平面向量与解三角形单元检测题(含答案)

1、平面向量与解三角形单元检测题一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 设 x, y R，向量 a= (x,1), b = (1, y), c = (2, - 4)，且 a丄c, b / c,则 |a+ b|=()A. 5 B. 10 C. 2 5 D. 10uuu 1 uuuuur um2. 在 ABC中，N是AC边上一点，且 AN = NC , P是BN上的一点，若 AP = m AB +2 uuu2AC，则实数m的值为()1 1A.9 B.3 C. 1 D. 33. 已知点 A( 1 , 1), B(1 , 2), C(-

2、2,- 1), D(3, 4)，则向量AB在CD方向上的投影为3 23 153寸23 15a.2b2c.石d .-2_4在直角坐标系xOy中，AB= (2,1), AC= (3, k),若三角形ABC是直角三角形，则 k 的可能值个数是()A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 已知向量a与b的夹角为120 ° |a|= 3, |a+耳=伍，贝U |b|等于 ().A . 5 B . 4 C. 3 D . 16. 在四边形 ABCD中，AC = (1 ,2), BD = (-4, 2)，则该四边形的面积为A. 5 B. 2 5 C.5 D. 10TTT7. 如图所示，非零向量 =

3、a,)E= b,且BC丄OA,C为垂足,若_= Xa(入工则)，入=()1#2 2 2& 在厶ABC中,sin Aw sinB+sin C-sin Bsin C,则A的取值范围是n(B), n69.设厶ABC的内角A,nr 2 nA3nn(C)(0, 3(D)-, >33b, c.若 b + c= 2a,3sin A = 5sin B，则角 C=B, C所对边分别为a,3 n5 nB. CD.34610. 在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则 A, B, C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数 入使得OC = O + (1 - ROB成立，此时称实数 入为向量OC关于OA

4、和OB的终点共线分解系数 ”若已知p*3, 1), P2( 1,3)，且向量O?3与向量a= (1,1)垂直，则向量帀3 关于OP1和 OP?的终点共线分解系数”为()A. - 3 B. 3 C. 1 D . - 1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)uiTuur11. 在平面直角坐标系 xOy中，已知0A = (- 1, t), OB = (2,2).若/ ABO = 90°则实数t的值为12. 已知a= (1,2), b = (1,为，若a与b的夹角为钝角，则实数入的取值范围是 13. 已知正方形 ABCD的边长为2, E为CD的中点，贝

5、U AE BD =.n14. 设8, e2为单位向量，且 e1, e2的夹角为3，若a = E + “2, b = 2环 则向量a在b方向3上的射影为.15. 若非零向量 a, b满足|a|=|b|, (2a+ b) b= 0,则a与b的夹角为.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16. 已知 ABC的角A, B, C所对的边分别是 a, b, c,设向量 m= (a, b), n= (sin B, sin A), P= (b-2, a 2).(1)若m/ n，求证： ABC为等腰三角形；n_ ,若m±p,边长c= 2,角C = 3,

6、求厶ABC的面积.17. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.2 na(1)求证:a,b,c成等差数列；(2)若C= ，求 的值3b118. 在 ABC中,a、b、c分别是角 A、B、C所对的边，且a=c+bcos C.2(1)求角B的大小;(2)若Sbc=3 ,求b的最小值.C a 319. 在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,若 acos； + ccos； = 3b.(1)求证：a, b, c成等差数列；(2)若/ B = 60° b = 4,求厶ABC的面积.

7、20. A ABC为一个等腰三角形形状的空地 ，腰AC的长为3(百米)，底AB的长为4(百米)现决 定在空地内筑一条笔直的小路 EF(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形 ，设分成 的四边形和三角形的周长相等，面积分别为S1和S2.(1)若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度； (2)若小路的端点E、F两点分别在两腰上，求§的最小值S2sin B sin Csin A2 - cos B - cosCcos A21. 已知 ABC的角A, B , C所对的边分别是 a , b , c,且满(1)证明：b c = 2a ；(2)如图，点 O 是厶 ABC 外一点，设 AOB

8、 -v(0:二),OA=2OB =2 ,当b = C时，求平面四边形 OACB面积的最最大值。3参考答案:2x 4 = 0,4 2y = 0,故 a+ b = (3, 1), |a+ b|= 10.uuu 1 uuu uuu 11 B 由题意可知解得r=2,y = 2.2.选B 如图，因为AN = 2 NC，所以AN = 3 AC ,uuu2AN，因为B, P, N三点共线，所以 m+ 3 = 1，所以m=322AP = m AB + - AC = m AB +石9313.3. A解析AB= (2,1), CD = (5, 5)，所以AB在CD方向上的投辔为 AH CD 2X5+1逅|V52+

9、525 J? 24. B 解析：.若/ A= 90 °则 Ab Ac = 6+ k= 0, k= 6;若/ B= 90° 则 AB Bc= AB (AC AB)= 0, 6+ k 5 = 0, k= 1; 若/ C= 90° 则 AC Cb = AC Ab AC) = 0, k2 k+ 3= 0 无解.综上，k可能取6, 1两个数.故选B.5. B解析 向量a与b的夹角为120 ° ai= 3, |a + b|=13,则 ab= |a|b|cos 120 = |b|, |a+ bf = |a|2+ 2a b+ |b|2. 所以 13= 9 3|b|+ |

10、b|2，则 |b|= 1(舍去)或|b|= 4.6. c解析 因为AC BD = 0,所以AC丄BD.故四边形 ABCD 的面积 S= 2|AC|BD |= 1X. 5>2.5 = 5.峠TF Tt T TFT7. A【解析】.丄,即丄_，所以(人-上)一 =0,所以|_ F丄 _=0,即*|af-入a - b又0,入工解得入=.8 C.解析:根据正弦定理，由 sin2A< sirnB+sin 2C-sin Bsin C 得 a2< b+c2-bc,根据余弦定理cos A= £ 斗丄2bc 2bc 22#2#n又/ 0<A< n,.°. 0&l

11、t;A< ,故选 C.39. B 【解析】由 3sin A = 5sin B，得 3a = 5b.又因为 b+ c= 2a,所以 a= |b, c= fb,所以 cosC=怜2=斗= 2.因为 CC (0, n) 所以 C =2 X3b Xb10. D.解析：设 OP3= (x, y)，则由 OP3丄a 知 x+ y= 0,于是 OP3= (x, x),设 OP3=滸1+ (1 为帀2, (x, x)= 2(3,1) + (1 为(1,3) = (4 Z 1,3 2为.411 = x,于是 4 1 1 + 3 2 = 0, = 1.3 2 ?= x,uuu Uun uuruuu uuu1

12、1. 5解析：AB=OBOA = (3,2 t),由题意知 OB AB = 0,所以 2X3 + 2(2 t)= 0, t = 5.12. m, 1 .因为a与b的夹角为钝角，所以 cosXO且cos 0 1,1所以a b<0且a与b不反向.由a b<0得1 + 2 X0,故 k -,由a与b共线得k= 2,故a与b不可能反向.所以入的取值范围为 一汽.13.2 解析 由题意知：AEeS = (AD + DE) (Ad AB)= (Ad + AB)(ADAB)=Ad2 1Ad Ab *AB2=4 0 2 = 2.a b|b|.552.14.解析a在b方向上的射影为|a|cos a,

13、 b>T a b = G+ 3ei) 2e1 = 2ef+ 昭 e2= 5.|b|= |2e1|= 2. /晋15. 120【解析】 a b= lb2,2小/ (2a + b) b= 0,. 2a b+ b = 0,设a与b的夹角为0又|a|= |b|,A a b/. cos 0=|a|b|a|b|16. 解:(1)证明：T m/ n, asin A= bsin B.即a 2R= b 2R,其中R是三角形ABC外接圆半径, 故a = 即厶ABC为等腰三角形.由题意可知 m p= 0, 即卩 a(b 2) + b(a 2) = 0.二 a+ b = ab. 由余弦定理可知 4= a?+ b

14、? ab = (a + b)? 3ab, 即(ab)2 3ab 4= 0,二 ab= 4(舍去 ab= 1).故 S= ?absin C= ? 4 si门才= 3.217. (1)证明：由 sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin B=1 得 sin A+sin C-2sin B=0.ab c因为=，所以a+c-2b=0,sin A sin BsinC所以2b=a+c,即a、b、c成等差数列.2222 n解:由余弦定理 c =a +b -2ab cos C及2b=a+c,c=,3得(a-2b)2=a2+b2-2ab.即2 2 2 2a +4b -4ab=a +b +ab,a 3

15、也即3b2=5ab,所以=_ .b 5、 1解:(1)由正弦定理可得 sin A= sin C+sin Bcos C, 26又因为 A=n-(B+C),所以 sin A=sin(B+C),可得 sin Bcos C+cos Bsin C= sin C+sin Bcos C,又 sin C 工 0,21 n即cos B=,所以B=.2 3因为SABC = 3，所以、3，所以 ac=4,23由余弦定理可知 b2=a2+c2-ac > 2aac=ac,当且仅当a=c时等号成立 所以b2> 4即b> 2所以b的最小值为2.19解析:(1)acos2f + ccos = ac!

16、7;=为,即 a(1 + cos C) + c(1 + cos A) = 3b.由正弦定理得:sin A + sin Acos C+ sin C + cos Asin C = 3s in B,即 sin A+ sin C+ sin(A+ C) = 3sin B,. sin A+ sin C = 2sin B.由正弦定理得，a+ c= 2b,故a, b, c成等差数列.2 2 2由/ B= 60° b=4 及余弦定理得：4= a + c -2accos 60；(a + c)2-3ac= 16,又由(1)知 a+ c= 2b，代入上式得 4b2 3ac= 16,解得 ac = 16, 1

17、 1 ABC 的面积 S= ?acsin B = acsin 60 =4 3.3 3320.解:(1) / E 为 AC 中点时,则 AE=EC= ，T 一 +3< +4,. F 不在 BC 上.故 F在 AB 上,22272可得AF=,在三角形 ABC中,cos A=.23在三角形 AEF 中,EF2=AE2+AF2-2AEAFcos A=1f,- EF=号即小路一端E为AC中点时小路的长度为 一30百米.2(2)若小路的端点E、F两点分别在两腰上，如图所示,设 CE=x,CF=y,则 x+y=5,S = SBC - S©EFS2S CEFS CEF】CA CBsinC2CE CFsinC29-1= -1 >xy115-1=,当x=y