湖南商学院第七届数学建模竞赛暨全国选拔赛

1、湖南商学院第七届数学建模竞赛暨全国选拔赛本次竞赛采取开放形式，参赛队可以使用一切手段（网络，书籍，杂志等）来获得完成竞赛的资料，但不得与任何队外人员讨论竞赛试题的内容更不能抄袭，否则试卷无效。参赛者应根据题目要求，针对所选择的每一道试题完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。最终论文的评定将在很大程度上考虑参赛者的创新性。本次竞赛将作为我校本年度全国数学建模选拔赛，请在答卷首页上如实填写以下内容：队员1姓名 贺金渡 专业 经济学 班级 经

2、济0902 联系电话： 是否愿意参加暑假培训及全国数学建模竞赛 是 有何专长（比如建模、计算机、英语级别、文字表达能力等） 建模 队员2姓名 丁瑞 专业 管理 班级 管理0902 联系电话 是否愿意参加暑假培训及全国数学建模竞赛 是 有何专长（比如建模、计算机、英语级别、文字表达能力等） 计算机 队员3姓名 汪颖 专业 经济学 班级 经济0902 联系电话 是否愿意参加暑假培训及全国数学建模竞赛 是 有何专长（比如建模、计算机、英语级别、文字表达能力等）文字表达能力 自习教室照明用电的优化问题摘要 针对近年来大学生晚自习用电浪费比较严重这一普通现象，我们在进行了比较系统的分析的前提下，建立了与

3、其相对应的模型。在求解问题方面，本文采取通俗的excel方式明了的阐述了结果，对于这三个问题，我们的解题策略即达到了省电的目的，又使学生的满意程度达到了一定的高度。在整理这些结论的同时，我们也发现所建模型中存在的优点与不足，通过分析我们的理论成果，我们总结出一些如何使学校电能节约问题达到最优化的方案，为节约资源方面提供的科学的理论依据。 问题一：对于如何安排教室使得用电量问题最小化，且又能使学生自习问题安排得当，我们依据附录1，运用边际分析法及平均数原理进行分析，再运用excel软件进行数据处理得到最优解。最终得出应向学生开设35个教室的最优结论。 问题二：在对于如何安排教室，既能达到节约用电

4、的目的，又能提高学生的满意程度的问题上，我们先做出了适当的假设，充分考虑到影响学生的满意度的教室满座率与宿舍到自习区距离这两个因数。运用模糊数学设立相应的函数，再依据合理权重进行分析最终计算出需开放37个教室分别为2，3,4,5，6，7，8，9，10，11，12，13,14,17,18，19，20,21,22,23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39和40，使其省电的目的与满意度问题均得到了有效的解决。问题三：对于临近期末，上自习的人数突然增多，需要再搭建几个教室解决学生上自习的问题，在开放全部教室的情况下显然不能满足学生的需求。据此

5、，我们充分考虑了学生满意度和节约电能的原则，最终得出应增加1个教室的合理假设。关键字：边际分析法，excel，模糊数学法，最优解，平均数原理一、问题重述近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。某学校收集的部分数据（相关数据见附录1附表一），请完成以下问题。管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7：00-10：00开放（如果哪个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。现在有以下问题：1假如

6、学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的. 2假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度

7、的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。3假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程

8、度.表2 学生区(标号为A)到自习区(标号为B)的距离(单位:米) （注：见附录2）二：模型的假设与符号说明*模型的基本假设。1每个宿舍区同学上自习概率均相同。2问题二中每个宿舍区学生人数与每个自习区座位数比值固定。3同学们上自习的概率不变。4问题二中每个学生区的学生只去固定的某一个区。5假设影响学生满意程度的两个因素权重为（0.5，0.5）。6问题三中学生区新旧教室概率相同。7问题三中由于期末临近，宿舍住宿情况有所调整。2.2 符号的声明表示第个教室的灯管数量；表示相应教室的灯管的功率 表示去相应教室上自习的学生人数；表示相应教室的座位数；表示总用电量；表示总人数；表示在相应的区域的教室开放

9、与不开放；表示在相应的教室的总功率表示地一二问中上自习的总人数三、建模前的准备：2在问题二中，运用到的模糊数学法分以下步骤实行:<1>先确定其指标，<2>指出指标权重m=（m1,m2），m1+m2=1,四、问题的分析问题一是使教室开放合理从而达到省电的目的。而又因数据复杂，难以求得精确地答案，所以我们运用以下约束条件建立起一个最优化模型。一 在是否上自习的人数方面，问题中明确给出了8000名学生上自习的可能性为0.7，且同学上自习的满意程度不能低于95%的约束条件，从而可得 二又由于开放的教室满座率不低于4/5,同时尽量不超过90%，所以可知：4/5ST9/10S.将边

10、际分析法和Excel综合运用，最终可顺利求得结果。问题二的分析：第二题所要解决的问题是如何在学生满意程度保持在一个比较高的水平下达到节约用电的目的。这就存在着一个权重问题，即教室的满座率与宿舍区距离这两重因素方面考虑，运用模糊数学方法对这两重因素产生的影响进行描述。距离指标要求：距离越近，满意程度越高，且无限接近于1 距离越远，满意程度越低，且无限接近于0 呈单调递减状态。开放座位率指标要求：开放座位数越多，满意程度越高，且无限接近于1 开放座位数越少，满意程度越低，且无限接近于0 呈单调递增状态。 结合模糊数学方法，对距离和开放座位数进行合理权重，最终求得最大满意度结果，对教室进行合理开放。

11、问题三的分析对于选择合适位置搭建教室从而达到提高学生满意程度和节约用电目的的问题上，我们优先考虑其约束条件即每个同学上自习的可能性增大为0.85，且需上自习的同学满足程度不低于99%，且开放的教室满座率不低于80%，同时上限尽量不超过95%。由此可算出开放所有教室后还剩多少空位，从而计算出应搭建几个教室，在哪些区搭建最省电且满意度最高。 五、模型的建立与求解模型一的建立及计算：要使用电量Q在符合条件的前提下取得最小值，即 （目标函数） （约束条件）问题一，我们应用了Excel 2003数据处理，边际分析法、平均数原理及逐步累加法（具体计算步骤及结果见附录），得出了在最省电的情况下，应该开放3,

12、4,5，6，7，8，9，10，12，13,14,17,18，19，20,21,22,23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，34，35，36，37，38，39,40和43，总共35个 教室，共计5913个座位。同时，我们计算出了最少用电量，因为每开放三个小时，所以，每天的最少用电量是Q=222.279kw·h。模型二的建立及计算：1、只考虑自习区距离对满意度根据问题二的分析，综合目标模糊分布函数要求，同时参考学生的实际心理角度，最终选择偏大型的正态分布函数为满意函数，表达式为：其函数曲线如图1.2、 只考虑座位开放率对满意度座位开放率=某区开放的座位数/相应区的总

13、座位数=满意度3、利用模糊综合评价模型算其满意度约为：距离指标 距离满意度300-4001400-5000.95500-6000.9600-7000.8座位开放率指标用来检验满意度的高低。综合满意度=（距离满意度+座位满意度）/2距离指标满意度局势B1B2B3B4B5B6B7B8B9A1110.810.950.90.950.951A20.80.90.950.90.950.9510.90.8A30.90.910.950.80.90.950.90.8A410.910.950.950.810.80.8A50.80.80.950.9510.90.950.80.9A60.950.90.950.950.8

14、0.910.80.9A7110.90.90.950.90.9511A80.9510.950.9110.90.91A9110.910.950.90.90.91A100.950.950.9510.90.90.90.950.9每个宿舍区的人数向量为A=（790，340,960,300,780,400,1350,1420,810,850）步骤一 根据距离指标满意度局势及宿舍区的人数分布情况得出最佳满意度局势：B1B2B3B4B5B6B7B8B9A1110.810.950.90.950.951A20.80.90.950.90.950.9510.90.8A30.90.910.950.80.90.950.9

15、0.8A410.910.950.950.810.80.8A50.80.80.950.9510.90.950.80.9A60.950.90.950.950.80.910.80.9A7110.90.90.950.90.9511A80.9510.950.9110.90.91A9110.910.950.90.90.91A100.950.950.9510.90.90.90.950.9步骤二 由于要求尽量安排开放同区的教室，所以我们直接把B9区的教室全部关闭，不把它们纳入考虑范围内，简化计算过程，就可以得到下列综合满意度局势：B1B2B3B4B5B6B7B8A1110.810.950.90.950.95A

16、20.80.90.950.90.950.9510.9A30.90.910.950.80.90.950.9A410.910.950.950.810.8A50.80.80.950.9510.90.950.8A60.950.90.950.950.80.910.8A7110.90.90.950.90.951A80.9510.950.9110.90.9A9110.910.950.90.90.9A100.950.950.9510.90.90.90.95 满意度之和为1步骤三 应用了Excel 2003数据处理，边际分析法、平均数原理及逐步累加法，得出了在满意度最高且最省电的情况下，应该开放2，3,4,5，

17、6，7，8，9，10，11，12，13,14,17,18，19，20,21,22,23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39和40，总共37个 教室，共计5955个座位。同时，我们计算出了最少用电量，因为每开放三个小时，所以，每天的最少用电量是Q=kw·h。步骤四 运用座位开放率指标用来检验满意度的高低，得出下列局势：B1B2B3B4B5B6B7B8A11A21A30.955A41A51A61A71A81A90.95A100.94综合来讲，总体的满意度已经达到最高。 模型三的建立及计算：由于临近期末，上自习的人数突然增多，学校

18、教室的座位显然不足，我们需要在下列约束条件下设计方案，要求节电，确定如何搭建教室 （目标函数） （约束条件）步骤一 我们把所有现有的教室都开放，得到下列局势：而根据约束条件可知至少需要7087个座位，座位显然不足我们至少还需要添加234个座位步骤二 得到学生综合满意度表如下：学生综合满意度表B1B2B3B4B5B6B7B8B9宿舍区人数A1110.910.9750.950.9750.9751790A20.90.950.9750.950.9750.97510.950.9340A30.950.9510.9750.90.950.9750.950.9960A410.9510.9750.9750.910

19、.90.9300A50.90.90.9750.97510.950.9750.980.95780A60.9750.950.9750.9750.90.9510.90.95400A7110.950.950.9750.950.975111350A80.97510.9750.95110.950.9511420A9110.9510.9750.950.950.951810A100.9750.9750.97510.950.950.950.9750.95850自习室可容纳的人数752 666 882 813 655 1187 887 1129 756 步骤三 找出满意局势结合要求，我们得出了，要搭建一个教室的方

20、案，即在第六区或第七区搭建一个教室才能满足条件。（4）确定满意方案经过我们的筛选，最终得出了两个方案：1、在第六区建立一个与第26号教室相同规格的教室（即座位数256，灯管数75，灯管功率45w）2、 在第七区建立一个与第34号教室相同规格的教室（即座位数256，灯管数75，灯管功率45w）结果分析模型一的结果表明，开放的35个教室分别为3,4,5,6,7,8,9,10,12,13,14,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,34,35,36,37,38,39,40,4，3，既能达到节约用电的目的使得每晚耗电率控制在222.279KW，

21、又使得学生满意程度不低于95%，且开放教室总座位数为5913个。模型二的结果表明，通过模糊数学方法，合理分配两个影响因素的权重，最终顺利求出结果。但由于我们是在依据教室座位数前提下安排的学生住宿情况，因此受一定的偶然因素影响。模型三的结果表明，针对期末临近，自习人数增多使得现有教室不够用这一情况，需要在第 自习区各搭建一个教室，又因为其规格需与该区已有某个教室规格相同，从而得出搭建规格各为 的教室这个最佳解决方案。 模型的优缺点分析1，运用Excel软件使得本文所阐释的观点通俗易懂；2，模型二中采用模糊数学法使粗象的满意度问题得以具体化；3，本文所建所有模型中充分考虑了满意度和省电节能最优化问

22、题，具有很强的实用性；4，模型假设条件具有一定的偶然性。 参考文献【1】蒋泽军等，模糊数学教程.北京：国防工业出版社，2004年1月。【2】柳青等，计算机应用基础（Windowrs XP+Office 2003），北京：高等教育出版社，2006附录附录1：某学校收集的数据，表1教室相关数据教室座位数灯管数开关数一个开关控制的灯管数灯管的功率/每只1644231440w2884231440w31934841250w419350510 48w512836218 45w612036218 45w7120364948w81203631245w91103631240w10120364945w116427

23、3940w122477551545w131904831648w14210505105016854231440w171924841250w1819550510 48w1912836218 45w2012036218 45w21120364948w221203631245w231103631240w24160364945w2570273940w262567551545w271904831648w282105051050w291904831648w302055051050w311103631240w32160364945w3370273940w342567551545w35

24、1904831648w362105051050w371904831648w381904831648w392105051050w402004831648w411505051050w421504831648w431804831648w4470255550w451204531548w附录2：表2 学生区(标号为A)到自习区(标号为B)的距离(单位:米)B1B2B3B4B5B6B7B8B9A1355305658380419565414488326A2695533469506434473390532604A3512556384452613572484527618A43245413204664226503

25、06607688A5696616475499386557428684591A6465598407476673573385636552A7354383543552448530481318311A8425305454573337314545543306A9307376535323447553587577334A10482477441361570580591491522附录3问题一的具体计算步骤：1、计算各教室的总功率以及各教室座位平均消耗的电功率并且按座位平均消耗的电功率升序排列如下表：教室座位数灯管数灯管的功率/每只教室总功率座位平均电功率241603645162010.1250 321603645162010.1250 402004848230411.5200 142105050250011.9048 282105050250011.9048 362105050250011.9048 392105050250011.9048 131904848230412.1263 271904848230412.1263 291904848230412.1263