巧用向量共线充要条件解题

1、巧用向量共线充要条件解题上犹中学数学教研组刘道生随着向量在科学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作 用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题。据有关专家分析，在 今后的高考试题中，共线向量必将增长态势。务必引起师生们重视与注意。大家知道，共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b =0), a/b的充要条件是存在实数(具有唯一性)，使a = b ,或如果设= (x1, y1) , = (x2, y2),则a/b的充要条件是x2-X2yi=0。本条件多用于求轨迹方程与证明较难的平面几 何或立体几何题。可以说已形成较为完备的思维定式，十分有利于快速地形成正 确的解题思路。

2、(一)在平面几何证明题中的应用很多平面几何证明题的说理过程十分繁杂， 牵涉的平面几何知识面宽，解题 过程冗长，但当我们将条件进行向量处理，变图形中线段为向量，特别是根据实 际需要建立直角坐标系，则可将平面几何的推理过程便转化为向量代数的计算过 程，从而显得方便快捷，简单明了。B例1、如图点G是三角形ABO勺重心,PQ是过G的 分别交OAOB于P、Q的一条线段，且OP -mOA，OQ = nOB ,( m、n R ) 01 1求证-=3m n分析：本题是一道典型的平面几何证明，如 果用平几方法则过程很复杂，如果我们将题目中 的已知条件作向量处理便能使证明过程简单得 多。因为注意到P、G Q三点在

3、一条直线上，所以我们可以考虑 PQ与PG共线,于是可以用共线定理得方程组求解。F-*N 亠证明：设 OA =a， OB =b，贝U OP =ma， OQ 二 nb1 一 一 1 2 一 1/ OD(OA OB )(a b)， OGOD(a b)22331 - - - 1 1 PG=OG OP(a 亠 b) ma = (m)ab ，333即PQ=OQ -OP nb -ma ，又P、Q G三点在同一直线上，则PG与PQ共线 存在一个实数'使得PG二 PQ_ m）a b nb3ma，即:11（ m 亠：m）a - （ n）b = 0 331_ m + 亦=0 a与b不共线，彳3消去人得丄十丄

4、=31m n一 _kn = 0、3例2、如图在三角形 ABC中,AM : AB=1 : 3,AN:AC=： 4,BN与CM相交于点P,且AB = a ,AC = b，试用a、b表示AP分析：本题是以向量为载体的平面几何题， 所以我们很容易联想到点 M P、C三点在一条直线上，可用共线定理的充分必要条件求解解 AM : AB=1 : 3,AN : AC=： 4, 1 1 、 1 一1 AM AB a ， AN AC b ，3344I M P、C三点共线，可设MP二，MC（， R）于是 AP = AM MP Ja MC3.h L 1 -MC = AC - AM = b a 3二、在求动点轨迹中的应

5、用轨迹方程的很多题目可以用向量共线的充要条件来探求解， 这样可简化分类 讨论和运算繁琐，也弥补这两种题缺陷，使解题优化。用向量共线的充要条件解 决求轨迹问题，最理想的情形是题设中有“向量的数量积” “平行”即共线。向 量成为我们处理问题的基本工具。例3、如图,过A（-1,0）,斜率为k的直线I与抛物线1（y：, y2），（x, y），则有4C：y2 =4x交于P、Q两点，若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按图中顺序构成平行四边形，求点R的轨迹方程。分析:本题若不用向量法，一般采用联立方程，考虑判别式，结合韦达定理的方法，尽管思路清晰，但 计算量大，且技巧性强，不易掌握，而利用向量法解 答，简单明

6、快，容易接受。1解：设P、Q、R三点坐标分别为（一 y；, yt），4-il 12-112-il 12i12AP1,y1），AQ 書 y2 1,y2），F（严-1,y1） ,QR=（X-；y2,y-y2）。由 A , P , Q 三点共线知：ap / aq ,(- y12 1) y y1( y2 - 1),441y“2(yi y?) =(yi 心4(1 2.(y141 2 2.x (y1 - y2) -14由四边形PFQR为平行四边可知：FP = QR ,1 21, y1) =(x讨 2、讨一讨)42-31 I2、1-y1 - y2 2丫1丫2,1y1 -目244=4x 12 .12 2(y1

7、 y2) -1y“2 1=1。4.点R的轨迹方程是2y 4x 12 (x 1)(1)(2)(1)(2)22例4、已知椭圆y 1，直线上丄=1，P是1上24 16 12 8一点，射线0P交椭圆于R，又点Q在0P上且满足 |OQ| |OP|=|OR r，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是 什么曲线？分析:本题我们注意到点 Q在OP上，于是存在OQ、OR、OP共线，因此可借助两个非零向量共线的充要条件，巧设参数、转化已知条件|OQ|OP|=|OR |2为- 2，使得消元过程异常简捷。向量与解题交汇的综合题已成为高考命题的热点= _解析：设Q （x , y）（其中x、y不同时为0）由非零向量O Q、OR、

8、OP共线，可 设 OR= OQ， Op=OQ，则OR =（，x,，y） ,Op =（x,y）,分别代入椭圆方程、直线方程得：2 2丄丄=丄、22416(1)(2)由 |OQ | *|OR |=| OR |2 得：POQ =&2OQ即- 2(3)由(1)、(2)、(3)消去扎，卩整理得：2 2(X -1) (y -1)=1 (其中x、y不同时为0)所以点Q的轨迹是以(1, 1)为中心，长、短半轴分别为 上和且长轴与X23轴平行的椭圆。(三)在空间向量共线问题中的应用在空间几何问题中向量解法已是当今高考命题热点，今后的高考命题中也可能再度升温。解这类题根据共线向量的充要条件解题很容易发现其

9、解题的一般规 律是，先选适当原点建立空间坐标系，再将向量用坐标法表示，然后再利用向量 代数进行计算解题。例5、( 08湖南)如图所示，四棱锥P -ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,BCD = 60，E 是 CD 的中点，PA _ 底面 ABCD， PA = 3。(I) 证明：平面PBE_平面PAB；(II) 求二面角 A BE P和的大小。分析：本题的第一小题要证平面 PBE丄平面PAB，而E是CD的中点，即 EB丄AB，所以只要证平面PAB的法向量与BE共线即可。3薦A(0 ,0,0), B(1,0,0), C(, 2 2解：如图所示，以A为原 点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分

10、别是1 . 3-、3,0), D(,0), P(0 ,0, 3), E(1,0).2 2 2(I)因为BE =(0,五,),平面PAB的一个法向量是n°=(0,1,0),所以BE和n°共线.从而BE丄平面PAB.又因为BE二平面PBE,所以平面 PBE_平面PAB. (II)解略例6 (07安微)如图，在六面体ABCD-AiBiCiDi中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形AiBiCiDi是边长为1的正方形，DDi 丄平面 AiBiCiDi, DDi 丄平面 ABCD, DDi = 2.(I)求证：AiCi与AC共面，BiDi与BD共面； (U)求证：平面 AiACC

11、i丄平面BiBDDi;(川)求二面角 A BBi-C的大小(用反三角函 数值圾示)分析：本题是利用共面向量充要条件证明的典例， 也就要求我问利用该条件说明DB与D.B；，满足DB = Di Bi 即可。解：以D为原点，以DA，DC，DDi所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直 角坐标系 D - xyz 如图, 则有 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A (i,0, 2)，B1(i,i,2)，Ci (0,i,2)，Di (0,0,2).(I)证明： ACi =(i,i,0),AC =(2,2,0),DiBi =(i,i,0),DB =(2,2,0)二 AC =2AG，DB

12、2DiBi .AC与AiCi平行，DB与DiBi平行,于是AiCi与AC共面，BiDi与BD共面.(n)(川)解略。例7、(08四川) 如图，平面ABEF 平面ABCD，四 边形ABEF与ABCD都是直角梯形，ZBAD ZFAB =90°, BC AD , BE / AF=2 =2(I)证明：C,D,F,E四点共面；(n)设AB =BC =BE，求二面角A - ED -B的大小；分析：本题要证C、D F、E四点共面显然可通过CE/ DF,即证CE与DF共面来实现，要求二面角 A- ED-B的大小，显然可分别过 A B作DE的垂线ANBM通过求向量NA、mb的平面角求得，然后转化为求

13、MN点的坐标，而求MN点的坐标可注意到ME与DE共线NE与DE向量共线，从而可利用向量共线的充要 条件求得。于是有下面的解题过程。解：由平面 ABEF 平面 ABCD， AF _ AB，得AF 平面ABCD，以A为 坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 Axyz（I）设 AB 二 a, BC 二 b, BE 二 c，贝UB a 0 , 0 C a ,b , 0 E, a ,0,D,EC 二 0, b, -c ,FD 二 0,2b, -2c_l1_故 EC FD，从而由点 EFD，得 EC/ FD 2故C,D, F ,E四点共面（U）、设 AB=1,贝U BC=BE=1 B （1，00） C （1，1，0） D （0，2，0）E （1, 0, 1）过B点作DE的垂线垂足为设M（ X0,y°,z。），注意到DM与 ME共线，且DM = ME 一 、/口5 1 5BM! DE,贝U 设 DM =，ME，由，可求得，=5 , M （-、丄、2）,MB *DE = 0* 6 3 6MB