八年级数学上册探索勾股定理(第一课时)教案北师大版【精品教案】

1、用心 爱心 专心 1 探索勾股定理 教学设计第（一）课时 教学设计思想： 本节内容需三课时讲授；勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论 . 本节意图让 学生自己经过观察、归纳、猜想和验证，发现勾股定理 . 初中学生思维活跃，求知欲强，好 奇心浓，所以处理教材内容上尽量发挥学生的学习主动性 . 设计方格纸上计算面积，用拼图 的方法验证等活动，以真正实现学生在知识、智力、能力和全面提高 . 为面向全体学生，进 行小组合作学习，通过交流、议论、取长补短，引导学生团结协作，互帮互学，从而达到 共同提高的目的 . 教学目标： （一）知识与技能 1体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验

2、证勾股定理 2会利用勾股定理解释生活中的简单现象 （二）过程与方法 1在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会 数形结合的思想 2在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的 能力 （三）情感、态度与价值观 1培养学生积极参与、合作交流的意识 2在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气 教学重点 探索和验证勾股定理 教学难点 在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理 教学方法 交流探索猜想 在方格纸上，同学们通过计算以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积，在合 作交流的过程中，比较这三个正方形的面积，由此

3、猜想出直角三角形的三边关系 教具准备 学生每人课前准备若干张方格纸、投影片 教学安排 3课时. 教学过程 I 创设问题情境，引入新课 (1) 三角形按角分类，可分为 _ 、 _ 、 _ 用心爱心专心 2 (2) 对于一般的三角形来说，判断它们全等的条件有哪些？对于直角三 角形呢？ (3) 有两个直角三角形，如果有两条边对应相等，那么这两个直角三角 形一定全等吗？ 师上面三个小问题是我们以前讨论过的，我们简单的回忆一下. 生(1)三角形按角的大小来分类可分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形； (2) 对于一般三角形来说，我们可以用 SAS (边角边)、ASA(角边角)、AAS(角角 边)、S

4、SS(边边边)来判断两个三角形全等；而对于直角三角形来说，除以上四种方法外， 还可以用HL(即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等). (3) 两个直角三角形，有两边对应相等，有两种情况： 第一种情况：两条直角边对应相等，这时，我们可注意到它们的夹角也对应相等，利 用SAS可判断它们全等. 第二种情况：一条直角边和斜边对应相等，利用 HL公理即可判断它们全等. 综上所述，两个直角三角形，如果有两边对应相等，则这两个直角三角形全等. 师我们可以注意到直角三角形有它独有的一些特征在我们学习和生活中，你是 否还发现直角三角形的其他特征呢？ 这节课，我们就来继续研究直角三角形. H. 讲述新

5、课 I. 问题串 师 观察下图，并回答问题:用心爱心专心 3 （ffl 中每个小方格代表一个单位面积） （1）观察图1. 即 A的面积是 个单位面 正方形 A中含有 个小方格， 积； 正方形 B中含有 个小方格， 即 B的面积是 个单位面 积； 正方形 C中含有 个小方格， 即 C的面积是 个单位面 积. （2）在图2、图3中，正方形 A B、C中各含有多少个小方格？它们的 面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流. （3）请将上述结果填入下表， 你能发现正方形 A B，C的面积关系吗? A的面积（单 位面积） B的面积（单 位面积） C的面积（单 位面积） 图1 图2 图3 生在图1

6、中，正方形A含1个小方格，所以它的面积是 1个单位面积；正方形 B 含1个小方格，所以B的面积也是1个单位面积；正方形 C含2个小方格，所以 C的面积 是2个单位面积. 师如何求得正方形 C的面积呢？ 生正方形C可划分为四个直角边长都为 1个单位的四个全等的等腰直角三角形， 用心爱心专心 4 1 所以C的面积为4X( 2 x 1X 1) =2个单位面积. 生我们观察可发现，这四个等腰直角三角形重新拼摆，刚好可拼摆成 2个小方格， 所以C的面积为2个单位面积. 1 生正方形C还可以看成边长为 2个单位的正方形面积的一半， 即C的面积为2 X22=2 个单位面积. 师同学们能够不拘一格地积极思考问

7、题，用多种方法去求得图 1中C的面积，值 得发扬广大，那么图 2,图3中的A, B, C的面积是否可借鉴图1中的A, B, C的求法获得 呢？请与你的同学们讨论、交流。 生图2中，A含有9个小方格或者说正方形 A的边长是3个单位长度，都可以求得 A的面积是9个单位面积；同理可求得 B含有9个小方格，所以 B的面积为9个单位面积； 对于正方形C来说，我们观察可发现它含有 18个小方格，所以C的面积为18个单位面积. 师看来，同学们已能从图 2中很容易地就求得了 A, B, C的面积是不是在求 C 的面积时也和图1相类似，有多种求法呢？ 生是的在正方形 C中，我们可以把它的边缘的 12个全等的等腰

8、直角三角形拼摆 成6个小方格，再加上中间的 12个小方格，正方形 C共含有18个小方格，所以它的面积 为18个单位面积；我们也可以把 C分割成四个直角边为 3个单位长度的等腰直角三角形， 1 也可算得C的面积为4X( 2 X32) =18个单位面积. 生如果把组成C的四个等腰直角三角形沿正方形的边向外翻， 我们观察又可发现 C 1 在边长为6个单位长度的正方形中，并且C的面积恰好是这个正方形面积的一半即 2 X62=18 个单位面积. 生图3与图1，图2类似，所以我们可用同样的方法观察求得 A, B, C各含4个， 4个，8个小方格，面积分别为 4个，4个，8个单位面积. 师把三个图中 A,

9、B, C的面积分别填入上面的表格中，你能发现它们的关系吗？ 生C的面积=A的面积+B的面积. (表格略) 师很好！但是 A, B, C的面积为什么会有这种关系呢？我们接着观察这三个图， 你能发现什么？ 生在前面您说过这节课我们主要研究直角三角形，而在这三个图中，都是三个正 方形围着一个直角三角形. 师的确如此，从图中我们可以发现：三个正方形好像是“长”在直角三角形的三 边上. 生这说明三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的. 师那么，（3）的结论即C的面积=A的面积+B的面积与三角形有什么关系？这个 关系说明什么？大家可以讨论、交流. 用心爱心专心 5 生C是斜边上的正方形，所以

10、 C的面积是斜边的平方； A, B是两直角边上的正方 形，所以A, B的面积分别是这两条直角边的平方根据 A, B, C的面积关系，我们不难发 现：斜边的平方就等于两直角边的平方和. 师但是，我们也不难发现上面 3个图中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不 是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种三边关系呢？ 2 .做一做 （1）观察图4，图5, r 、 C I TT A 11 严 / 、 / c/2 1 图4 5 并填写下表: A的面积（单 位面积） B的面积（单 位面积） C的面积（单 位面积） 图4 图5 你是怎样得到上面结果的？与同伴交流. （2）三个正方形 A, B,

11、C的面积之间的关系? （让学生先独立思考，然后填写上面的表格.最后以小组为单位充分交流各自的想法, 特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形 C的求法） 师生共析根据图 4,图5可填表如下: A的面积（单位 面积） B的面积（单位 面积） C的面积（单位 面积） 图4 16 9 25 用心爱心专心 6 图5 4 9 13 我们先来观察图4，不难看出A, B分别含有16个小方格，9个小方格，所以 A、B的 面积分别为16个单位面积，9个单位面积，但斜边上的正方形 C的面积的计算较为复杂， 我们可用以下几种方法求得： 第一种方法：将正方形 C分割成4个直角边长分别为 3、4全等的直角三角形和中间的

12、 1 一个小方格，利用计算三角形面积的公式可得正方形 C的面积为4X（ 2 X 3X 4）+仁24+1=25 个单位面积. 第二种方法：直接数正方形 C中含有多少个小方格，但需要适当的拼凑，在第一种方 法中，我们将正方形分割成 5部分，直角三角形I、n、w和一个小方格，其中直角 三角形I、川可拼凑成一个长和宽分别为 3和4的长方形，含有12个小方格，同理n、w 也可拼凑成12个小方格，所以正方形 C中共有12+12+仁25个小方格即C的面积为25个单 位面积. 第三种方法：可将直角三角形I、川、W沿正方形 C的边外翻，就得到一个边长 为7个单位长度的正方形，这时正方形 C的面积就为（49 -

13、1）十2+仁25个单位面积. 图5与图4同理. 我们从上表不难发现 16+9=25, 4+9=13即C的面积=A的面积+B的面积. 师图4和图5中的三个正方形 A, B, C也是由中间的直角三角形“长”出来的， 你能从三个正方形的面积关系与直角三角形的三边联系吗？ 生图4中的正方形A, B, C的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的 平方，根据三个正方形的面积关系，我们不难发现，在这个直角三角形中，两条直角边的 平方和等于斜边的平方由图 5我们也可得出同样的结论. 3. 议一议 师我们通过对前面几个直角三角形的讨论，分析，你能归纳出直角三角形三边长 度存在的关系吗？用自己的语言表达你的

14、重大发现与同伴交流. 生在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边的平方. 师这是由前面几个特例猜想出来的，是否合理呢？我们不妨作几个直角三角形检 验一下.例如，作一个分别以 5厘米、12厘米为直角边的直角三角形，然后测量斜边的长 度，通过计算看一下直角三角形三边的规律还成立吗？生1.作一个直角/ MCN 2. 以C为圆心，分别以 5厘米、12厘米为半径画弧交 CM CN于点A, B; 3. 连结 AB. 用刻度尺量出斜边 AB的长度（强调注意测量的误差）为 13厘米经检验斜边 AB=132=169,两直角边平方和 AC+BC=52+122=25+144=169 .即两直角边的平方和等于斜

15、边的 平方. 师很好.同学们不妨多作几个不同的直角三角形，用上面的方法检验直角三角形 三边的关系. 用心 爱心 专心 7 师生共析通过特例猜想、检验，我们不难发现，直角三角形的三边的规律是成立 的，这就是我们将要介绍的重点内容勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a， b， 斜边为c,那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 4. 读一读（课本 P6） 古代人就对勾股定理有过深入的研究,几大文明古国都有相应的勾股定理的记载.我 国是最早发现勾股定理的国家之一.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出,将一根直 尺折成一个直角.如果勾（即直角三角形中较短的直角边）等于 3,

16、股（即直角三角形中较 长的直角边）等于 4,那么弦（即直角三角形中的斜边）等于 5,即“勾三、股四、弦五”, 它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中,在这本书中的另一处,还记载了勾 股定理的一般形式. 因此,我们也把勾股定理称为商高定理, 而把商高称为“勾股先师”. 在 西方,把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理.相传二千多年,希腊著名数学家毕达哥拉 斯学派首先证明了勾股定理,因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动,宰杀了一百头 牲畜.但因此也引发了数学的第一次危机边长为 1 的正方形的对角线的长度不能用整 数或分数来表示. 关于勾股定理的记载还有很多,同学们如果有兴趣,可查阅有关这方面的资

17、料。 所以说勾股定理有着悠久的历史,它反映了古代人民的聪明才智. 5. 想一想 师小明的妈妈买了一部 29 英寸（ 74 厘米）的电视机.小明量了电视机的荧屏后, 发现荧屏只有 58 厘米长和 46 厘米宽,他觉得一定是售货员搞错了,你同意他的想法吗？ 你能解释这是为什么吗？ 生我听爸爸说过, 29 英寸或 74 厘米的电视机,是指荧屏对角线的长度,而不是其 长或宽. 生 可是,连结荧屏的对角线将长方形的荧屏分成全等的两个直角三角形.根据勾 股定理， 长2+宽2=742,可582+462工742，这是为什么呢？ 生因为荧屏边框遮盖了一部分,所以实际测量存在一些误差. 师的确如此,但这里我们要知

18、道一个生活常识, 29 英寸（ 74 厘米）指的是荧屏的 对角线的长度,而非荧屏的长或宽. 6. 例题讲解 例在厶ABC中，/ C=90 (1) 若 a=8, b=6，则 c= _ ; (2) 若 c=20, b=12，则 a= _ ; (3) 若 a: b=3: 4, c=10，贝U a= _ , b= _ . 师生共析 分析：在厶ABC中，/ C=90。，所以有关系：a2+b2=c2.在此关系式中，涉及到三个量， 利用方程的思想，可“知二求一” 解：根据题意可得 a2+b2=c2 (1) 若 a=8, b=6，所以 82+62=c2.即卩 c2=100, c 0,所以 c=10; 2 2 2 2 2 2 2 (2) 若 c=20, b=12,所以 a +12 =20 ,即 a =20 12 = (20+12) (20- 12) =32X 8=16 , a 0，用心 爱心 专心 8 所以 a=16; (3) 若 a： b=3: 4,可设 a=3x, b=4x,所以(3x) 2+ ( 4x) 2=102.化简，得 9x2+16x2=100, 22 25x2=100, x2=4, x=2( x 0),所以 a=3x=6； b=4x=8. 评注：综合上述解法可以发现，形(即 ABC为直角三角形)与数(a2+b2=c2 )的统一， 所以我们说勾股定理是形与数的结合. 川.课时小结