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1、平面向量中的三点共线的应用定理：1. a / b = 0 = a 二 b ；2、A B、C三点共线二 AB 八 BC = OC 二 xOB 1 - x OC。例1: ABC中，M为边BC 上任意一点，N为AM中点，AN二，ABEiAC，则二的值为。类型一：已知三点共线，则可得 x y =1。练习：1 ABC中，G为 ABC的重心，过G作直线分别交直线 AB、AC于M、N。设AM = xAB， 一 1 1AN =xAC，V + =。x y1 12、在厶ABC中，3AN=NC , P是线段BN上一点，且 AP = mAB nAC ,贝U的m n最小值为。例2：设a、b是两个不共线的单位向量，若向量

2、 c满足c = 3-2 a 2；L-2b ,1 *- -且C =3，则当a -b最小时，a与b的夹角的余弦值为 。类型二：注意到x y =1，可联想到三点共线。练习：1、已知a +b +c =0 , c =2丿3 , a -b与c成120°的角，贝U ta +(1 t b的最小值为。2、 在直角坐标系内，O为原点，点A, B坐标分别为(1, 0),( 0, 2)，当实数p, q满足丄丄=1时，若点c, D分别在x轴，y轴上，且0C二pOA,OD二qOB，则直线CDp q恒过一个定点，这个定点的坐标为 。3、在 ABC中，AB= 4,AC= 2，人AB +(2-2人Ac|的最小值为2,

3、则对于 ABC内一点P ,PA(P+PC)的最小值为。例3:如图，四边形 ABCD是正方形，延长 CD至E,使DE=CD,若点P是以点A为圆心,AB为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量APABAE，最大值为的最小值为DAAF = xAB yAE，B类型三：利用x y =1，构造直线来求值。练习：1、如图，在扇形 OAB中，.AOB =60 ，C为弧AB上的一个动点，若OC二xOA - yOB，则x 3y的取值范围是。2、矩形ABCD中，AB =1，BC =2，E为BC边的中点,F在. DCE内（包括边界），令则x - 2y的取值范围是。2 3、在 OAB中，C为OA上的一点，且 OC OA ,3D是BC的中点，过点 A的直线I / OD,P是直线I上的动点，OP =0B * yOC ,4、如图，已知正方形 ABCD的边长为1 , E在CD延长线上，且DE=CD动点P从点A出发,沿正方形ABCD的边按逆时针方向运动一周回到AA点，其中AP二，AB -I AE，则下列命题正确的是（填上所有正确命题的序号）。 ，_0,_0； 当点P为AD中点时，一 -1 ; 若-2，则点P有且只有一个; I的最大值为3 ;AP AE的最大值为1 。答案：例1

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