高等数学b学习资料函数的微分学习教案

1、会计学1高等数学高等数学b学习资料函数的微分学习资料函数的微分第一页，编辑于星期三：七点 四十二分。 ：一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响, ,其边其边长由长由 x0 变到变到 x0+ x , 问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少 ? 20 xA 0 x0 x2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax :)1(.,0很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小时时当当xxx :)2(x x 2)( x xx 0 xx 0设薄片边长为设薄片边长为 x , 面积为面积为 A ,

2、则则,2xA 当当 x 在在 x0 取得增量取得增量 x时时 , 面积的增量为面积的增量为.20 xxA 第1页/共34页第二页，编辑于星期三：七点 四十二分。再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否所有是否所有函数的改变量都有函数的改变

3、量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?第2页/共34页第三页，编辑于星期三：七点 四十二分。定义定义, )(,)(000仍在该邻域内仍在该邻域内处取得增量处取得增量当在当在某个邻域内有定义某个邻域内有定义在在设函数设函数xxxxxxfy 处的增量可表示为处的增量可表示为在点在点若函数若函数0)(xxfy )()()(00 xoxAxfxxfy , )0()(,0时时当当高阶的无穷小量高阶的无穷小量是比是比无关的常数无关的常数有关而与有关而与是与是与其中其中xxxoxxA ),aldifferenti()(,)(00的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点称为称为可微可微在点在点则

4、称函数则称函数xxxfyxAxxfy .d,dd000 xAyfyxxxxxx 即即或或记作记作第3页/共34页第四页，编辑于星期三：七点 四十二分。).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数第4页/共34页第五页，编辑于星期三：七点 四十二分。(2) 充分性充分性)()(0 xxxfy 从而从而,)(

5、0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ,0lim0 x其中其中),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfA 可微可微可导可导.d)(d00 xxfyxx 即有即有第5页/共34页第六页，编辑于星期三：七点 四十二分。?d,d,0,d,2)(,)(100是几阶无穷小是几阶无穷小关于关于时时问：问：及自变量的增量及自变量的增量表示函数的增量、微分表示函数的增量、微分分别分别、可微可微在在设设例例xyyyyxxyyxfxxf 解解例例2 2.02. 0, 23时的增量与微分时的增量与微分当当求函数

6、求函数 xxxyxxy )(d3 .32xx 02. 02202. 023d xxxxxxy .24. 0 332)02. 02( y242408. 0 000008. 00024.24. 0 第6页/共34页第七页，编辑于星期三：七点 四十二分。.d,d,xxxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.d)(dxxfy ).(ddxfxy .dd该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分xy.)(d),(dd,)(xxfyxfyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任

7、意点在任意点函数函数.)(,)(,)(内的可微函数内的可微函数是是且称且称内可微内可微区间区间在在就称就称内处处可微内处处可微在区间在区间如果函数如果函数IxfIxfIxfy .导数也叫“微商”导数也叫“微商”.的微分的微分在任意点在任意点求函数求函数例例xy 第7页/共34页第八页，编辑于星期三：七点 四十二分。几点说明：几点说明：;d)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xy ;)(d)3(高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比xxoyy )0(x ;d,0)4(是等价无穷小是等价无穷小与与时时当当yyA .d,0)()5(0yyxfx 时时很小且很小且当当;)(,)2(0有

8、关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA ).0( x.d的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分yy ( (微分的实质微分的实质) )第8页/共34页第九页，编辑于星期三：七点 四十二分。xxfyd)(d 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.)(d1)C.0 例如例如)(d2) x.d1xx )(cosd3)x.dsinxx )(tand4)x.dsec2xx )(arctand5)x.d112xx 第9页/共34页第十页，编辑于星期三：七点 四十二分。1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 P113xxxx

9、xxxxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCaxxxxdsinh)(coshddcosh)(sinhdd11)arccot(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(ddcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d2222221 第10页/共34页第十一页，编辑于星期三：七点 四十二分。2. 函数线性组合、积、商的微分法则函数线性组合、积、商的微分法则

10、 P1132ddddd)(d),(dd)(dvvuuvvuvuuvuvvuvu 为常数为常数 3、复合函数的微分、复合函数的微分,)(, )(可微可微设函数设函数xuufy 的微分为的微分为则复合函数则复合函数)(xfy xxxfyd)()(d 第11页/共34页第十二页，编辑于星期三：七点 四十二分。;d)(d,)1(uufyu 是自变量时是自变量时若若则则可微函数可微函数的的是另一变量是另一变量即即是中间变量时是中间变量时若若, )(,)2(xuxuu ),()(ufufy 有导数有导数设函数设函数xxufyd)()(d ,dd)(uxx .d)(duufy 结论结论：的微分形式总是的微分

11、形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,ufyu 一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性uufyd)(d 第12页/共34页第十三页，编辑于星期三：七点 四十二分。例例1 1.d),12sin(yxy求求设设 解法一解法一)12cos(2 xy.d)12cos(2dxxy 解法二解法二)12sin(dd xy)12(d)12cos( xx.d)12cos(2xx 第13页/共34页第十四页，编辑于星期三：七点 四十二分。例例2 2.d,sinybxeyax求求设设 解解)(sindsin)(ddbxebxeyaxax )(dcossin)(dbxbxebxaxe

12、axax xbbxebxxaeaxaxdcossind)( .d)cossin(xbxbbxaeax 第14页/共34页第十五页，编辑于星期三：七点 四十二分。例例3.的微分的微分求函数求函数xxy 例例4.02的的微微分分求求隐隐函函数数 xexyy第15页/共34页第十六页，编辑于星期三：七点 四十二分。例例5 5在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式使等式成立成立.d)(d)1(2xx 练习：练习：,dln)(d)3(2xxx . )0(dcos)(d)2( ttCx 331Ct sin1( (C为任意常数为任意常数) )( (C为任意常数为任意

13、常数) )说明说明: : 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. .注意注意: : 数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性. .第16页/共34页第十七页，编辑于星期三：七点 四十二分。例例6 6解解在等式左端的括号中填入适当的函数在等式左端的括号中填入适当的函数,使等式使等式成立成立. )(d)()(sind2xx xxxxxxxd21dcos2)(d)(sind22 ,cos42xxx ).(d)cos4()(sind22xxxxx 2cos4xxx第17页/共34页第十八页，编辑于星期三：七点 四十二分。)(xfy 0 xMNTd

14、yy)( xo ）xyo x 1、微分的、微分的几何意义几何意义.d,纵坐标对应的增量纵坐标对应的增量就是切线就是切线增量时增量时是曲线的纵坐标是曲线的纵坐标当当yy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 ( (如图如图) )第18页/共34页第十九页，编辑于星期三：七点 四十二分。得近似公式得近似公式00dxxxxyy ,)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,0)(,0 xfx且且很很小小时时当当 （ f (x) 在在 x = x0 处的处的一次近似式一次近似式或或线性逼近线性逼近）或或使用原则使

15、用原则: :;)(, )()100好算好算xfxf .)20靠近靠近与与xx第19页/共34页第二十页，编辑于星期三：七点 四十二分。.)0()0()(xffxf ,| ,0很小时很小时时时当当xx 工程技术上常用的五个一次近似式，在课本工程技术上常用的五个一次近似式，在课本116页页, 还有该页还有该页例例7请同学们自己看。请同学们自己看。,|很小时很小时x;1x xe)1(;x xsin)2(;x xtan)3(;x )1ln()4(x.1x )1()5(x第20页/共34页第二十一页，编辑于星期三：七点 四十二分。例例1.sin,|xxx 很小时很小时证明：当证明：当例例2.29sin的

16、近似值的近似值求求第21页/共34页第二十二页，编辑于星期三：七点 四十二分。例例2.29sin的近似值的近似值求求,180d x解解 设设,sin)(xxf 取取300 x,6 29 x则则,18029 18029sin 6sin 6cos 21 23 )0175. 0( 485. 0 )180( 29sin4848. 029sin 第22页/共34页第二十三页，编辑于星期三：七点 四十二分。1、微分的概念、微分的概念2、导数与微分的联系、导数与微分的联系:.可微可微可导可导 3、微分运算法则、微分运算法则微分形式不变性微分形式不变性: :uufufd)()(d 4 4、微分的应用、微分的应

17、用 近似计算近似计算( u 是自变量或中间变量均可是自变量或中间变量均可 )第23页/共34页第二十四页，编辑于星期三：七点 四十二分。1. 设函数设函数)(xfy 的图形如下的图形如下, 试在图中标出的点试在图中标出的点0 x处的处的yy ,d及及,dyy 并说明其正负并说明其正负 .yd0 xx00 xxyoy00yyd第24页/共34页第二十五页，编辑于星期三：七点 四十二分。xxee d )d(arctan. 2xe211 .d x xxee21 .sindtand. 3 xxx3sec.d2sin) (d. 4xx Cx 2cos21第25页/共34页第二十六页，编辑于星期三：七点

18、四十二分。5、因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？ 解解说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念不同的概念. 第26页/共34页第二十七页，编辑于星期三：七点 四十二分。1、微分学所要解决的两类问题、微分学所

19、要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.第27页/共34页第二十八页，编辑于星期三：七点 四十二分。2、导数与微分的区别、导数与微分的区别:.,)(d, )()()100000时是无穷小时是无穷小实际上它在实际上它在定义域是定义域是它的它的的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数xxRxxxxfyxfxxf )(limd

20、lim0000 xxxfyxxxx . 0 .)(,()()()(d,)(,()()(,)200000000的纵坐标增量的纵坐标增量方程在点方程在点处的切线处的切线在点在点是曲线是曲线而微分而微分处切线的斜率处切线的斜率点点在在是曲线是曲线从几何意义上来看从几何意义上来看xxfxxfyxxxfyxfxxfyxf 第28页/共34页第二十九页，编辑于星期三：七点 四十二分。一、一、 填空题：填空题：1 1、 已知函数已知函数2)(xxf 在点在点x处的自变量的增量为处的自变量的增量为0.20.2，对应的函数增量的线性全部是，对应的函数增量的线性全部是dy=0.8=0.8，那，那么自变量么自变量x的始值为的始值为_._.2 2、 微分的几何意义是微分的几何意义是_._.3 3、 若若)(xfy 是可微函数，则当是可微函数，则当0 x时，时， dyy 是关于是关于x 的的_无穷小无穷小. .4 4、 xdxd sin_ . .5 5、 dxedx2_ . .6 6、 xdxd3sec_2 . .7 7