0, )0020(

7、)(0)1()sin22()(0)8hxxxxDhxxuux dyrdrdhhhu 第三项：第三项：第四项同理：第四项同理：22002(0, )1()()(0)28yyyyDhhuy dyuh第五项：第五项：2302(0, )001()sincos0hxyDhuxydyrdrdh 最后一项：最后一项：222(0, )1()()Dho hdyo hh所以有所以有22000022001(0)(0)() (0)() (0)()81(0)(0)()8hxxyyM uuhuuo huhuo h即即220001( )( )( )()8hM uxuxhuxo h200022( )( )1()( )8hM u

8、xuxo huxhh对事先确定的对事先确定的t，假设有序列，假设有序列hn和和nn满足满足hn0，nn，并且，并且nnh2n= t, 记记un = Mnhu0。假设将假设将Mn-1hu0看作原图像，看作原图像， Mnhu0看作滤波后看作滤波后图像，且图像，且nh2= t，(n-1)h2=s，那么由上式有，那么由上式有1210002222( )( )1()( )8( , )( , )1()( , )8nnnhhhM uxMuxo hMuxhhu x tu x so hu x stsh取极限得取极限得0( , )1( , )8( ,0)( )u x su x ssu xux5.3 线性滤波器和热传

9、导方程线性滤波器和热传导方程普通的线性滤波器普通的线性滤波器Mrr为参数，经过为参数，经过n次次迭代后的结果图像为迭代后的结果图像为Mnru0。可以证明，在。可以证明，在一些适当的条件下，当滤波器的参数一些适当的条件下，当滤波器的参数r逐渐减逐渐减少到少到0，而滤波器迭代次数，而滤波器迭代次数n逐渐添加到逐渐添加到，并且满足并且满足nr2=t时，滤波所得的结果图像时，滤波所得的结果图像也是上述热传导方程初值问题的解，因此，也是上述热传导方程初值问题的解，因此，从迭代的角度看，一切的线性滤波器本质上从迭代的角度看，一切的线性滤波器本质上都是算术均值滤波器。都是算术均值滤波器。20,0,lim()

10、( )nrnrnrtM ux 定理：令定理：令g(x)是一个正的、有紧支集且是一个正的、有紧支集且3次延续可微次延续可微的实函数，即的实函数，即gC30 (RN )。同时还满足以下几个。同时还满足以下几个正规化条件：正规化条件：(1)(2)对于任何的对于任何的 i, j=1,N那么对于那么对于 t0和恣意实数列和恣意实数列h以及整数以及整数n，当，当t=nh2且且n时，有时，有( )1NRg x dx 22( )0( )( )( )2NNNNiijRRijRRx g x dxx x g x dxx g x dxx g x dx2*421( )(4)xnthNgxet这个收敛在这个收敛在L2(R

11、N)空间是逐点适用的。其中，空间是逐点适用的。其中，(g)n*表示表示ggggg,卷积卷积n次。所以，对于每个次。所以，对于每个原始有界图像原始有界图像u0(x)，定义，定义 Lhu0 = gh u0进一步可得进一步可得(Lh)nu0Ttu0，这里，这里，(Ttu0)(x) = u(t,x)且且u(t,x)是个热传导方程初值问题的解是个热传导方程初值问题的解0(, 0)()uutuxux 这个定理的证明需求下面的两个引理和两个推论这个定理的证明需求下面的两个引理和两个推论引理引理1：假设：假设g满足上述条件，同时满足上述条件，同时那么那么 (x)是一个是一个C函数，并且函数，并且22( )(

12、)NNijRRx g x dxx g x dxa2222(0)( )1(0)( )()0(0)( )()()0(0)( )NNNNRiRijRijiRigg x dxgg xidxgg xixixdxgg x x dxa 引理引理2：g 满足定理的条件，并且假设满足定理的条件，并且假设 x0，有，有 | (x) 1 | , x 0那么存在常数那么存在常数c0，满足，满足 | (x) | 1 (1 + c | x |2)推论推论1：当：当n时，时， 收敛到收敛到 ，即，即推论推论2：当：当n时，时， ()ngn22ae2222()()angeonn2*2221()(2)xnaNn g xnnea

13、5.4 用热传导方程对图像进展去噪用热传导方程对图像进展去噪根据定理，假设把需求去噪的图像根据定理，假设把需求去噪的图像u0看做是热看做是热传导方程在传导方程在0时辰的初值问题，那么对于任何时辰的初值问题，那么对于任何一个一个t，解，解u(x,t)都是某一个线性滤波图像序列都是某一个线性滤波图像序列的极限，这个序列可以取为的极限，这个序列可以取为 Mhnu0 其中其中将热传导方程初值问题的解作为滤波的结果，将热传导方程初值问题的解作为滤波的结果，被滤波的图像作为方程在被滤波的图像作为方程在0时辰的初值，称这时辰的初值，称这个滤波器为热传导方程滤波器，个滤波器为热传导方程滤波器，t是滤波器的是滤

14、波器的尺度参数，如图，随尺度参数，如图，随t的增大，边缘出现了模的增大，边缘出现了模糊。糊。nthn滤波过程要经过计算机来实现，所以并不要求求出滤波过程要经过计算机来实现，所以并不要求求出方程的解析解，是经过数值解来实现的。在离散算方程的解析解，是经过数值解来实现的。在离散算法中，先将法中，先将 u t = u的左边转化为差分的方式的左边转化为差分的方式 ( ut- u0 )t = u0即即 ut = u0 + tu0离散情况下，计算是针对每一个像素离散情况下，计算是针对每一个像素(i,j)进展进展 (ut)i,j = (u0)i,j+t(u0)i,j (u0)i,j= (uxx)i,j+ (

15、uyy)i,j = (ux)x)i,j + (uy)y)i,j原图原图 噪声图像噪声图像热传导方程在迭代次数为热传导方程在迭代次数为1010，5 5，2 2的去噪结果的去噪结果Image = imread(other.bmp);subplot(2,2,1),imshow(Image);I = imnoise(Image,gaussian,0.01);subplot(2,2,2),imshow(I);w,h = size(I);I = double(I);t = 0.1; N = 10;for k = 1:N D = zeros(w,h); for i = 2:w-1 for j = 2:h-1

16、 D(i,j) = -4*I(i,j)+I(i-1,j)+I(i+1,j)+I(i,j-1)+I(i,j+1); end end I = I + t*D; end subplot(2,2,4),imshow(uint8(I);Image = imread(other.bmp);subplot(2,2,1),imshow(Image);I = imnoise(Image,gaussian,0.01);subplot(2,2,2),imshow(I);I = double(I);h = 0,1,0;1,-4,1;0,1,0*0.1;for N = 1:10I = I + filter2(h,I);

17、endsubplot(2,2,4),imshow(uint8(I);二维差分运算的定义是在一维差分的根底上组合而成的二维差分运算的定义是在一维差分的根底上组合而成的。为了坚持数值计算的稳定性，我们选择下面的差分格。为了坚持数值计算的稳定性，我们选择下面的差分格式式(ux)i,j =2(ui+1,j - ui-1,j) + ui+1,j+1 - ui-(ux)i,j =2(ui+1,j - ui-1,j) + ui+1,j+1 - ui-1,j+1 ui+1,j-1 - ui-1,j-1 81,j+1 ui+1,j-1 - ui-1,j-1 8(uy)i,j =2(ui,j+1 - ui,j-1

18、) + ui+1,j+1 (uy)i,j =2(ui,j+1 - ui,j-1) + ui+1,j+1 ui+1,j-1 ui-1,j+1 - ui-1,j-1 8ui+1,j-1 ui-1,j+1 - ui-1,j-1 85.5 线性滤波器的运用线性滤波器的运用5.5.1 反热传导方程和图像锐化反热传导方程和图像锐化图像在光滑过程中会出现模糊的情况，例如图像在光滑过程中会出现模糊的情况，例如利用热传导方程来滤波，随参数利用热传导方程来滤波，随参数t的增大，图的增大，图像变得越来越模糊；或图像在获取、传输过像变得越来越模糊；或图像在获取、传输过程中导致图像模糊。可以经过图像锐化来强程中导致图像

19、模糊。可以经过图像锐化来强化边缘，突出被模糊部分的界限。化边缘，突出被模糊部分的界限。Gabor用反热传导方程来锐化图像。将模糊图用反热传导方程来锐化图像。将模糊图像像v(x)看做下面方程在看做下面方程在t时辰的解时辰的解0(, 0 )()uutuxux 即即v(x)=u(t,x)，可以经过复原，可以经过复原u0(x)来进展锐化。来进展锐化。Gabor以为，下面的反热传导方程在以为，下面的反热传导方程在t时辰的解可以时辰的解可以近似作为图像锐化的结果。近似作为图像锐化的结果。从离散角度看，在作图像模糊的时候，原图像为从离散角度看，在作图像模糊的时候，原图像为u0，模糊的图像为，模糊的图像为ut

20、，假设果，假设果t足够小，那么足够小，那么 v = ut u0 + tu0( ,0)( )vvtv xv x 虽然图像在滤波后发生了一定的变化，但由于虽然图像在滤波后发生了一定的变化，但由于t足够足够小，两幅图像可以看做是近似的，即小，两幅图像可以看做是近似的，即 ut u0所以所以 utu0 + tut也就是也就是 u0ut + t(-ut)那么假设那么假设t足够小，离散意义下，反热传导方程在足够小，离散意义下，反热传导方程在t时辰的解为时辰的解为 vt v + t(-v)即有即有 u0 = vt但上述锐化要运用两个假设：但上述锐化要运用两个假设：1模糊图像是原图像被热传导方程滤波器作用的模

21、糊图像是原图像被热传导方程滤波器作用的结果。结果。2参数参数t足够小。足够小。被模糊的图像被模糊的图像 锐化后图像锐化后图像Matlab源码：源码：I = imread(fuzzy.bmp);subplot(1,2,1),imshow(I);I = double(I);h = 0,1,0;1,-4,1;0,1,0*0.1;for i = 1:5I = I - filter2(h,I);endsubplot(1,2,2),imshow(uint8(I);5.5.2 线性滤波器在二值图像中的运用线性滤波器在二值图像中的运用在灰度图像中的一类特殊的图像，灰度值只由在灰度图像中的一类特殊的图像，灰度值

22、只由0，1延续模型或者延续模型或者0，255离散模型两个值组成离散模型两个值组成，称为二值图像，也被称为像外形，称为二值图像，也被称为像外形shape，由于，由于二值图像的信息实践等同于图像支撑集二值图像的信息实践等同于图像支撑集W中的一个中的一个子集子集XW。任何二值图像都具有任何二值图像都具有1x这样的方式，其中这样的方式，其中1x表示定表示定义在义在X上的特征函数，详细定义是上的特征函数，详细定义是1,10,XxXxX为去除二值图像中的多余信息，使经过处置后可以为去除二值图像中的多余信息，使经过处置后可以使外形变得规那么，使外形变得规那么，Koenderind和和Van Dorn于于19

23、86年提出了动态边境年提出了动态边境dynamic shape方法方法总体思想是先求出图像总体思想是先求出图像1x经过热传导方程滤波器作经过热传导方程滤波器作用后的结果，选择参数为用后的结果，选择参数为t，得到的解为，得到的解为1x，t。 很很显然显然1x，t不在是二值图像，再采用二值化的方法不在是二值图像，再采用二值化的方法将其生成二值图像，依然记为将其生成二值图像，依然记为Xt，定义如下，定义如下,11, 1( )21 ( )10, 1( )2tX tXX txxxN=20,50,150,250,400N=20,50,150,250,400处置的结果处置的结果Matlab源码：源码：I = imread(dynamic.bmp);subplot(1,2,1),imshow(I);I