八年级数学上册13.4《课题学习最短路径问题》点悟“等腰三角形性质”素材(新版)新人教版

1、 点悟“等腰三角形性质” 【基础知识精讲】 性质: 1. 两个底角相等（简写为“等边对等角”） 2. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 其中，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互 相重合，这一性质叫做等腰三角形的“三线合一”。 这两个性质用几何语言表述为： 在厶ABC中，如图，T AB= AC /B=Z C （等边对等角） 在厶ABC中，如图 (1 )T AB= AC，/ 1 = Z2 ADL BC BD= DC (等腰三角形三线合一) (2)v AB= AC, BD= DC ADL BC, / 1 = Z 2 (等腰三角形三线合一) (3 )T AB=

2、AC, ADL BC BD= DC, / 1 = Z 2 (等腰三角形三线合一) 等腰三角形的性质定理 1揭示了三角形中边与角的转化关系，由两边相等转化为两 角相等，是今后证明两角相等的重要依据之一，等腰三角形底边上的中线、底边上的高、 顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互 相垂直的重要依据 【重点难点解析】 本节研究的重点是在对等腰三角形性质的掌握与灵活应用上， 利用性质，结合三角形 有关知识及全等三角形判定及性质解决相关问题 难点是掌握等腰三角形中常用的辅助线： 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题 的辅助线

3、，由于这条线可以把顶角和底边折半， 所以常通过它来证明线段或角的倍分问题， 在等腰三角形中虽然顶角的平分线、 底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时， 有时作哪条线都可以，有时则需要选择其中一条，这要视情况而定，如果作的不合适，可能 使证明变得复杂，甚至很难证明，注意在做题时分析总结规律作辅助线时，一定要作满足等腰三角形是一种特殊的三角形 ,是我们重点研究的几种三角形之一 .它具有一些特殊 2 其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作 【典型应用指南】 (1)计算角的度数 利用等腰三角形的性质， 结合三角形内角和定理及推论计算角的度数， 是等腰三角 形性质的重要应用。

4、 已知角的度数，求其它角的度数； 例1.等腰三角形一个外角为 110 ,求三内角度数 分析 本题利用三角形内角和及等腰三角形性质等边对等角， 但要注意本题中外角是顶 角的外角，还是底角的外角，在两种不同位置时，求得的结果不一样，本题有两解 解等腰三角形 两底角相等，设顶角为 x,底角为y，则x+2y=180 (1)当顶角的外角为110时，顶角的外角等于两底角之和 fx=70 2y=110 求得 y =55。 x = 40s 当底角的外角为110时，底角y=180 -110 =70求得 ly = 70 三内角为 70 ,55 ,55 或 40, 70, 70 已知条件中有较多的等腰三角形 (此时

5、往往设法用未知数表示图中的角， 从中得到含这些 未知数的方程或方程组) 例2.如图，已知 ABC中，AB=AC BD=BC AD=DE=EB求/A的度数。 分析：本题有较多的等腰三角形的条件， 最好用列方程组的方法来求解， 应当在图 形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。 解：设/ A=x，/ EBD=y / C=z / AB=AC / ABCM C=z / BD=BC / C=M BDC=z / BE=DE / EBDM EDB=90 / AD=DE / A=M AED=x 又/ BDCM A+M ABD / AEDM EBDM EDBADL BC 使/ （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） / A+Z ABC/ ACB=180 （三角形内角和为 180） x =2y * z = x+y x + z + z = 180 解得x=45 即：Z A=45 (2)证明线段或角相等； 例3.已知在 ABC中，AB= AC,直线AE交BC于点D, O是AE上一动点但不与 A重合, 且OB= OC试猜想AE与BC的关系，并说明你的猜想的理由 . 分析：首先根据数学语言画出几何图形，然后进行归纳、猜想、推理 解：猜想：AE1 BC BD- CD / AB= AC（已 知） O