高等数学完整详细学习教案

1、会计学1高等数学完整详细高等数学完整详细第一页，编辑于星期三：七点 四十五分。几何解释几何解释: :abxyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC第1页/共175页第二页，编辑于星期三：七点 四十五分。证证.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(Mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取得取得最值不可能同时在端点最值不可能同时在端点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存

2、在一点则在则在),()( fxf, 0)()( fxf第2页/共175页第三页，编辑于星期三：七点 四十五分。, 0 x若若; 0)()( xfxf则有则有, 0 x若若; 0)()( xfxf则有则有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存在存在 f).()( ff. 0)( f只有只有第3页/共175页第四页，编辑于星期三：七点 四十五分。注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,)0(2 , 2一切条件一切条件满足罗尔定理的满足罗尔定理的不存在外不存在外上除上

3、除在在f . 0)( xf但在内找不到一点能使但在内找不到一点能使又例如又例如,第4页/共175页第五页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例1 1.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 , 0(011xxx 设设另另有有. 0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在

4、一个至少存在一个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.为为唯唯一一实实根根第5页/共175页第六页，编辑于星期三：七点 四十五分。).()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()( fabafbf结论亦可写成结论亦可写成第6页/共175页第七页，编辑于星期三：七点 四十五分。abxoy)(xfy ABCD几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差

5、弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线., 两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba第7页/共175页第八页，编辑于星期三：七点 四十五分。作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF. 0)(,),( Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()( abafbff即即拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数

6、之间的关系函数在这区间内某点处的导数之间的关系.第8页/共175页第九页，编辑于星期三：七点 四十五分。,),()(内可导内可导在在在在设设baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf

7、第9页/共175页第十页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证 1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx第10页/共175页第十一页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11

8、)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即第11页/共175页第十二页，编辑于星期三：七点 四十五分。第12页/共175页第十三页，编辑于星期三：七点 四十五分。几何解释几何解释:xoy)(aFA)(bFBCD.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使得使得内

9、至少存在一点内至少存在一点则在则在ba第13页/共175页第十四页，编辑于星期三：七点 四十五分。, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf第14页/共175页第十五页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例4 4).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(, 1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内

10、可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即第15页/共175页第十六页，编辑于星期三：七点 四十五分。四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；关

11、系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.第16页/共175页第十七页，编辑于星期三：七点 四十五分。思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可条件缺一不可.第17页/共175页第十八页，编辑于星期三：七点 四十五分。思考题解答思考题解答 1, 310,)(21xxxxf不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.第18页/共175

12、页第十九页，编辑于星期三：七点 四十五分。练练 习习 题题第19页/共175页第二十页，编辑于星期三：七点 四十五分。二、试证明对函数二、试证明对函数rqxpxy 2应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理 时所求得的点时所求得的点 总是位于区间的正中间总是位于区间的正中间 . .三、证明等式三、证明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、设四、设0 ba，1 n，证明，证明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 证明下列不等式：证明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、时时当当1 x，exex . .六六、证证明

13、明方方程程015 xx只只有有一一个个正正根根 . .第20页/共175页第二十一页，编辑于星期三：七点 四十五分。第21页/共175页第二十二页，编辑于星期三：七点 四十五分。一、一、1 1、3415；2 2、3,(1,2),(2,3),(3,4)3,(1,2),(2,3),(3,4)；3 3、前者是后者的特殊情形、前者是后者的特殊情形, ,加加)()(bfaf 即可；即可；4 4、增量、增量, ,导数；导数；5 5、恒为零、恒为零. .练习题答练习题答案案第22页/共175页第二十三页，编辑于星期三：七点 四十五分。洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定义定

14、义例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx第23页/共175页第二十四页，编辑于星期三：七点 四十五分。定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .第24页/共175页第二十五页，编辑于星期三：七点 四十五分。证证定义辅助函数定义辅助函数, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU内任取一点内任取一点在在 ,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满满足足

15、柯柯西西中中值值定定理理的的条条xFxf则有则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 第25页/共175页第二十六页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 第26页/共175页第二十七页，

16、编辑于星期三：七点 四十五分。例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 axbxxcoscoslim0 第27页/共175页第二十八页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos2

17、6cos6lim2 . 3 第28页/共175页第二十九页，编辑于星期三：七点 四十五分。注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好它求极限方法结合使用，效果更好. .例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 第29页/共175页第三十页，编辑于星期三：七点 四十五分。型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求xex

18、x2lim 原式原式2limxxe 2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型型 .步骤步骤:第30页/共175页第三十一页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 步骤步骤:第31页/共175页第三十二页，编辑于星期三：七点 四十五分。步骤步骤:例例9 9解解.lim0 xxx 求求xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim

19、0 第32页/共175页第三十三页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例1010解解.lim111xxx 求求xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式第33页/共175页第三十四页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(li

20、mxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件第34页/共175页第三十五页，编辑于星期三：七点 四十五分。洛必达法则洛必达法则第35页/共175页第三十六页，编辑于星期三：七点 四十五分。思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一一定定不不存存在在？举举例例说说明明.第36页/共175页第三十七页，编辑于星期三：七点 四十五分。思考题解答思考题解答不一定不一定例例,si

21、n)(xxxf xxg )(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在第37页/共175页第三十八页，编辑于星期三：七点 四十五分。一、一、 填空题：填空题：1 1、 洛必达法则除了可用于求洛必达法则除了可用于求“00” ，及” ，及“ ”两种”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决类型的未定式的极限外，也可通过变换解决_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求极限的问题的求极限的问题. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanln

22、lim0=_.=_.练练 习习 题题第38页/共175页第三十九页，编辑于星期三：七点 四十五分。二、二、 用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arctan2(lim . .第39页/共175页第四十页，编辑于星期三：七点 四十五分。三、三、 讨论函数讨论函数 0,0,)1()(2111xexexxfxx当当当当, , 在在处处点

23、点0 x的连续性的连续性. .第40页/共175页第四十一页，编辑于星期三：七点 四十五分。一、一、1 1、00,0,1,0 ； 2 2、1 1； 3 3、1.1.二、二、1 1、81； 2 2、1 1； 3 3、21； 4 4、21； 5 5、1 1； 6 6、1 1； 7 7、 2e. .三、连续三、连续. .练习题答案练习题答案第41页/共175页第四十二页，编辑于星期三：七点 四十五分。xyoxyoabAB定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果

24、在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA第42页/共175页第四十三页，编辑于星期三：七点 四十五分。证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调增加上单调增加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 第43页/共175页第四十

25、四页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函数单调增加函数单调增加注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性符号来判别一个区间上的单调性).,(:D又又第44页/共175页第四十五页，编辑于星期三：七点 四十五分。问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，但如

26、上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调的，若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法: :.,)()(0)(数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 第45页/共175页第四十六页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例2 2解解.31292)(23的单调区间

27、的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx时，时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在1 ,(时，时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2第46页/共175页第四十七页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存

28、在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,( )., 0 第47页/共175页第四十八页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例4 4证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f时，时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意:区间内个别点

29、导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在第48页/共175页第四十九页，编辑于星期三：七点 四十五分。单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式.第49页/共175页第五十页，编辑于星期三：七点 四十五分。思考题思考题 若若0)0( f，

30、是否能断定，是否能断定)(xf在原点的在原点的充分小的邻域内单调递增？充分小的邻域内单调递增？第50页/共175页第五十一页，编辑于星期三：七点 四十五分。思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf第51页/共175页第五十二页，编辑于星期三：七点 四十五分。 )212(1kx当当 时，时，0)212(41)( kxf kx21当当 时，时，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单调递

31、增k00 x)(xf第52页/共175页第五十三页，编辑于星期三：七点 四十五分。一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数7186223 xxxy单调区间为单调区间为_ _. _.2 2、 函数函数212xxy 在区间在区间 -1,1-1,1上单调上单调_， 在在_上单调减上单调减. .3 3、函数、函数22ln xxy 的单调区间为的单调区间为_， 单减区间为单减区间为_._.二二、 确确定定下下列列函函数数的的单单调调区区间间：1 1、 xxxy6941023 ；2 2、 32)(2(xaaxy ( (0 a) )；3 3、 xxy2sin . .练练 习习 题题第53页/共175页第

32、五十四页，编辑于星期三：七点 四十五分。三、三、 证明下列不等式：证明下列不等式：1 1、 当当0 x时，时，221)1ln(1xxxx ；2 2、 当当4 x时，时，22xx ；3 3、 若若0 x，则，则361sinxxx . .四、四、 方程方程)0(ln aaxx有几个实根有几个实根. .五、五、 设设)(xf在在 ba, 上连续，在上连续，在( (ba,) )内内)(xf , ,试证试证 明：对于明：对于 ba, 上任意两上任意两1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1） 0)( xf，)(xf 单增；方法单增；方法（2 2）0)( xf，

33、 利用泰勒公式利用泰勒公式 第54页/共175页第五十五页，编辑于星期三：七点 四十五分。一、一、1 1、), 3,1,( 单调增加单调增加, ,3 , 1 单调减少；单调减少；2 2、增加、增加, ,), 1 ,1,( 3 3、 1,( , ,), 1 ； 1 , 0(,1,(;1 , 0(),0 , 1 . .二、二、1 1、在、在), 1 ,21, 0(),0 ,(内单调减少内单调减少, , 在在 1 ,21上单调增加；上单调增加； 2 2、在、在),32,( aa内单调增加内单调增加, , 在在,32aa上单调减少；上单调减少；练习题答练习题答案案第55页/共175页第五十六页，编辑于

34、星期三：七点 四十五分。 3 3、在、在32,2 kk上单调增加上单调增加, , 在在22,32 kk上单调减少上单调减少, ,), 2, 1, 0( k. .四、四、(1)(1)ea1 时没有实根；时没有实根；(2)(2)ea10 时有两个实根；时有两个实根；(3)(3)ea1 时只有时只有ex 一个实根一个实根. .第56页/共175页第五十七页，编辑于星期三：七点 四十五分。oxyaboxyoxy第57页/共175页第五十八页，编辑于星期三：七点 四十五分。定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值使函数取得极值的点称为的点称为极值点极值点.第5

35、8页/共175页第五十九页，编辑于星期三：七点 四十五分。定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不是极值点不是极值点但但 x第59页/共175页第六十页，编辑于星期三：七点 四十五分。定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)第60页/共175页第六十

36、一页，编辑于星期三：七点 四十五分。xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)第61页/共175页第六十二页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例1 1解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf

37、 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx第62页/共175页第六十三页，编辑于星期三：七点 四十五分。593)(23 xxxxf图形如下图形如下第63页/共175页第六十四页，编辑于星期三：七点 四十五分。定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极

38、大值第64页/共175页第六十五页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例2 2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f, 018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下第65页/共175页第六十六页，编辑于星期三：七点 四十五分。注意注意: :. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理处不一定取极值处不一定取极值在点在点时时xxfxf 第66页/共175页第

39、六十七页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例3 3解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.第67页/共175页第六十八页，编辑于星期三：七点 四十五分。极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小极小值可能大于极大值值可

40、能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)第68页/共175页第六十九页，编辑于星期三：七点 四十五分。思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？ 如如果果0 x为为)(xf的的极极小小值值点点，那那么么必必存存在在0 x的的某某邻邻域域，在在此此邻邻域域内内，)(xf在在0 x的的左左侧侧下下降降，而而在在0 x的的右右侧侧上上升升.第69页/共175页第七十页，编辑于星期三：七点 四十五分。思考题解答思考题解答不正确不正确

41、例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x为为)(xf的极小值点的极小值点第70页/共175页第七十一页，编辑于星期三：七点 四十五分。当当0 x时，时，当当0 x时时，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 第71页/共175页第七十二页，编辑于星期三：七点 四十五分。一、一、 填空题：填空题：1 1、 极值反映的是函数的极值反映的是函数的 _性质性质. .2 2

42、、 若函数若函数)(xfy 在在0 xx 可导，则它在点可导，则它在点0 x处到处到 得极值的必要条件中为得极值的必要条件中为_._.3 3、 函 数函 数32)1(2 xy的 极 值 点 为的 极 值 点 为 _ ；31)1(23 xy的极值为的极值为_._.4 4、 已知函数已知函数 0, 10,)(3xxxxxfx当当_ x时，时，为极为极_ y小值 ； 当小值 ； 当时时_ x，为极为极_ y大值大值. .练练 习习 题题第72页/共175页第七十三页，编辑于星期三：七点 四十五分。二、求下列函数的极值：二、求下列函数的极值：1 1、 xeyxcos ；2 2、 xxy1 ；3 3、

43、方程方程02 yeyx所确定的函数所确定的函数)(xfy ；4 4、 0, 00,21xxeyx. .三、三、 证明题：证明题：1 1、 如果如果dcxbxaxy 23满足条满足条032 acb，则函数无极值则函数无极值. . 2 2、设设)(xf是是有有连连续续的的二二阶阶导导数数的的偶偶函函数数0)( xf， 则则0 x为为)(xf的的极极值值点点. .第73页/共175页第七十四页，编辑于星期三：七点 四十五分。一、一、1 1、局部；、局部； 2 2、0)(0 xf； 3 3、(1,2),(1,2),无；无； 4 4、1 , 0 ,)1( ,13eee; ;二、二、1 1、极大值、极大值

44、 keky2422)24(, ,极小值极小值 ), 2, 1, 0(22)12(4()12(4 kekyk；2 2、极大值、极大值eeey1)( ；3 3、极小值、极小值1)0( y；4 4、极小值、极小值0)0( y. .练习题答练习题答案案第74页/共175页第七十五页，编辑于星期三：七点 四十五分。oxyoxyoxy.,)(,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在为零的点，则为零的点，则并且至多有有限个导数并且至多有有限个导数处可导，处可导，上连续，除个别点外处上连续，除个别点外处在在若函数若函数baxfbaxf第75页/共175页第七十六页，编辑于星期三：七点 四十五分。

45、步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大比较大小小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就是最那个小那个就是最小值小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是则这个极值就是最值最值.(最大值或最小值最大值或最小值)第76页/共175页第七十七页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例1 1解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 2

46、21 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f; 7;142 )4(f第77页/共175页第七十八页，编辑于星期三：七点 四十五分。，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最小值最小值第78页/共175页第七十九页，编辑于星期三：七点 四十五分。点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例2 2敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟的速分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向处向正东追击，正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好

47、（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？第79页/共175页第八十页，编辑于星期三：七点 四十五分。解解 (1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设Bt敌我相距函数敌我相距函数.)()2(的最小值点的最小值点求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一驻点得唯一驻点. 5 . 1 t.5 . 1分钟射击最好分钟射击最好处发起追击后处发起追击后故得我军从故得我军从B第80页/共175页第八十一页，编辑于星期三：七点 四十五分。实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:

48、:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;值值或最小或最小函数值即为所求的最函数值即为所求的最点，则该点的点，则该点的若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻)(第81页/共175页第八十二页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例3 3某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为套公寓要出租，当租金定为每月每月180元时，公寓会全部租出去当租金每元时，公寓会全部租出去当租金每月增加月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而元时，就有一套公寓租不出去，而租出的房子每月需花费租出的房子每月需花费20元的整修维护费元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？试问房租定为多少可获

49、得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月总收入为每月总收入为第82页/共175页第八十三页，编辑于星期三：七点 四十五分。 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 第83页/共175页第八十四页，编辑于星期三：七点 四十五分。点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4形面积最大形面积

50、最大所围成的三角所围成的三角及及线线处的切线与直处的切线与直使曲线在该点使曲线在该点上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy第84页/共175页第八十五页，编辑于星期三：七点 四十五分。解解如图如图,),(00yxP设所求切点为设所求切点为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(CxyoABC第85页/共175页第八十六页，编辑于星期三：七点 四十五分。, 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(1

51、6,31600舍去舍去 xx8)316( s. 0 .2174096)316(为极大值为极大值 s.274096)316(最大者最大者为所有三角形中面积的为所有三角形中面积的故故 s第86页/共175页第八十七页，编辑于星期三：七点 四十五分。注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.第87页/共175页第八十八页，编辑于星期三：七点 四十五分。思考题思考题 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)( af？第8

52、8页/共175页第八十九页，编辑于星期三：七点 四十五分。思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点. .例例xxfy )( 1 , 0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0( f第89页/共175页第九十页，编辑于星期三：七点 四十五分。一、一、 填空题：填空题：1 1、最值可、最值可_处取得处取得. .2 2、函数、函数2332xxy ( (41 x) )的最大值为的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.3 3、 函数函数2100 xy 在在0,80,8上的最大值为上的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.4 4、 设有

53、重量为设有重量为 5kg5kg 的物体，置于水平面上，受力的物体，置于水平面上，受力f的作用而开始移动，摩擦系数的作用而开始移动，摩擦系数 =0.25=0.25，问力，问力f与与水平线的交角水平线的交角 为为_时，才可使力时，才可使力f的大小为的大小为最小，则此问题的目标函数为最小，则此问题的目标函数为_，讨论区间为讨论区间为_._.练练 习习 题题第90页/共175页第九十一页，编辑于星期三：七点 四十五分。5 5、 从一块半径为从一块半径为R的圆缺片上挖去一个扇形做成一个的圆缺片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为漏斗，问留下的扇形的中心角为_时，做时，做成的漏斗的容积为最大

54、？此问题的目标函数为成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为_考察区间为考察区间为_._.二、二、 求函数求函数xxy542 ( (0 x) )的最值的最值 . .三、三、 求数列求数列 nn210的最大项的最大项 . .四、四、 要造一圆柱形油灌，体积为要造一圆柱形油灌，体积为V，问底半径，问底半径r和高和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？高的比是多少？第91页/共175页第九十二页，编辑于星期三：七点 四十五分。五、由五、由2xy , ,0 y , , ax ( (0 a) )围成一曲边三角形围成一曲边三角形OAB，在曲线

55、弧，在曲线弧OB上求一点，使得过此点所作曲上求一点，使得过此点所作曲线线2xy 的切线与的切线与OA，OB围成的三角形面积最大围成的三角形面积最大. .第92页/共175页第九十三页，编辑于星期三：七点 四十五分。一、一、1 1、区间端点及极值点；、区间端点及极值点；2 2、最大值、最大值80)4( y, , 最小值最小值5)1( y；3 3、10,610,6； 4 4、)2, 0 ,sincos,arctan pf；5 5、 38, , )2 , 0( ,42464223 RV. .二、二、3 x时函数有最小值时函数有最小值 27.27.三、三、14.14.四、四、. 1:1:;22,233

56、 hdvhvr五、五、)94,32(2aa. .练习题答案练习题答案第93页/共175页第九十四页，编辑于星期三：七点 四十五分。问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方第94页/共175页第九十五页，编辑于星期三：七点 四十五分。定义定义第95页/共175页第九十六页，编辑于星期三：七点 四十五分。xyoxyoabABabBA定理定理1 1第96页/共175页第九十七页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例1 1.3的凹凸性的

57、凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到,第97页/共175页第九十八页，编辑于星期三：七点 四十五分。1.1.定义定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.2.拐点的求法拐点的求法证证,)(二阶可导二阶可导xf,)(存在且连续存在且连续xf 第98页/共175页第九十九页，编辑于星期三：七点 四十五分。, )()(0两边变号两边变号在在则

58、则xxfxf ,)(,(00是拐点是拐点又又xfx,)(0取得极值取得极值在在xxf ,条件条件由可导函数取得极值的由可导函数取得极值的. 0)( xf方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 第99页/共175页第一百页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(: D,121223xxy

59、).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点第100页/共175页第一百零一页，编辑于星期三：七点 四十五分。).,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为第101页/共175页第一百零二页，编辑于星期三：七点 四十五分。方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线

60、xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 第102页/共175页第一百零三页，编辑于星期三：七点 四十五分。内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :第103页/共175页第一百零四页，编辑于星期三：七点 四十五分。例例4 4.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存