8.3极坐标系下的二重积分ppt课件

1、18.38.3极坐标系下的二重积分极坐标系下的二重积分P(r,P(r, ) r=r() r=r( ) )oorr)rP Pr)r=r(r=r( ) )cossinxryryx如如: r=a r=2cosr=a r=2cos r=2sin r=2sin 2 有些有些二重积分用直角坐标计算比较繁琐，甚至无法计算，如例二重积分用直角坐标计算比较繁琐，甚至无法计算，如例6 6。22xyDIed2214xyDIed22( , )14Dx yxyx x2 2+y+y2 2=1=1x x2 2+y+y2 2=4=4x xy yD D1 1D3 注记注记 ：对于一个二重积分，当：对于一个二重积分，当： 积分区

2、域积分区域D D的边界曲线用极坐标方程表示比较的边界曲线用极坐标方程表示比较 容易；容易； 被积函数用极坐标变量被积函数用极坐标变量r r、 来来表达比较简单表达比较简单 这时，用极坐标计算会带来方便。这时，用极坐标计算会带来方便。因为直角坐标与极坐标之间有关系：因为直角坐标与极坐标之间有关系： 所以极坐标系下二重积分的表达式为所以极坐标系下二重积分的表达式为 ( , )( cos , sin )Df x y df rrrdrdcossinxryr4AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,

3、cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 5在极坐标系下计算二重积分，同样是化为二次在极坐标系下计算二重积分，同样是化为二次 积分来计算，同样有选择积分次序和确定积分积分来计算，同样有选择积分次序和确定积分 限的问题。但积分次序多以先对限的问题。但积分次序多以先对r后对后对 的次序，的次序， 而确定积分限可分为三种情形：而确定积分限可分为三种情形：6 于是得到在极坐标下于是得到在极坐标下二重积分化为二次积分的公式：二重积分化为二次积分的公式： 21( )( ),cos , sinDfx y df rrrdr d 12( )( ),r AOD2( )r 1( )r 1 1 若积分区域若积

4、分区域D： 21( )( ),cos, sinDfx y ddf rrrdr 或写作或写作AO1( )r 2( )r D 72 2若极点在若极点在D的内部的内部02 0( ),r 2( )00,( cos , sin )Df x y ddf rrrdr 则则D可以用不等式表示可以用不等式表示:D( )r 这时有这时有AO( )rr 2( )0( ),( cos , sin )rDf x y ddf rrrdr 若若D由两条封闭曲线围成（如图），则由两条封闭曲线围成（如图），则83 3若极点若极点O O在在D D的边界上，且的边界上，且D D由射线由射线 = = 、 = = 和连续曲线和连续曲线

5、r=r(r=r( ) )围成。即围成。即这时这时例如例如 ( , ) 0( ),Drrr ( )0,( cos , sin )rDfx y ddf rrrdr or22r=r( ( ) )ro r=r( ( ) ) 9 ,Df x y d 把把化化为为极极坐坐标标下下的的二二次次积积分分，. 41:22 yxD其其中中xyO121D4D2D3D ,Df x y d 计计算算例：例： 20 , 21: rD1 r22=1xy 2r 22=4xy 2201,( cos , sin )Df x y ddf rrrdr 直角坐标直角坐标极坐标极坐标22=1xy 22=4xy 1 r2r 解解10利用利

6、用 把积分区域的边界曲把积分区域的边界曲 2,:112,01Dfx y dDxyxx 将将，化化为为极极坐坐标标下下例例的的二二次次积积分分. .cossinxryr 1,r 线化为极坐标形式：线化为极坐标形式：xy 121xy 1sincosr 圆圆：直直线线：xy1121xy xy 1解解111:1,0sincos2Dr 于是于是1r 1sincosr yx11 1210sincos,cos , sinDfx y ddf rrrdr 2:11,01Dxyxx ，12例例3 3 计算计算 ，其中，其中D是以是以22xyDedxdy 解解 D可以表示成可以表示成0,02ra 222xyrDDe

7、dxdyerdrd 原点为圆心，半径为原点为圆心，半径为a的圆域的圆域.2200arderdr 2201(1)2aed 220012raed 2(1)ae 13用极坐标用极坐标 22224sin,Dxydxy 计计算算例例 :12,2Dr 212sinrdrdrr 原原积积分分2122:14,0,0.Dxyxy其其中中212sindrdr 221d xyO解解14例例5 计算计算 其中其中D 为为 2224Daxy dxdy ，222(0)xyaxy 解解2 cosra xOyDa2a02 cos2ra ，0 0所以所以D可表示为可表示为2 cosra 圆的方程：圆的方程：和和x轴所围成的区域

8、，轴所围成的区域，并说明该积分的几何意义并说明该积分的几何意义. 表示成极坐标形式：表示成极坐标形式：222xyax 15于是，利用极坐标得于是，利用极坐标得：2222244DDaxy dxdyar rdrd 2 cos222004adar rdr 33208(1sin)3ad :02 cos2Dra ，0 0382323a （ ）16几何意义几何意义2224zaxy，22,yaxxxOzxOy 面面及及面面圆柱面圆柱面所所围围成成的的立立体体的的体体积积。2224Daxy dxdy ，yOxz2aD2224zaxy 顶顶：是球面是球面17 当积分区域为当积分区域为(部分部分)圆、扇形或扇面等圆、扇形或扇面等,22yx 常用极坐标计算常用极坐标计算.形状时，函数含有