高等数学逆矩阵学习教案

1、会计学1高等数学逆矩阵高等数学逆矩阵第一页，编辑于星期三：七点 四十八分。例如: 设,21212121,1111 BA由于 AB = BA = E, 所以, B为A的逆矩阵. 说明: 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的.事实上: 若设B和C是A的逆矩阵, 则有所以, A的逆矩阵是唯一的, 即AB = BA = E, AC = CA = E,可得:B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C.B = C = A-1.解: 利用待定系数法.例1: 设,0112 A求A的逆矩阵.是A的逆矩阵, dcbaB设第1页/共20页第二页，编辑于星期三：七点 四十八分。 100122bad

2、bca即 100212badbca 2110dcba又因为则解得, ,1001 所以.21101 A即AB = BA = E, 如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的, 必须寻求可行而有效的方法.则 dcbaAB0112 1001第2页/共20页第三页，编辑于星期三：七点 四十八分。,|11 AAA证明: 若A可逆, 则有A-1, 使得AA-1 = E.定理1: 矩阵A可逆的充要条件是| A | 0, 且其中A*为矩阵A的伴随矩阵.故, | A | A-1 | = | E | = 1,所以, | A | 0.由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知当| A |

3、 0时,|1|1EAAAAAA 按逆矩阵的定义得,.|11 AAA 当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异矩阵.第3页/共20页第四页，编辑于星期三：七点 四十八分。 由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵.证明: 由 AB = E 得, | A | | B | = | E | = 1,推论: 若 AB=E (或 BA=E), 则 B=A-1.故| A | 0.因而, A-1存在, 于是B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1.故结论成立.逆矩阵的运算性质(1) 若矩阵A可逆, 则A-1亦可逆, 且(A-1)-1 =

4、 A.当| A | 0 时, 定义 A0 = E, A-k = (A-1)k (k为正整数).且此时对任意整数, , 有 AA = A+, (A) = A.第4页/共20页第五页，编辑于星期三：七点 四十八分。(2) 若矩阵A可逆, 且 0, 则 A 亦可逆, 且 .111 AA 证明:(4) 若矩阵A可逆, 则AT 亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T.AT(A-1)T =(A-1A)T=ET =E,所以,(AT)-1=(A-1)T.(3) 若A, B为同阶可逆方阵, 则AB亦可逆, 且(AB)-1 = B-1A-1.证明:(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-

5、1=E,所以,(AB)-1=B-1A-1.(5) 若矩阵A可逆, 则有| A-1 |=| A |-1.证明:因为 AA-1 = E,所以, | A | | A-1 | = | E | = 1,因此, | A-1 |=| A |-1.第5页/共20页第六页，编辑于星期三：七点 四十八分。的逆矩阵. 343122321A例2: 求方阵解: 因为343122321| A, 02 , 2341211 A, 3331212 A二、关于逆矩阵的计算所以A-1存在.同理可得, 2, 6, 6232221 AAA. 2, 5, 4333231 AAA, 2432213 A,222563462 A所以,故 AA

6、A|11.11125323231 第6页/共20页第七页，编辑于星期三：七点 四十八分。,331212321 A.1151531132 B解:331212321| A010430321 例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.0143 04 所以, A可逆., 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A由于. 3, 4, 1, 1, 0, 3333231232221 AAAAAA同理可得 3323133222123121111|1|1AAAAAAAAAAAAA.31540413341 所以,第7页/共20页第八页，编辑于星期三：七点 四十八分。, 01151

7、531132| B由于故B不可逆.例4: 求 dcba的逆矩阵( ad bc 0 )., dcbaA解: 用伴随矩阵的方法求A逆阵.| A | = ad bc 0.A11 = d, A21 = b, A12 = c, A22 = a .设 22122111AAAAA. acbd则A可逆且则.1|11 acbdbcadAAA 求二阶矩阵A的逆可用“两调一除”的方法, 其做法如下:第8页/共20页第九页，编辑于星期三：七点 四十八分。,130231,3512,343122321 CBA例5: 设求矩阵X使其满足 AXB=C.解: 由于, 02343122321| A, 013512| B所以, A

8、-1, B-1都存在. 且 先将矩阵A中的主对角元素调换其位置, 再将次对角元素调换其符号, 最后用A的行列式|A|除矩阵A的每一个元素, 即可得A的逆矩阵A-1.,222563462211 A,25131 B第9页/共20页第十页，编辑于星期三：七点 四十八分。又由 AXB = C, 得 A-1AXBB-1 = A-1CB-1, 251313023122256346221则 X = A-1CB-1.于是X = A-1CB-1 2513202011.41041012 .41234151 X例6: 解矩阵方程解: 给方程两端左乘矩阵,41511 得 412341514151415111XE第10

9、页/共20页第十一页，编辑于星期三：七点 四十八分。 例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2A2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.证明: 由 A2A2E=O, 得 A(AE)=2E, ,)(21EEAA 则故A可逆, 且A-1 =).(21EA 41231154.642817 412341511X所以 ,)3(412EEAEA 又由 A2A2E=O, 得 (A+2E)(A3E)+4E=O, 则故(A+2E)可逆, 且 (A+2E)-1 =).3(41AE 第11页/共20页第十二页，编辑于星期三：七点 四十八分。,710004100021 A例8: 设三阶方阵A,

10、B满足关系式: A-1BA=6A+BA,且求B.解: 由于|A|=1/56 0,由 A-1BA=6A+BA, 得 A-1BABA=6A,700040002 所以A可逆, 且A-1=则 (A-1E)BA= 6A,由于(A-1E)=,600030001 所以(A-1E)可逆, 且(A-1E)-1=,6/10003/10001 由A和(A-1E)可逆可得:.100020006 B = 6(A-1E)-1第12页/共20页第十三页，编辑于星期三：七点 四十八分。对角型非奇异方阵的逆矩阵有如下结果: nA 2100若则其中, 12n 0. nA 11121100第13页/共20页第十四页，编辑于星期三：

11、七点 四十八分。例9: 设,2001,4121 P且AP = PA, 求An.解: 由于| P | =2, .1124211 P则 An= PnP-1A = PP-1,A2 = PP-1 PP-1= PP-1 = P2P-1, Am = PmP-1,2001 而,20012001200122 ,2001, nn 11242120014121n.1222122211 nnnn第14页/共20页第十五页，编辑于星期三：七点 四十八分。 设 (x)=a0+a1x+amxm为一m次多项式, A为阶方阵, 记(A)=a0E+a1A+amAm,则(A)称为方阵A的m次多项式. 由于Ak, Al和E之间都是

12、可交换的, 所以方阵A的两个多项式(A)和(A)做矩阵乘法是可交换的, 即总有(A)(A)=(A)(A)从而方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式. 例如(E+A)(2EA) = 2E+AA2,(2EA)3 = E3A+3A2A3.第15页/共20页第十六页，编辑于星期三：七点 四十八分。 定义: 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P, 使P-1AP = B ,则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进行运算P-1AP, 称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.由于矩阵A与B相似, 则存在可逆矩阵P, 使P-1AP = B, 亦即 A = PBP

13、-1,所以, 相似矩阵有Am = (PBP-1)m = PBP-1PBP-1 PBP-1= PBmP-1.进一步有, 若(A)=a0E+a1A+amAm, 则 (A)=a0PP-1+a1PBP-1+amPBmP-1 =P(a0E+a1B+amBm)P-1=P(B)P-1.即相似矩阵的多项式, 有相同相似变换矩阵.第16页/共20页第十七页，编辑于星期三：七点 四十八分。Am = PmP-1; (A)= P()P-1.特别当矩阵A与对角阵=diag(1, 2, n )相似时,则m = diag(1m, 2m, nm )又显然有则()=a0E+a1 +amm, mnmmmnaaa 212110111.)()()(21 n 第17页/共20页第十八页，编辑于星期三：七点 四十八分。逆矩阵的概念及运算性质;逆矩阵A-1存在当且仅当 |A| 0.逆矩阵的计算方法