常微分方程的实际应用

1、常微分方程的实际应用于萍摘要： 常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高， 应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方 程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建 立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预 测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。关键字： 常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用1Abstract: Nomal differential equation is an important

2、 part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the probl

3、em, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process.Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use#引言数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量 之间的一种关系，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动

4、过程 时，反映运动规律的量与量之间的关系 （即函数 ）往往不能直接写出来， 却 比较容易地建立这些变量和它们的导数 （或微分 ）间的关系式，不同的物理 现象可以具有相同的数学模型，这一事实正是现代许多应用数学工作者 和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论依据。例如，利用 电路来模拟某些力学系统或机械等等在现时已相当普遍。在自然科学和 技术科学的其他领域中，例如化学、生物学、自动控制、电力技术等等， 都提出了大量的微分方程问题，因此，社会的生产实践是常微分方程理 论取之不尽的基本源泉。此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也 是非常密切的。它们往往互相联系、互相促进。例如，几何学、机械运

5、 动、电磁振荡就是常微分方程理论的丰富的源泉之一，常微分方程也是 解决实际问题不可或缺的武器。3、常微分方程在几何学的应用在几何应用问题中，列的方程常常是含有变限定积分的方程。在求 解时要化为相应的微分方程或微分方程初值问题。凡是能用定积分计算 的量，一定分布在某个区间(比如a,b)上，并且对于该区间具有可加性， 曲边梯形的面积A与区间a,b有关，当把a,b 1分成n个部分区间时，则所 求量A也相应地分成n个部分量 A (i =1,2，,n)，而A就等于所有这些部n分之和，即A = = AA ,这时我们就称面积A对区间la,b具有可加性，几1何中的面积、弧长，曲线方程等都具有这种特性。在求解微

6、分方程的应 用问题时，列出方程是关键性的一步，一定要逐字逐句地仔细阅读题目， 根据题目的要求确定未知函数和自变量，然后利用题设中指出的(或包含的)相等关系列出方程，应用问题常常是初值问题。因而，要从题设中确 定未知函数满足的初始条件。常微分方程在解决几何问题的过程中通常采用数形结合，达到简易 直观的效果。利用y表示曲线y = f(x)上x,y点处的切线斜率或-生表示曲线dyxy= f (x)上(x, y)点的法线斜率以及f f (t)dt表示由曲线 ay = f (x) (f (x) - 0)，直线x = x,x = a，x轴所围图形的面积等方面的意义， 列方程。解方程，在求解过程中一定要对常

7、微分方程的解法熟悉于心，才能 得心应手。首先要审视方程，判断方程类型，属于一阶微分方程还是可 降阶微分方程或高阶微分方程等等。根据不同类型，确定解题方案。F面就让我们结合具体例题来体会常微分方程在解决几何问题的应例1 2设y二f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲O为坐标线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影原点，若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为f(x)的表达式。解：根据题意有:f(0) -1, f (1) = 0且 + f (x)】+ f2xf (t)dt 二将上式两边对x求导数,2得 2 1 f (x)丨 2 f(X)一 f

8、(x)二 xx当0 ： x汨时，可化为一阶线性微分方程:11f (x) - f (x) = x -xx方程两边同除x,即得他 =1-2 x J x积分可得他=X 1 cxx于是，方程通解为f (x) = x2 V cx把f (1) = 0代入通解，可确定常数c = -2故所求函数f (x)的表达式为：f (x) = X2 1 2x = (x 1)2,0e x <1例2：'、在上半平面求一条向上凹的曲线，其任一点 p(x,y)处的曲 率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数，(Q是法线与x轴的交点), 且曲线在点(1,1)处切线与x轴平行。解：见图，所求曲线为y二f (x)，于是其

9、在p(x,y)点处的曲率为：(1 y2)2 (1 y2)2(曲线为凹的，y 0)曲线y = f (x)在p(x, y)点处的法线方程：Y- ySx- x)(y = 0)W它与x轴的交点Q的坐标Q(x yy ,0),1 1由题设k =1PQ(1 y2)2y(1 y2)2于是 PQ| = J(yy)2 + y2 = y(1 十 y2)2,对=1 y 2这是不显含x的方程初始条件为，y|x1, y |x. 0令y = P,y ，于是方程变为dyypdp 二 1 p2 冬 dp 二史dy1 p y51 2=2(1 P r Iny G ,代入 y Ixj = 0，得 g = 0二 p2 =y2 1二 p

10、 =y2 _1 ,积分得 In(y. y2 -1) = (x -1) c2代入y |x討=1，得C2 = 0故所求曲线为：y y2十e(x)，即y=；(ex宀例3、已知曲线过(1,1)点，如果把曲线上任一点P处的切线与y轴的交点记作Q，则以PQ为直径所做的圆都经过点F(1,0)，求此曲线方程。解：见图所求曲线设为y二f (x)于是切线方程为丫- y = y (X - x) 切线PQ与y轴的交点Q的坐标为Q(0,y - xy)设M点为切线段PQ的中点，坐标为<2 2丿T圆经过点F(1,0)MQ = MF于是得方程“,1yy yx令y2二z，则方程=-(y2-y2 -1 - z = 一z 2

11、 -2xxxxQpl_Q(1) z = z二 一 =一 dx二 In z = 21 n x In c xzxz = cx2令Z二c(x)x2为的解,代入并整理，得#c (x)x2 = -22 c (x)x故的通解为:即方程的通解为y2 =2x-1 x2，#代入初值y lx刍=1，得 = 0故所求曲线为y2 =2x-1例4:1 在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状。过曲线y = f (x)上任一点M (x,y)作切线NT则由反射定律：入射角等于反射角，容易推知：= ： 2从而OM =ON注意到¥"

12、;2dxMPNP9#及 OP =x,丽二 y,OM f ix2 y2dydx就得到函数y= f(x)所满足的微分方程式这是齐次方程。设=，将它化为变量分离方程求解x得y2二c(c - 2x)c为任意常数故反射镜面的形状为旋转抛物面 y2 z2 = c(c 2x)二、常微分方程在机械振动中的应用常微分方程与物理联系甚为广泛，下面我们就一起来看一下常微分 方程在机械振动中的应用，常微分方程解决力学问题需要：建立坐标系，对所研究物体进行受力分析；根据牛顿第二定律F二ma，列方程；解方程。下面，让我们从实例中体会常微分方程在力学中的作用。例1?: 一个质量为m的船以速度v0行驶，在t = 0时，动力关

13、闭，假 设水的阻力正比于vn，其中n为一常数，v为瞬时速度，求速度与滑行距 离的函数关系。11解：船所受的净力二向前推力-水的阻力=0 - kvn,加速度二速度对时间的导数，即dva 二 ，dtiiii于是，由题设有dvnm=-kvdtv |t= V°现在要求的不是速度与时间的关系,而是速度与距离的关系，设距iiii把v|才Vo，x|t£ = 0代入上式，得离为x，于是，上述方程可化为:故宀一 卫xm2-nV。dv n-kvdx()2-n，得mv.kx c2- n2-nc当n =2时，两边积分mvo2- n二 mJdv _ - kdxdvdv dxmmmvdtdx dt当

14、n=2时，（探）=mv'dv =kdx，,Jkx积分得v二ce m ，将初值代入，得c = v0kx故 V 二 v°e m例2:2两个质量相同的重物挂于弹簧下端， 其中一个坠落，求另一 个重物的运动规律，已知弹簧挂一个重物伸长为 a。解：如图所示，建立坐标系设弹簧自由状态时长度为I，取I a处(即挂一 重物时弹簧的长度)为坐标原点，取x 轴铅直向下，设在t时刻，重物在x处, 由虎克定律知，此时弹性恢复力为 -kx,k为弹性系数，负号“一”是因为弹性恢复力与位移反向，由牛顿第二定律有:( 2m今一ktdtx(0) = ax(O) =0T挂两重物时，弹簧伸长2a，由虎克定律有:2

15、mg 二 k 2a= k = mga2d xg方程 2x,dt2a其特征方程：2 - - g = - _ a于是方程通解为込耆“耆aC0S：gt把初始条件x(0) =a,x (O) =0代入以上两式所求重物的运动规律为 x 二 acosgt例3：1 ：数学摆是系于一根长度为I的线上而质量为m的质点M在重 力作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周动运。如图所示，试确定摆 的运动方程。点M向着平衡位置A的方向运动，即当角为正时，向减小的方向运动,当角为负时，向增大的方向运动，所以MP的数值等于-mgsi，因 此，摆的运动方程是m色- -mgsin ，即= - -sin。dtdt2 I(1)如果只研究

16、摆的微小振动，即当比较小时的情况，我们可以取sin :的近似值代入上式，这样就得到微小振动时摆的运动方程:d2 ;dt2(2) 如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么，沿摆的运动方向就存在一个与速度v成比例的阻力，若阻力系数为J，则摆动方程为dZgdt2m dt I如果沿摆的运动方向恒有一个外力F (t)作用于它，这时摆的运动ii称为强迫微小振动，其方程为：J dg二丄F(t)。dt2 m dt I ml当要确定摆的某一个特定运动时，我们应给出摆的初始状态：当t = o 时，°，Wo。dt这里;：o代表摆的初始位置，w0代表初始角速度。例4：3生产实践中很多机械问题都归结为弹性

17、振动问题，下面便是一个弹簧振动的典型例子。设有弹性系数 c而自 然长度为I的弹簧竖着悬挂着。它的上端固定， 下端悬挂，一个质量为m的物体，物体受到垂直 干扰力f二fi(t)，求物体的运动规律所满足的微 分方程。解：如图所示，取通过悬挂点的直线为x轴, 向下记为正方向，原点取在系统平衡位置，为确Vx定物体运动规律，先分析它的位置，x = x(t)处的 受力情况。(1) 弹簧弹性力fo，依虎克定律f -cG x)，其中为弹簧在物体 重力作用下的伸长量。(2) 物体所受重力p = mg(3) 介质阻力R与物体运动速度成正比，与运动方向相反，R =- - 1 dxdt其中)为常数，称为阻尼系数。(4)

18、重力干扰力f = fi (t)因此，这时物体所受合外力dxF = fo p R f = -o心亠 x mgf1(t)dt再由牛二定律，得方程：d2 xdxm 一2cG 亠 x mgfi (t)dtdt由于系统的平衡位置处，弹性力fo=-c：与重力p二mg平衡，故有_c mg 二 0于是上述方程写成2d x , dxm2cx= f1 (t)dt2 dt若记 2n， = k2mmfi(t)mf(t)15#则可写成2d x 小 dx ,22 2nk2x = f (t)dt2 dt这就是该物体在外力f (t)作用下运动规律。x二x(t)所满足的微分方程若物体振动过程中，未受外力干扰，即f(t) = O

19、，则微分方程d2x dt22n鱼 k2x=0 dt三、常微分方程在电磁振荡中的应用建立起实际问题的数学模型一般是比较困难的，因为这需要对与问 题有关的自然规律有一个清晰的了解，如前面所求的力学问题就要对牛 二定律有清楚的认识，同时也需要有一定的数学知识，为了要建立起实 际问题的数学模型，一定要学习有关的自然科学和工程技术的专业知识， 微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型，我们在建立微 分方程的时候，只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素，而把其它 一些次要因素忽略掉，如果的确考虑到了那些最主要的因素，那么，我 们所得到的微分方程，它的解和所考虑的物理现象就是比较接近的，这 时，我们

20、得到的数学模型是有用的，否则，我们还应考虑其它一些因素， 以便建立起更为合理的数学模型，为了解决热电学问题，需要了解其中 的一些基本规律，如下面将用到牛顿冷却定律，其内容为热量总是从物 体中温度高的向温度低的物体传导；在一定温度范围内，一个物体的温 度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度差值成比例，等等，我 们将在实例中一一解答。常微分方程解决电磁振荡问题通常建立起电热学问题的数学模型，也就是反映这个实际问题的微分方程。求解这个微分方程。用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到 某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的 目的。接下来，就让我们从实例中体会常微分方程在电

21、热方面的应用。例1 ： 1 ： . R -L电路，如图，它包含电感L ,电阻R和电源E，设t = 0 时，电路中没有电流，我们要求建立：当开关 k闭合后，电流I应该满足 的微分方程，假设R, L,E都是常数。解：为了建立电路的微分方程，我三E们引用关于电路的基尔霍夫第二定律：厂|在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。注意到经过电阻R的电压降是RI，而经过电感L的电压降是LdIdt由基尔霍夫第二定律得到e_lri=0dl RE即 I二一dt LL求出的I =l(t)应满足条件：当t = 0时，丨=0，如果假定在t = t0时，I = I o，电源E突然短路，因 而E变为零，此后亦保持为零

22、，那么电流I满足方程。dI RI =0，及条件 t 二 t0 时，I = 10dt L0例2： 1 ： R-L-C电路，如图所示，它包括电感L ,电阻R和电容C ,设R,L,C均为常数，电源e(t)是时间t的已知函数，我们要求建立：当开关k闭合后，电流I应满足的微分方程。解：注意到经过电感L,电阻R和电容C的电压降分别为L 9 , RI和Q ,dtC其中Q为电量，因此由基尔霍夫第二定律得到 e(t)二 L 9 ri QdtCT I二竽，微分上式得到dtd2I Rd£ 丄 _ 1 de(t)dt2 L dt LC L dt这就是电流I应满足的微分方程，如果e(t)=常数，得到d2I R

23、dl Idt2 rdt Lc =0如果又有R = 0，则得到d2I 12 0dt2 LC例3： 1电容器的充电和放电，如图所示R-C电路，开始时电容C上没有电荷，电容两端电压为零，我们把开关k闭合“ 1”后，电池E就对电容C充电，电容C两端电压Uc逐渐升高，经过相当时间后，电容充电 完毕，我们再把开关k合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C两端的电压uc随时间t的变化规律。解：对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定律有Uc lbC21RUC RI 二 E对电容c充电时，电容上的电量 逐渐增多，根据Q=CUc得到:1唱计CUAC貯将代入，得Uc满足的微分方程:R

24、C 业 UC 二 E dt这里R,C,E都是常数，方程属于变量分离方程，将变量分离得到dUc _ dtUc-E RC两边积分，得到In Uc E =RCCi即Uc -E二 C?eRC这里C2 h eCi为任意常数。将初始条件：t=0时，uc=0代入得到C2=-E这就是R-C电路充电过程电容C两端的电压变化规律，由知道， 电压Uc从零开始逐渐增大，且当t :时，U厂E，在电工学中，通常 称二RC为时间常数，当t = 3时，Uc =0.95E，就是说，经过3的时间 后，电容C上的电压已达到外加电压的95%，实际上，通常认为这时电容C的充电过程已基本结束，易见充电结果uc = E，对于放电过程，可以 类似地进行。例4".将某物体放置于空气中，在时刻t = 0时，测量它的温度